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17同角三角函数的基本关系与诱导公式



2015-2016 溆浦一中高三数学(文)一轮复习导学案

主备人:邹伟

备课日期:2015/8/23

课题:同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、考点梳理: 1.同角三角函数的基本关系式 π sin α ? α≠kπ+ ,k∈Z?. (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R).(2)商数关系:t

an α= 2 ? cos α? 2.六组诱导公式 角 函数 正弦 余弦 正切 对于角“ 2kπ+ α(k∈Z) sin_α cos_α tan_α π+α -sin_α -cos_α tan_α -α -sin_α cos_α -tan_α π-α sin_α -cos_α -tan_α π -α 2 cos_α sin_α π +α 2 cos_α -sin_α


2

±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当 k 为

奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当 k 为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在 α 的三角函数值 前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号”. 3.诱导公式的应用原则 负化正,大化小,目标是锐角.

4.三角函数求值与化简的常用方法 sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α= 化成正、余弦. cos α (2)和积转换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =?. 4 二、基础自测: 1.已知 sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( A.sin θ<0,cos θ>0 B.sin θ>0,cos θ<0 ) D.sin θ<0,cos θ<0

C.sin θ>0,cos θ>0 )

π π? 3 2.(2014· 济南质检)α∈? ?-2,2?,sin α=-5,则 cos(-α)的值为( 4 A.- 5 3.cos 4 B. 5 3 C. 5 3 D.- 5

13? 4? -sin( ? )的值是________. 4 3

三、考点突破: 考点一、三角函数的诱导公式 【例 1】1.sin 600° +tan 240° 的值等于________. π 3 ? ?5 ? 2.已知 tan? ?6-α?= 3 ,则 tan?6π+α?=________.

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3π? tan?π+α?cos?2π+α?sin? ?α- 2 ? 3. =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α? sin?kπ+α? cos?kπ+α? 4.已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是( sin α cos α A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1} C.{2,-2} ) D.{1,-1,0,2,-2}

考点二、同角三角函数的基本关系 7π? 3 【例 2】1 已知 π<α<2π,cos(α-7π)=- ,求 sin(3π+α)· tan? ?α- 2 ?的值. 5

1 2 已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 1 (1) 求 tan α 的值;(2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. (3)sin2α+2sin αcos α 的值. cos α-sin2α

考点三、诱导公式在三角形中的应用 【例 3】1 在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos (π-B),求△ABC 的三个内角.

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2 2.若△ABC 的内角 A 满足 sin 2A= ,则 sin A+cos A=( 3 A. 15 3 B.- 15 3 5 C. 3

) 5 D.- 3

四、当堂检测 π ? 3 ?π ? 1.若 sin? ?6+α?=5,则 cos?3-α?=( 3 A.- 5 3 B. 5 ) 4 C. 5 4 D.- 5

sin θ+cos θ 3π ? 2.若 =2,则 sin(θ-5π)sin? ? 2 -θ?= sin θ-cos θ 3.在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

五、课后巩固: 1.tan(-1410°)的值为( ) 3 3 A. B.- C. 3 D.- 3 3 3 π π 3 2.[2014· 济南质检] 若 α∈- , ,sin α=- ,则 cos(-α)的值为( 2 2 5 4 4 3 3 A.- B. C. D.- 5 5 5 5 2sin α -cos α 3.若 tan α=2,则 的值为( ) sin α +2cos α 3 5 A.0 B. C.1 D. 4 4 π 3 π ? 4.已知 cos? ) ?2-φ?= 2 ,且|φ|<2,则 tan φ=( A.- 3 3 B. 3 3 C.- 3 ) 1 D. 3 D. 3

)

sin?π-α?cos?2π-α? 31 ? 5.已知 f(α)= ,则 f? ?- 3 π?的值为( cos?-π-α?tan α 1 A. 2 1 B.- 3 1 C.- 2

6.已知 sin(π-α)= log 8

1 π - ,0?,则 tan(2π-α)的值为________. ,且 α∈? 2 ? ? 4

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π π ? cos?π-α? sin?π-α?· ? sin? cos? ?2+α?· ?2 ? ?2+α? 7.化简 + =________. cos?π+α? sin?π+α? 8.若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α=________. 2 9.已知 sin α=- 5 ,且 tan α<0. 5 (1)求 tan α 的值;

(2)求

的值.

3π ? 10.已知 sin(3π+α)=2sin? ? 2 +α?,求下列各式的值: sin α-4cos α (1) ;(2)sin2α+sin 2α. 5sin α+2cos α

课题:同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、考点梳理: 1.同角三角函数的基本关系式 π sin α ? α≠kπ+ ,k∈Z?. (1)平方关系:sin2α+cos2α=1(α∈R).(2)商数关系:tan α= 2 ? cos α? 2.六组诱导公式 角 2kπ+ π+α -α π-α π -α 2 π +α 2

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函数 正弦 余弦 正切 对于角“

α(k∈Z) sin_α cos_α tan_α -sin_α -cos_α tan_α -sin_α cos_α -tan_α sin_α -cos_α -tan_α cos_α sin_α cos_α -sin_α


