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北京四中2015届高三上学期期中考试数学(理)



北京四中 2015 届高三上学期期中考试数学(理)试卷
(试卷满分:150 分 考试时间:120 分钟) 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. (1) 设集合 M ? {0,1, 2} , N ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} ,则 M (B){2} (D){1,2}
1

N=

(A)

{1} (C){0,1} (2)
1 ? 1 ?5 设 a ? 4 , b ? log3 , c ? ? ? ,则 7 ?3?
1 3

(A) a ? b ? c (C) a ? c ? b (3)

(B) b ? a ? c (D) b ? c ? a

已知 i 是虚数单位, a, b ? R ,则“ a ? b ? 1 ”是“ (a ? b i)2 ? 2i ”的 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)充分必要条件 (4)

为了得到函数 y ? sin 3x ? cos3x 的图象,可以将函数 y ? 2 sin3x 的图象

(A)向右平移 (C)向右平移 (5) 函数 y ?

? 个单位 4
? 个单位 12

(B)向左平移 (D)向左平移

? 个单位 4
? 个单位 12

cos 6 x 的图象大致为 2 x ? 2? x

(A)

(B)

第 1 页 共 19 页

(C)

(D)

b / /c , (6) 设 x, y ? R , 向量 a ? ( x,1) , 且a ? c , 则| a ? b | b ? (1, y ) , c ? (2, ?4) , = (A) 5 (B) 10

(C) 2 5 (7)

(D) 10

?1 ? ? 1, x ? 1, 已知 f ( x) ? ? x 若函数 g ( x) ? f ( x) ? kx ? k 只有一个零点, ? ?ln x, 0 ? x ? 1,

则k 的 取值范围是 (A) ( ??, ?1) U (1, ??) (C) [0,1] (B) (?1,1) (D) ( ??, ?1] U[0,1]

(8) 设 f ( x) ? a sin 2 x ? b cos 2 x ,其中 a, b ? R, ab ? 0 ,若 f (x) ? f ( ) 对一切 6
x ? R 恒成立,则下列结论正确的是

?

11? )?0; ① f( 12



既不是奇函数也不是偶函数;

? 2? ? ? ③ f ( x) 的单调递增区间是 ? k? ? , k? ? ( k ? Z) ; 6 3 ? ? ?
④ 存在经过点 ( a, b) 的直线与函数 f ( x) 的图象不相交. (A) ①② (C) ②③ (B)①③ (D)②④

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) 在等差数列 {an } 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前 11 项和 S11 = (10) 如图,阴影区域是由函数 y ? cos x 的一段图象与 x 轴围 成的封闭图形,则该阴影区域的面积是 . .

(11) 在△ ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c . a ? 15 ,

第 2 页 共 19 页

b ? 10 , A ? 60 ,则 cos B ?

. .

(12) 已知实数 x, y 满足 2 x ? 2 y ? 1 ,则 x ? y 的最大值是

? x ? y ? 3 ? 0, ? (13) 若直线 y ? 2 x 上存在点 ( x , y ) 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 3 ? 0, 则实数 m 的取 ? x ? m, ?

值范 围为 .

(14) 设集合 X 是实数集 R 的子集,如果点 x0 ? R 满足:对任意 a ? 0 ,都存在
x ? X ,使得 0 ?| x ? x0 |? a ,那么称 x0 为集合 X 的聚点.则在下列集合中

① {

n | n ? Z, n ? 0} ; n ?1 1 { | n ? Z, n ? 0} ; n

② {x | x ? R,x ? 0} ;





整数集 Z .

以 0 为聚点的集合有

.(请写出所有满足条件的集合的编号)

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15) (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2( 3 cos x ? sin x)sin x , x ? R . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期与单调增区间;
? ?? (Ⅱ)求函数 f ( x) 在 ?0, ? 上的最大值与最小值. ? 4?

(16) (本题满分 13 分) 已知数列 {an } 满足: a1 ? 1 , 2an?1 ? 2an ?1, n ? N? . 数列 {bn } 的前 n 项和为

?1? Sn , S n ? 9 ? ? ? ? 3?

n?2

, n ? N? .

(Ⅰ)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an ? bn , n ? N? .求数列 {cn } 的前 n 项和 Tn .

