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福建省宁德市五校教学联合体2014-2015学年高二上学期期中考试数学(理) Word版含答案


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宁德市五校教学联合体 2014-2015 学年第一学期期中考试

高二理科数学试题
(满分:150 分
命题人: 金新雄

时间:120 分钟)
阮龙杰 张沪博 黄传杰

注意事项: 1.答卷前,考生务必将班级、姓名、座号、考试座位号填写清楚. 2.每小题选出答案后,填入答案卷或填涂到答题卡中 . 3.考试结束,考生只将答案卷、答题卡交回,试卷自己保留. 4.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本小题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知等比数列 ?an ? 中, a3 ? 3, a6 ? 9 ,则 a9 ? A. 27 B. 15 C. 12 D. 1 2.若 a ? b ? c ,则下列不等式一定成立的是 A.

1 1 ? a?c b?c

B.

1 1 ? a?c b?c

C.

1 1 ? ac bc

D.

1 1 ? ac bc

1 3.在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且 a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac ,则 cos B 的 2

值为 A.
1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 5

4. 已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 3 , a4 ? 7 ,则数列 ?an ? 的前 5 项之和等于 A. 30
2

B. 25

C. 20

D. 16

5. 已知关于 x 不等式 x ? bx ? a ? 0 的解集是 (3, 5) , 则 a +b 等于 A. ?23 B. 8 C. 7 D. ?7

6. 在 ΔABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c , 若 a ? 1, b ? 3, A ? 300 , 则 角 B 等于 A. 60 或 120 B. 30 或 150 C. 60 D. 120

7. 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 3, an ?1 ? an ? n ,则 a11 的值为 A. 55 B. 56 C. 57 D. 58

8. 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对边分别为 a、b、c ,若 a cos C ? b ,则 ?ABC 的形状是 A. 钝角三角形 B. 锐角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形

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9. 一船自西向东匀速航行,上午 7 点到达一座灯塔的南偏西 75° 且距灯塔 80 n mile 的 M 处,若这只船的航行速度为 10 6 n mile, 则到达这座灯塔东南方向的 N 处是上午 A. 8 点 10. 已知 t ?
2

北 东

B. 9 点

C.10 点

D.11 点

?u ? 7u ? 7 (u ? 1) ,且关于 t 的不等式 t 2 ? 8t ? m ? 18 ? 0 有解,则实数 m u ?1

的取值范围是 A. (??, ? 3) B. (?3, ? ? ) C. (3, ? ? ) D. (??, 3)

第 II 卷

(非选择题共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卷相应位置. 11. 已知等比数列 ?an ? 满足: a1 ? 1, a4 ? 8, 则该数列的前 n 项和 Sn ? ※ ※ ;

?y ? 0 ? 12.已知实数 x,y 满足不等式组 ? x ? y ? 0 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

※ ※

;
2 1 ? ? 1 , 若 m ? x ? y ,则实数 m 的取值范围是 ※ ※ ; x y
A

13. 已知正实数 x, y 满足

14. 如图, 在 ?ABC 中, B ? 30 , AB ? 6, ? ADC ? 45 , 点 D 在 BC 边上,且 CD ? 1 ,则 AC 的长为 ※ ※ ;
B D C

(第 14 题) 15. 定义:满足对任意的正整数 n, an ?2 ? an ?1 ? an ?1 ? an 都成立的数列 {an } 为“降步数列”. 给出以下数列 ?an ? (n ? N*) :① an ? 5n ? 3 ;② an ? n 2 ? n ? 1 ;③ an ? n ; ④ an ? 2n ?
1 1 ;⑤ an ? 2 ;其中是“降步数列”的有 n n ?n

※ ※

(写出所有满足

条件的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 在 ?ABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,已知 A ? 120 , B ? 30 , a ? 3 . (I) 求 b 的值; (II)求 ?ABC 的面积和外接圆半径.

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17. (本小题满分 13 分) 记不等式 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0 的解集为 A ,关于 x 的不等式 x 2 ? (a ? 1) x ? a ? 0 的解集 为B. (Ⅰ) 当 a ? 3 时,求 A (Ⅱ)求集合 B ; (Ⅲ)若 A ? B ,求实数 a 的取值范围.

