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正弦定理余弦定理


课时作业 24 正弦定理、余弦定理

一、选择题 1.在△ABC 中,A∶B=1∶2,sinC=1,则 a∶b∶c 等于( A.1∶2∶3 C.1∶ 3∶2 π 解析:由 sinC=1,∴C= 2 , π 由 A∶B=1∶2,故 A+B=3A= 2 , π π 得 A= 6 ,B= 3 , 1 3 由正弦定理得,a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC=2∶ 2 ∶1=1∶ 3∶2. 答案:C 2.在△ABC 中,若 sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC 的形状是( A.锐角三角形 C.钝角三角形
2 2 2

)

B.3∶2∶1 D.2∶ 3∶1

)

B.直角三角形 D.不能确定

a2+b2-c2 解析:由正弦定理得 a +b <c ,所以 cosC= 2ab <0,所以 C 是钝角, 故△ABC 是钝角三角形. 答案:C 3. 在△ABC 中, 已知 b=40, c=20, C=60° , 则此三角形的解的情况是( A.有一解 B.有两解 C.无解 )

D.有解但解的个数不确定 b c 解析:由正弦定理得sinB=sinC, 3 40× 2 bsinC ∴sinB= c = 20 = 3>1. ∴角 B 不存在,即满足条件的三角形不存在. 答案:C 1 4.钝角三角形 ABC 的面积是2,AB=1,BC= 2,则 AC=( A.5 C.2 B. 5 D.1 )

1 解析:由题意知 S△ABC=2AB·BC·sinB, 1 1 2 即2=2×1× 2sinB,解得 sinB= 2 . ∴B=45°或 B=135°. 2 当 B=45°时,AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cosB=12+( 2)2-2×1× 2× 2 =1. 此时 AC2+AB2=BC2,△ABC 为直角三角形,不符合题意;当 B=135°时, AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cosB=12+( 2)2-2×1× 2×?-
? ?

2? ?=5,解得 AC= 2?

5.符合题意.故选 B. 答案:B 5.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 c2=(a-b)2+6, π C= 3 ,则△ABC 的面积是( )

A.3 3 3 C. 2

9 3 B. 2 D.3 3

解析:在△ABC 中,由已知条件及余弦定理可得 c2=(a-b)2+6=a2+b2- π 2abcos 3 ,整理得 ab=6, π 3 1 1 再由面积公式 S=2absinC,得 S△ABC=2×6×sin 3 =2 3.故选 C. 答案:C 1 6.已知△ABC 的周长为 2+1,且 sinA+sinB= 2sinC.若△ABC 的面积为6 sinC,则角 C 的大小为( A.30° C.90° ) B.60° D.120°

?a+b+c= 2+1, ? 解析:由已知可得? ?a+b= 2c, ?

∴c=1,a+b= 2. 1 1 1 又2absinC=6sinC,∴ab=3. a2+b2-c2 (a+b)2-2ab-c2 1 ∵cosC= 2ab = =2, 2ab ∴C=60°. 答案:B 二、填空题 3 5 7.设△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 cosA=5,cosB=13, b=3,则 c=________.

4 12 解析:由已知条件可得 sinA=5,sinB=13,而 sinC=sin(A+B)=sinAcosB 56 b c 14 +cosAsinB=65,根据正弦定理sinB=sinC得 c= 5 . 14 答案: 5 8.(2015· 福建卷)若锐角△ABC 的面积为 10 3,且 AB=5,AC=8,则 BC 等于________. 1 1 3 解析:因为 S=2×AB×AC×sinA=2×5×8×sinA=10 3,所以 sinA= 2 , π 1 因为三角形是锐角三角形,所以 A= 3 ,所以 BC2=25+64-2×5×8×2=49, BC=7. 答案:7 9.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知△ABC 的面积 1 为 3 15,b-c=2,cosA=-4,则 a 的值为________. 1 解析:因为 cosA=-4,所以 sinA=
? 1?2 15 1 1 1-?-4? = 4 ,S△ABC=2bcsinA=2 ? ?