第 3 页 共 19 页

(17) (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? (1? x )2 ? 2a ln(1 ( a ? R) . ?x) (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 a ? 1 , x ? [0,1] ,求函数 y ? f ( x) 图象上任意一点处切线斜率 k 的取 值范围 . (18) (本题满分 13 分) 如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿 直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现 有甲、乙两位游客从 A 处下山 ,甲沿 AC 匀速步行 , 速度为 50m / min . 在甲出发
2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后, 再从 B 匀速步行到 C .假设缆

m经 测 车 匀 速 直 线 运 动 的 速 度 为 130m / min , 山 路 AC 长 为 1 2 6 0 ,

量, cos A ?

12 3 , cos C ? . 13 5

(Ⅰ)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (Ⅱ)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制 在什么范围内?

(19) (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln(2ax ? 1) ?
x3 ? x 2 ? 2ax(a ? 0). 3

(Ⅰ)若 x ? 2 为 f ( x) 的极值点,求实数 a 的值; (Ⅱ)若 y ? f ( x) 在 ?3, ?? ? 上为增函数,求实数 a 的取值范围. (20) (本小题满分 14 分) 已知 Sn ? {A A ? (a1, a2 , a3 ,

, an ) , ai ? 0 或 1, i ? 1, 2,

, n} (n ? 2) ,对于

第 4 页 共 19 页

U ,V ? Sn , d (U ,V ) 表示 U 和 V 中对应位置的元素不同的个数.
(Ⅰ)令 U ? (0, 0, 0, 0, 0) ,求所有满足 V ? S5 ,且 d (U ,V ) ? 2 的 V 的个数; (Ⅱ)令 W ? (0, 0, 0,
n个 0

, 0) ,若 U ,V ? Sn ,求证: d (U ,W ) ? d (V ,W ) ? d (U ,V ) ;

(Ⅲ)给定 U ? (a1 , a2 , a3 ,

, an ) , U ? Sn ,若 V ? Sn ,求所有 d (U ,V ) 之和.

第 5 页 共 19 页

北京四中高三年级期中数学(理)答题卡
班级 学号 姓名 成绩

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

1 2 3 4

[A] [A] [A] [A]

[B] [B] [B] [B]

[C] [C] [C] [C]

[D] [D] [D] [D]

5 6 7 8

[A] [A] [A] [A]

[B] [B] [B] [B]

[C] [C] [C] [C]

[D] [D] [D] [D]

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

9. 10. 11. 12. 13. 14.

第 6 页 共 19 页

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
15. (13 分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效

第 7 页 共 19 页

16. (13 分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效

第 8 页 共 19 页

17. (13 分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效

第 9 页 共 19 页

18. (13 分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效

第 10 页 共 19 页

19. (14 分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效

第 11 页 共 19 页

20. (14 分)请在下列边框答题,超出边框区域的答案无效

第 12 页 共 19 页

第 13 页 共 19 页

第 14 页 共 19 页

参考答案 一.选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分 题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 D 5
D

6 B

7 D

8 A

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分 9 88 10 2

11

6 3

12

—2

13

? ??,1?

14

②③

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分 15.解: f ( x) ? 3sin 2 x ? cos2 x ?1 ? 2( (Ⅰ) f ( x) 的最小正周期为 T ? 令?
3 1 π sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 . 2 2 6

?
2

? ?2k? ? 2 x ?

?
6

?

?

2π ? π. 2

2

? 2k? , k ? Z ,解得 ?

?
3

? k? ? x ?

?
6

? k? ,

, k? ? ], k ? Z . 3 6 ? ? ? 2? 1 ? (Ⅱ)因为 0 ? x ? ,所以 ? 2 x ? ? ,所以 ? sin(2 x ? ) ? 1 , 4 6 6 3 2 6

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 [k? ?

?

?

? 于是 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 2 ,所以 0 ? f ( x) ? 1 . 6
? ?
?

当且仅当 x ? 0 时 f ( x) 取最小值 f ( x)min ? f (0) ? 0

? 时最大值 f ( x) max ? f ( ) ? 1 . 6 2 6 6 1 16.解: (Ⅰ)由 2an?1 ? 2an ? 1 得 an ?1 ? an ? , n ? N? ,又 a1 ? 1 ,所以数列 {an } 2 1 n ?1 是以 1 为首项, 为公差的等差数列,于是 an ? a1 ? (n ? 1)d ? , n ? N? . 2 2
当且仅当 2 x ?
?

,即 x ?

?1? 当 n ? 1 时, b1 ? S1 ? 9 ? ? ? ? 3? ?1? 当 n ? 2 时, Sn?1 ? 9 ? ? ? ? 3?