B;

18. (本小题满分 13 分) 红旗化肥厂生产 A 、 B 两种化肥. 某化肥销售 店从该厂买进一批化肥,每种化肥至少购买 5 吨, 每吨出厂价分别为 2 万元、1 万元.且销售店老板购买 化肥资金不超过 30 万元. (Ⅰ)若化肥销售店购买 A 、 B 两种化肥的数量 分别是 x (吨)、 y (吨),写出 x 、 y 满足的不等式组; 并在给定的坐标系中画出不等式组表示的平面区域 (用阴影表示). (Ⅱ)假设该销售店购买的 A 、 B 这两种化肥能 全部卖出,且每吨化肥的利润分别为 0.3 万元、0.2 万元,问销售店购买 A 、 B 两种化肥各多少吨时,才 能获得最大利润,最大利润是多少万元?

19.(本小题满分 13 分) 设等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a2 与 a10 的等差中项是 ?4 ,且 a1 a6 ? 14 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 f (n) ?

2Sn ? 2an (n ? N ? ) ,求 f (n) 最小值及相应的 n 的值. n

20. (本小题满分 14 分)

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在 ΔABC 中,角 A、 B、 C 所对边分别为 a、、 b c ,已知 bc cos A ? 3 , ΔABC 的 面积为 2. (Ⅰ)求 cos A 的值 ; (Ⅱ)若 a ? 2 5 ,求 b ? c 的值.

21.(本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? , 其前 n 项和为 Sn ,若 a2 ? 4 , 2 Sn ? an (n ? 1) . (Ⅰ)求 a1 、 a3 ; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (Ⅲ)设 Tn ?

1 1 1 1 T ? . ? 2 ? ??? ? 2 2 2 2 ,求证: n a ? a2 a2 ? a3 an ? an ?1 8
2 1

宁德市五校教学联合体 2014-2015 学年第一学期期中考试

高二理科数学试题参考答案
1. A 2. B 3. C 12. 6 4. B 5. D 6. A 7.D 14. 13 8. C 15. ①③ 9. D 10. A 11. 2n ? 1 13. [3 ? 2 2, ? ?) 16.解: (I)由正弦定理得
a b ? , sin A sin B
?b?

A ? 120 , B ? 30 , a ? 3 ,

…………………………………....3 分 ……………………………………………

a sin B 3 ? sin 30 ? ? 3 sin A sin120 ……5 分

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(II) A+B+C=180o ,A=120o ,B=30o ? C=30o .
? ?ABC 的面积

1 1 9 SΔABC = absinC ? ? 3 ? 3 ? sin 30 ? . 2 2 4

…… ………………………9 分

又 a =2R (R为?ABC外接圆半径) ……………………………………………………. 11 sinA 分
? R= a 3 ? ? 3. 2sinA 2 ? sin120

9 所以 ?ABC 的面积为 , 外接圆半径为 4
3

………………………………………………13 分 解 : (I) 依 题 意 得

17.

A= { x |1 ? x ? 2} , B={x |1 ? x ? 3}

........................................................................................2分 . …………………………………………………………………………… ……4分 所以

A

B ? {x |1 ? x ? 2};

……………………………………………………………………6分 (II) 由 x ? (a ? 1) x ? a ? 0 得
2

( x ? 1)( x ? a ) ? 0 ??? (*) ,
(*) 可得 a ? x ? 1 ;

……………………………………7分 当 a ? 1 时,由

………………………………………………………8 分 当 a =1 时,由

(*) 可得 x ? 1 ;

………………………………………………………………9 分 当 a ? 1 时,由

(*) 可得 1 ? x ? a ;

………………………………………………………10 分

所以当 a ? 1 时, B={x|a ? x ? 1} ; 当 a ? 1 时, B={1} ; 当 a ? 1 时,
{x |1 ? x ? a}. ;

…………………………………………………………11 分

(III) 若 A ? B , 当当 a ? 1 或 a ? 1 时,由(II)不合题

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………………………………………………12 分 则

a?2

.....................................……………………………13 分

18. 解: (Ⅰ)依题意, x 、 y 满足的不等式组如下:
?x ? 5 ? ?y ? 5 ?2 x ? y ? 30 ?

…………………3 分

画出的平面区域

……………6 分

(Ⅱ) 设销售店出售这两种化肥的总利润为 z 万元, 则目标函数为 z ? 0.3x ? 0.2 y ,
3 y ? ? x ? 5z 2
5 z 表示过可行域内点斜率为 ?

