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2014届高考数学一轮复习 第6章《不等式与推理证明》(第5课时)知识过关检测 理 新人教A版



2014 届高考数学(理)一轮复习知识过关检测:第 6 章《不等式与 推理证明》 (第 5 课时) (新人教 A 版)

一、选择题 1.下列平面图形中与空间的平行六 面体作为类比对象较合适的是( ) A.三角形 B.梯形 C.平行四边形 D.矩形 解析:选 C.因为平行六面体相对的两个面互相平行,类比平面图形,则相对的两条边 互相平行,故选 C. 7 5 9

8 13 9 b+m b 2.由 > , > , > ,?.若 a>b>0 且 m>0,则 与 之间大小关系为( ) 10 8 11 10 25 21 a+m a A.相等 B.前者大 C.后者大 D.不确定 b+m b 解析:选 B.观察题设规律,由 归纳推理易得 > . a+m a 3.记 Sn 是等差数列{an}前 n 项的和,Tn 是等比数列{bn}前 n 项的积,设等差数列{ an} 公差 d≠0,若对小于 2013 的正整数 n,都有 Sn=S2013-n 成立,则推导出 a1007=0,设等比数 列{bn}的公比 q≠1,若对于小于 23 的正整数 n,都有 Tn=T23-n 成立,则( ) A.b11=1 B.b12=1 C.b13= 1 D.b14=1 解析:选 B.由等差数列中 Sn=S2013-n,可导出中间项 a1007=0,类比得等比数列中 Tn=T23 -n,可导出中间项 b12=1. 4.对任意正整数 a,b,a+b≥2 ab大前提 1 1 x+ ≥2 x· 小前提

x

x

1 所以 x+ ≥2 结论

x

以上推理过程中的错误为( ) A.大前提 B.小前提 C.结论 D.无错误 解析:选 B.∵小前提中没有标明 x>0,故小前提错. 2 4 3 5.(2013·日照质检)观察(x )′=2x,(x )′=4x ,(cos x)′=-sin x,由归纳推 理可得:若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(- x)=( ) A.f( x) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x) 解析:选 D.由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数.因此当 f(x)是偶函数 时,其导函数应为奇函数,故 g(-x)=-g(x). 二、填空题 100 100 6.一切奇数都不能被 2 整数,2 +1 是奇数,所以 2 +1 不能被 2 整除,其演绎“三 段论”的形式为: 大前提:一切奇数都不能被 2 整除, 小前提: ________________________________________________________________________, 结论:
1

_____________________________________________ ________________________ ___. 100 100 解析:由“三段论”的形式可知:2 +1 是奇数为小前提,2 +1 不能被 2 整除是结论. 100 100 答案:2 +1 是奇数 2 +1 不能被 2 整除 7.古希腊数学家把数 1,3,6,10,15,21,?叫做三角形数,它们有一定的规律性.第 30 个三角形数与第 28 个三角形数的差为________. 解析:第 n 个三角形数满足的规律为 an=an-1+n,从而有 a30=a29+30=a28+29+30= a28+59,所以两数差为 59. 答案:59 8.(2012·高考湖北卷)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如 22,121,3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33,?,99.3 位回文数有 90 个: 101,111,121,?,191,202,?999.则 (1)4 位回文数有________个; (2)2n+1(n∈N+) 位回文数有________个. 解析:2 位回文数有 9 个,4 位回文数有 9×10=90 个,3 位回文数有 90 个,5 位回文 n 数有 9×10×10=100×9 个,依次类推可得 2n+1 位有 9×10 个. n 答案:(1)90 (2)9×10 三、解答题 3 2 2 9.已知等式:sin 5°+cos 35°+sin5°cos35°= ; 4 3 2 2 sin 15°+cos 45°+sin15°cos45°= ; 4 3 2 2 sin 30°+cos 60°+sin30°cos60°= ;?. 4 由此可归纳出对任意角 θ 都成立的一个等式,并予以证明. 解:归纳已知可得: 3 2 2 sin θ +cos (θ +30°)+sinθ cos(θ +30°)= . 4 证明如下: 2 2 sin θ +cos (θ +30°)+sinθ cos(θ +30°) 3 1 3 1 2 2 =sin θ +( cosθ - sinθ ) +sinθ ( cosθ - sinθ ) 2 2 2 2 3 2 1 2 1 3 2 2 =sin θ + cos θ + sin θ - sin θ = . 4 4 2 4 10.(2013·聊城质检)已知命题:“若数列{an}是等比数列,且 an>0,则数列 bn=

n

a1a2?an(n∈N*)也是等比数列”. 类比这一性质, 你能得到关于等差数列的一个什么性质?