1? 2

?6,

n ?3



第 15 页 共 19 页

? ? 1 ? n ? 2 ? ? ? 1 ? n ?3 ? 2 bn ? Sn ? Sn ?1 ? ?9 ? ? ? ? ? ?9 ? ? ? ? ? n ? 2 , ? ? ?3? ? ? ? ? ?3? ? ? 3

又 n ?1时

2 3
n?2

? 6 ? b1 ,所以 bn ?

2 3
n?2

, n ? N? .
n?2

n ?1 2 ?1? bn ? n ? 2 , n ? N? , (Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知 an ? , 所以 cn ? an bn ? (n ? 1) ? ? 2 3 ? 3?

, n ? N? .

?1? ?1? ?1? 所以 Tn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? ? 3? ? 3? ? 3?
1 等式两边同乘以 得 3

?1

0

1

?1? ? (n ? 1) ? ? ? ? 3?

n ?2

???(1)

1 ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 4 ? ? ? ? 3 ? 3? ? 3? ? 3?
(1)-(2)得

0

1

2

?1? ? (n ? 1) ? ? ? ? 3?

n ?1

???(2)

2 ?1? ?1? ?1? Tn ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 ?3? ? 3? ? 3? ?1? 1? ? ? 3 =6+ ? ? 1 1? 3
n ?1

?1

0

1

?1? ?? ? ? 3?

n?2

?1? ? (n+1) ? ? ? 3?

n ?1

?1? ? (n+1) ? ? ?3?

n ?1

45 2n ? 5 ? 1 ? 所以 Tn ? ? ? ? 4 4 ? 3?

n?2

, n ? N? .

17.解: (Ⅰ)函数的定义域为 (?1, ?? ).
2? ( x ? 1) 2 ? a ? 2a ? ? f '( x) ? 2( x ? 1) ? ? x ?1 x ?1

当 a ? 0 时, f ?( x ) ? 0 在 (?1, ??) 上恒成立,于是 f ( x) 在定义域内单调递增. 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 得 x1 ? ?1 ? a , x2 ? ?1 ? a ? ?1(舍) 当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 变化情况如下

x
f ?( x )
f ( x)

? ?1, ?1 ? a ?


?1 ? a

? ?1 ?
+

a ,+?

?

极小值
第 16 页 共 19 页

所以 f ( x) 的单调递增区间是 ?1 ? a ,+? ,单调递减区间是 ?1, ?1 ? a . 综上,当 a ? 0 时, f ( x) 单调递增区间是 ? ?1,+?? , 当 a ? 0 时,f ( x) 的单调递增区间是 ?1 ? a ,+? , 单调递减区间是 ?1, ?1 ? a . (Ⅱ)当 a ? 1 时, f ( x) ? (1? x )2 ? 2 ln(1 ,令 h( x) ? f '( x) ? 2(1 ? x) ? ?x ) 则 h '( x) ? 2 ?
2 ( x ? ?1) , 1? x

?

?

?

?

?

?

?

?

2 ? 0 ,故 h( x) 为区间 [0,1]上增函数,所以 h( x) ? f '( x) ? [0,3] ,根据 (1 ? x ) 2

导数的几何意义可知 k ? [0, 3].

? 5 4 12 3 (0, ) , cos C ? ∴ A、C ? ∴ sinA ? , sinC ? 13 5 2 13 5 63 ? sin A cos C ? cos A sin C ? ∴ sin B ? sin(A ? C) 65 AB AC AC 1040 ? sin C ? 1040m , 所以乙在缆车上的时间为 =8 根据 得 AB ? sin C sin B sin B 130 (min). 设乙出发 t ( 0 ? t ? 8 )分钟后,甲、乙距离为 d ,则 12 d 2 ? (130t ) 2 ? (100 ? 50t ) 2 ? 2 ?130t ? (100 ? 50t ) ? 200(37t 2 ? 70t ? 50) 13 35 35 ∴t ? 时,即乙出发 分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短. 37 37 BC AC AC 1260 5 ? (Ⅱ)由正弦定理 得 BC ? sin A ? ? ? 500 (m). 63 13 sin A sin B sin B 65 乙从 B 出发时,甲已经走了 50(2+8+1)=550(m),还需走 710m 才能到达 C . 设乙步行速度为 v m / min ,则
18.解: (Ⅰ)∵ cos A ?
1250 625 500 710 ?v? . ? ? 3 .解得 43 14 v 50

∴为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟 , 乙步行的速度应控制在
?1250 625? ? 43 , 14 ? 范围内. ? ?