15 bc× 4 =3 15.所以,bc=24,则(b+c)2=(b-c)2+4bc=4+4×24=100,所以, b+c=10,又 b-c=2,所以,b=6,c=4,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA =64,所以 a=8. 答案:8 三、解答题 10.设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1, A=2B. (1)求 a 值;

? π? (2)求 sin?A+ ?的值. 4? ?

解:(1)因为 A=2B, 所以 sinA=sin2B=2sinBcosB. a2+c2-b2 由正弦定理、余弦定理得 a=2b· 2ac . 因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3. b2+c2-a2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cosA= 2bc = =- 所以 sinA 6 3.由于 0<A<π, = 1-cos2A=
? π π 2 2 π? 1 2 2 2 1-9= 3 .故 sin?A+ ?=sinAcos 4 +cosAsin 4 = 3 × 2 + 4? ?

? 1? 2 4- 2 ?- ?× = 2 6 . ? 3?

11.(2015· 山东卷)△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 cosB 3 6 = 3 ,sin(A+B)= 9 ,ac=2 3,求 sinA 和 c 的值. 3 6 解:在△ABC 中,由 cosB= 3 ,得 sinB= 3 , 6 因为 A+B+C=π,所以 sinC=sin(A+B)= 9 . 因为 sinC<sinB,所以 C<B,可知 C 为锐角, 5 3 所以 cosC= 9 . 因此 sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC 6 5 3 3 6 2 2 =3× 9 +3×9= 3 . a c 由sinA=sinC,

2 2 3 c csinA 可得 a= sinC = =2 3c, 6 9 又 ac=2 3,所以 c=1. 12.(2015· 江苏卷)在△ABC 中,已知 AB=2,AC=3,A=60°. (1)求 BC 的长; (2)求 sin2C 的值. 1 解: (1)由余弦定理知, BC2=AB2+AC2-2AB· AC· cosA=4+9-2×2×3×2= 7, 所以 BC= 7. AB BC (2)由正弦定理知,sinC=sinA, 2sin60° AB 21 所以 sinC=BC·sinA= = 7 . 7 因为 AB<BC,所以 C 为锐角. 则 cosC= 1-sin2C= 3 2 7 1-7= 7 .

21 2 7 4 3 因为 sin2C=2sinC·cosC=2× 7 × 7 = 7 .

1.(2016· 陕西省第一次质量检测)在△ABC 中,sinA=sinB=-cosC. (1)求角 A,B,C 的大小; (2)若 BC 边上的中线 AM 的长为 7,求△ABC 的面积. 解:(1)由 sinA=sinB 可知 A=B,从而有 C=π-2A. 又 sinA=-cosC=cos2A=1-2sin2A, ∴2sin2A+sinA-1=0,

1 ∴sinA=-1(舍去),或 sinA=2. π 2π 故 A=B= 6 ,C= 3 . (2)设 BC=2x,则 AC=2x,在△ACM 中,AM2=AC2+MC2-2AC· MCcosC, 2π ∴7=4x2+x2-2· 2 x· x· cos 3 , ∴x=1, 2π 1 1 ∴△ABC 的面积 S=2·CA·CB·sinC=2·2x·2x·sin 3 = 3. 2.已知 a=(2cosx+2 3sinx,1),b=(y,cosx),且 a∥b. (1)将 y 表示成 x 的函数 f(x),并求 f(x)的最小正周期; (2)在△ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c, 若 f(B)=3, BA―→· BC―→ 9 =2,且 a+c=3+ 3,求边长 b. 解:(1)由 a∥b 得 2cos2x+2 3sinxcosx-y=0, π 即 y=2cos2x+2 3sinxcosx=cos2x+ 3sin2x+1=2sin(2x+ 6 )+1, π 所以 f(x)=2sin(2x+ 6 )+1, 2π 2π 又 T= = 2 =π,

ω

所以函数 f(x)的最小正周期为π. π (2)由 f(B)=3 得 2sin(2B+ 6 )+1=3, π 解得 B= 6 . 9 9 又由 BA―→· BC―→=2知 accosB=2, 所以 ac=3 3.

b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac-2accosB=(3+ 3)2-2×3 3-2×3 3 3 × 2 =3,所以 b= 3.


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