并证 明你的结论. 解:类比等比数列的性质,可以得到等差数列的一个性质是:若数列{an}是等差数列, a1+a2+?+an 则数列 bn= 也是等差数列.

n

证明如下:

a1+a2+?+an 设等差数列{an}的公差为 d,则 bn= = n d 所以数列{bn}是以 a1 为首项, 为公差的等差数列.
2

n? n-1? d na1+
2

n

=a1+ (n-1), 2

d

一、选择题 2 2 3 3 4 4 1.(2012·高考江西卷)观察下列各式:a+b=1,a +b =3,a +b =4,a +b =7,
2

a5+b5=11,?,则 a10+b10=(

)

A.28 B. 76 C.123 D.199 n n 解析:选 C.记 a +b =f(n),则 f(3)=f(1)+f(2)=1+3=4;f(4)=f(2)+f(3)=3 * +4=7;(5)=f(3)+f(4)=11.通过观察不难发现 f(n)=f(n-1)+f(n-2)(n∈N ,≥3), f n 则 f(6)=f(4)+f(5)=18;f(7)=f(5)+f(6)=29;f(8)=f(6)+f(7)=47;f(9)=f(7) 10 10 +f(8)=76;f(10)=f(8)+f(9)=123.所以 a +b =123. 2.①由“若 a,b,c∈R,则(ab)c=a(bc)”类比“若 a、b、c 为三个向量,则(a·b)c =a(b·c)”; n ②在数列{an}中,a1=0,an+1=2an+2,猜想 an=2 -2; ③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个面 的 面积之和大于第四个面的面积”; 上述三个推理中,正确的个数为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:选 C.①三个实数之积满足乘法的结合律,而三个向量之积是向量,而两个向量 相等要满足方向和大小都相等,向量(a·b)c 与向量 a(b·c)不一定满足,故①错误. n ②由 an+1=2an+2,可得 an+1+2=2(an+2),故数列{an+2}为等比数列,易求得 an=2 -2,故②正确; ③在四面体 ABCD 中,设点 A 在底面 BCD 上的射影是 O,则三个侧面的面积都大于其在 底面上的投影的面积,三个侧面的面积之和一定大于底面的面积,故③正确. 二、填空题 3.在圆中有结论:如图所示,“AB 是圆 O 的直径,直线 AC,BD 是圆 O 过 A,B 的切线, P 是圆 O 上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有 PO2=PC·PD”.类比到椭圆:“AB 是椭圆的 长轴,直线 AC,BD 是椭圆过 A,B 的切线,P 是椭圆上任意一点,CD 是过 P 的切线,则有 ____________.”

解析:椭圆中的焦半径类比圆中的半径. 答案:PF1·PF2=PC·PD 4.(2011·高考山东卷)设函数 f(x)=

x

x+2

(x>0),观察:

x f1(x)=f(x)= , x+2 x f2(x)=f(f1(x))= , 3x+4 x f3(x)=f(f2(x))= , 7x+8 x f4(x)=f(f3(x))= , 15x+16
? 根据以上事实,由归纳推理可得: * 当 n∈N 且 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))=________. 解析: 依题意, 先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式, 1,3,7,15, 由 ?, n 可推知该数列的通项公式为 an=2 -1.又函数结果的分母中常数项依次为 2,4,8,16, ?, 故 n 其通项公式为 bn=2 .

3

所以当 n≥2 时,fn(x)=f(fn-1(x))= n ? 2 -1? 答案:

x

x+2n

.

x
n n

? 2 -1? x+2 三、解答题

5.在 Rt△AB C 中,AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,求证:

1

AD2 AB2 AC2



1



1

,那么在四面体 A-BCD

中,类比上述结论,你能得到怎样的猜想?并说明理由.

图① 解:如图①所示,由射影定理知 AD2=BD·DC, AB2=BD·BC, AC2=BC·DC, 1 1 ∴ 2= AD BD·DC

BC2 BC2 = = . BD·BC·DC·BC AB2·AC2 2 2 2 又 BC =AB +AC , 2 2 1 AB +AC 1 1 ∴ 2= 2 . 2= 2+ AD AB ·AC AB AC2
∴ 1

AC2 类比 AB⊥AC,AD⊥BC 猜想: 四面体 A-BCD 中,AB、AC、AD 两两垂直, AE⊥平面 BCD, AD AB
则 1

2



1

2



1

.

AE2 AB2 AC2 AD2



1



1



1

.

图② 如图②,连接 BE 并延长交 CD 于 F, 连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥ AD,AC∩AD=A, ∴AB⊥平面 ACD. 而 AF? 平面 ACD, ∴AB⊥AF, 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF, 1 1 1 ∴ 2= 2+ 2.

AE

AB

AF

在 Rt△ACD 中,AF⊥CD, 1 1 1 ∴ 2= 2+ 2.

AF

AC

AD

4



1

AE

2



1

AB

2



1

AC

2



1

AD2

,故猜想正确.

5



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