19. (Ⅰ)解: f ?( x) ?

x[2ax 2 ? (1 ? 4a) x ? (4a 2 ? 2)] 2a ? x 2 ? 2 x ? 2a ? 2ax ? 1 2ax ? 1

1分 2分 3分

因为 x = 2 为 f (x)的极值点,所以 f ?(2) ? 0 即
2a ? 2a ? 0 ,解得:a = 0 4a ? 1

又当 a = 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ,当 x ? (0, 2) 时, f ?( x) ? 0, x ? (2, ??) 时, f ?( x) ? 0,

第 17 页 共 19 页

从而 x = 2 为 f (x)的极值点成立. (Ⅱ)解:∵f (x)在区间[3,+∞)上为增函数, ∴ f ?( x) ?
x[2ax 2 ? (1 ? 4a ) x ? (4a 2 ? 2)] ≥ 0 在区间[3,+∞)上恒成立. 2ax ? 1

6分 8分

①当 a = 0 时, f ?( x) ? x( x ? 2) ≥ 0 在[3,+∞)上恒成立,所以 f (x)在[3,+∞)上为增 函数, 故 a = 0 符合题意. 分 ②当 a > 0 时, 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ≥ 0 在区间[3,+∞)上恒成立. 令 g ( x) ? 2ax2 ? (1 ? 4a) x ? (4a2 ? 2) ,其对称轴为 1 ? ∵a > 0,∴ 1 ?
1 4a

9

1 ? 1 ,从而 g (x)≥0 在[3,+∞)上恒成立,只要 g (3)≥0 即可, 4a
3 ? 13 3 ? 13 ≤a≤ 4 4

由 g (3) ? ?4a2 ? 6a ? 1≥ 0 ,解得: ∵a > 0,∴ 0 ? a ≤
3 ? 13 . 4

13 分
3 ? 13 ] 4

综上所述,a 的取值范围为[0, 分[来
2 20. 解: (Ⅰ) C5 ? 10 ;

14

???4 分

(Ⅱ)证明:令 u ? (a1 , a2 , a3……an ) , v ? (b1, b2 , b3……bn ) ∵ ai ? 0 或 1, bi ? 0 或 1; 当 ai ? 0 , bi ? 0 时, | ai | ? | bi |? 0 ?| ai ? bi | 当 ai ? 0 , bi ? 1 时, | ai | ? | bi |? 1 ?| ai ? bi | 当 ai ? 1 , bi ? 0 时, | ai | ? | bi |? 1 ?| ai ? bi | 当 ai ? 1 , bi ? 1 时, | ai | ? | bi |? 2 ?| ai ? bi |? 0 故 | ai | ? | bi | ?| ai ? bi | ∴ d (u, w) ? d (v, w) ? (a1 ? a2 ? a3 +

+an ) ?(b1 ? b2 ? b3 +

+bn )

? (| a1 | ? | a2 | ? | a3|+

+|an |) ?(| b1 | ? | b2 | ? | b3|+

+|bn |)
???9 分

? (| a1 ? b1 | ? | a2 ? b2 | ? | a3 ? b3|+

+|an ? bn |) ? d (u, v)

(Ⅲ)解:易知 Sn 中共有 2n 个元素,分别记为 vk (k ? 1, 2,
第 18 页 共 19 页

, 2n )

v ? (b1, b2 , b3……bn )
∵ bi ? 0 的 vk 共有 2 n ?1 个, bi ? 1 的 vk 共有 2 n ?1 个. ∴ ? d (u, vk )
k ?1 2n

= (2n?1 | a1 ? 0 | ?2n?1 | a1 ?1| ?2n?1 | a2 ? 0 | ?2n?1 | a2 ?1 |+ = n 2n?1 ∴ ? d (u, vk ) = n 2n?1 .
k ?1 2n

+2n?1|an ? 0 | +2n?1|an ?1|)

??14 分

r 法二:根据(Ⅰ)知使 d (u, vk ) ? r 的 vk 共有 Cn 个
2n

0 1 2 ∴ ? d (u, vk ) = 0 Cn ? 1 Cn ? 2 Cn ?
k ?1

n ? n Cn

? d (u, v ) = n C
k ?1 k 2n k ?1

2n

n n

n?1 n ?2 ? (n ?1) Cn ? (n ? 2) Cn ?

0 ? 0 Cn

两式相加得 ? d (u, vk ) = n 2n?1

第 19 页 共 19 页



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