3 的一组平行线在 y 轴上的截距. 2

?x ? 5 解 ? ?2 x ? y ? 30 ……………………………9 分 M (5, 20) 当直线过点 M (5, 20) 时,在 y 轴上的截距最大,







?x ? 5 ? ? y ? 20



即 zmax ? 0.3 ? 5 ? 0.2 ? 20 ? 5.5 (万元)

…12 分

答:销售店购买 A 、 B 两种化肥分别为 5 吨、 20 吨时,才能使利润最大,最大利润为 5.5 万 元 …………………………1 3分 19. 解: (Ⅰ) ∵ a2 与 a10 的等差中项是-2, ∴ a6 ? 2分 ∵ ∴ a1 ? ?7 , ∴

1 ………………………… (a2 ? a10 ) ? ?2 , 2

a1 ? a6 ? 14
……………………………………………..… 4 分 ,



d?

a6 ? a1 ?1 5

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an ? n ? 8
( ∴ Sn ? Ⅱ )

. ……………............................6 分 ∵

a1 ? ?7, an ? n ? 8



1 2 15 n ? n ………………………………………… 8 分 2 2
*

∵n? N



2Sn ? 2an n 2 ? 15n ? 2(n ? 8) 16 ? ? n ? ? 17 ? 2 16 ? 17 ? ?9 , n n n

………………

…… 11 分 当且仅当 n ? 13 分

16 即 n ? 4 时取等号, ∴当 n ? 4 时, 所求最小值为 ?9 …………….…… n

20.解: (Ⅰ) ?ABC 的面积为 2, ? cb sin A ? 2 , ? cb sin A ? 4 分 又

1 2

……………2

bc cos A ? 3

?

sin A ?

4 cos A ............(1) 3

………………………………………………..........4 分



sin 2 A ? cos 2 A=1 ...............(2) ,





(1)

(2)





2 cos A?

9 . 25

………………………………………………….................5 分

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A







,

cos A ? 0







cos A ?

3 5

………………………………...........6 分

(Ⅱ) 由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ,

由 (1) 知 cos A ? a?2 5,

3 , 5

6 ? b 2 ? c 2 ? bc ? 20 5













cb ?

3 ?5 cosA

? b 2 ? c 2 ? 26 .… ……………………………..9 分:

? (b ? c) 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ? 26 ? 10 ? 36 . ………………………………………….....

......12 分

b?c ?0

? b ? c ? 6 . ……………………………………………………...................13 分
21. 解: (Ⅰ)依题意得 2a1 ? 2a2 ? a2 (2 ? 1), 整理得 2a1 ? a2 ,
a2 ? 4,? a1 ? 2.



2(a1 ? a2 ? a3 ) ? 4a3 ,





2a3 ? 2a1 ? 2a2 , a3 ? 6 .………………………………. .......... ..3 分

(Ⅱ) 2Sn ? an ? (n ? 1)

? n ? 2, 2 Sn ?1 ? an ?1 ? n

……………………………………………………….............

........5 分

? 2an ? 2( Sn ? Sn ?1 ) ? (n ? 1)an ? nan ?1

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?

an n . ? an ?1 n ? 1

……………………………………………………………………............

........7 分

? an ?

an an ?1 a n n ?1 2 ? ? ? ? 2 a1 ? ? ? ? ? ? 2 ? 2n an ?1 an ? 2 a1 n ?1 n ? 2 1

? an ? 2n.

…………………………………………………………………...............

.......9 分

(III)法一

1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ( ? ) ……………… 2 2 2 an ? an ?1 4n ? 4(n ? 1) 4(2n ? 2n ? 1) 8n(n ? 1) 8 n n ? 1
2

......11 分

? Tn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ??? ? 2 ? (1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ) 2 2 2 a ? a2 a2 ? a3 an ? an ?1 8 2 2 3 n n ?1
2 1

1 1 1 ? (1 ? ) ? . .......……………………………………………………………………..... 8 n ?1 8

....14 分

法二
1 1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? ? ( ? ) 2 2 2 2 an ? an ?1 4n ? 4(n ? 1) 8n(n ? 1) 8 n n ? 1 8 n (n ? 1)
2

…………......11



下同法一。

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