2

±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变,符号看象限”,“奇变偶不变”是指“当 k 为

奇数时,正弦变余弦,余弦变正弦;当 k 为偶数时,函数名不变”.“符号看象限”是指“在 α 的三角函数值 前面加上当 α 为锐角时,原函数值的符号”. 3.诱导公式的应用原则 负化正,大化小,化到锐角为终了. 4.三角函数求值与化简的常用方法 sin α (1)弦切互化法:主要利用公式 tan α= 化成正、余弦. cos α (2)和积转换法:利用(sin θ± cos θ)2=1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化. π (3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=tan =?. 4 二、基础自测: 1.已知 sin(θ+π)<0,cos(θ-π)>0,则下列不等关系中必定成立的是( A.sin θ<0,cos θ>0 解析:选 B B.sin θ>0,cos θ<0 ) D.sin θ<0,cos θ<0

C.sin θ>0,cos θ>0

sin(θ+π)<0,∴-sin θ<0,sin θ>0.∵cos(θ-π)>0,∴-cos θ>0.∴cos θ<0. )

π π? 3 2.(2014· 济南质检)α∈? ?-2,2?,sin α=-5,则 cos(-α)的值为( 4 A.- 5 4 B. 5 3 C. 5 3 D.- 5

π π? 3 4 4 解析:选 B 因为 α∈? ?-2,2?,sin α=-5,所以 cos α=5,即 cos(-α)=5,故选 B. 2 3.若△ABC 的内角 A 满足 sin 2A= ,则 sin A+cos A=( 3 A. 15 3 B.- 15 3 5 C. 3 ) 5 D.- 3

2 2 π 5 解:选 A ∵0<A<π,∴0<2A<2π.又∵sin 2A= ,即 2sin Acos A= ,∴0<A< .∴(sin A+cos A)2= ,∴sin A+cos 3 3 2 3 A= 15 . 3

17π? ? 17π? 4.cos? ?- 4 ?-sin?- 4 ?的值是________. 17π 17π π π 解析:原式=cos +sin =cos +sin = 2.答案: 4 4 4 4 2

7π? 3 5.已知 π<α<2π,cos(α-7π)=- ,求 sin(3π+α)· tan? ?α- 2 ?的值. 5 7π? 3 3 解:∵cos(α-7π)=cos(7π-α)=cos(π-α)=-cos α=- ,∴cos α= .∴sin(3π+α)· tan? ?α- 2 ? 5 5

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π sin? 2 -α? π 7 π cos α 3 ? ? ? ? ?? =sin(π+α)·?-tan? -α??=sin α·tan? 2 -α?=sin α· =sin α· =cos α= . π ? ? sin α 5 ? ?2 ?? cos? 2 -α? ? ? 三、考点突破: 考点一、三角函数的诱导公式 sin?kπ+α? cos?kπ+α? 【例 1】 1.已知 A= + (k∈Z),则 A 的值构成的集合是( sin α cos α A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1} C.{2,-2} )

D.{1,-1,0,2,-2}

-sin α cos α sin α cos α 解析:选 C 当 k 为偶数时,A= + =2;k 为奇数时,A= - =-2. sin α cos α sin α cos α 2.sin 600° +tan 240° 的值等于________. 解析:sin 600° +tan 240° =sin(720° -120° )+tan(180° +60° )=-sin 120° +tan 60° =- π 3 ? ?5 ? 3.已知 tan? ?6-α?= 3 ,则 tan?6π+α?=________. 5 3 3 ? ? π ? ? ?π ?? ?π ? 解析:tan? ?6π+α?=tan?π-6+α?=tan?π-?6-α??=-tan?6-α?=- 3 .答案:- 3 3π? tan?π+α?cos?2π+α?sin? ?α- 2 ? 4. =________. cos?-α-3π?sin?-3π-α? 3 3 3 + 3= .答案: 2 2 2

解:原式= 1. 答案:-1

?α+π?? tan αcos αsin? - 2π + ? ? 2??
cos?3π+α?[-sin?3π+α?]



π ? tan αcos αsin? ?2+α? ?-cos α?sin α



tan αcos αcos α tan αcos α sin α cos α =- =- · =- sin α cos α sin α ?-cos α?sin α

考点二、同角三角函数的基本关系 1 【例 2】已知 α 是三角形的内角,且 sin α+cos α= . 5 1 (1)求 tan α 的值;(2)把 2 用 tan α 表示出来,并求其值. cos α-sin2α 1 ? ?sin α+cos α=5, [解] (1)联立方程? ?sin2α+cos2α=1, ? ① ② 4

?sin α=5, 1 由①得 cos α= -sin α,将其代入②,整理得 25sin α-5sin α-12=0.∵α 是三角形内角,∴? 5 3 ?cos α=-5,
2

4 ∴tan α=- . 3 sin2α+cos2α cos2α sin2α+cos2α tan2α+1 1 4 (2) 2 ∵tan α=- , 2 = 2 2 = 2 2 = 3 cos α-sin α cos α-sin α cos α-sin α 1-tan2α 2 cos α

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?-4?2 tan2α+1 ? 3? +1 1 25 ∴ 2 = = =- . 4 7 cos α-sin2α 1-tan2α ?2 1-? ?-3?
保持本例条件不变, sin α-4cos α 求:(1) ; 5sin α+2cos α (2)sin2α+2sin αcos α 的值. 4 解:由例题可知:tan α=- . 3 4 - -4 3 sin α-4cos α tan α-4 8 (1) = = = . 4 7 5sin α+2cos α 5tan α+2 ? 5×? ?-3?+2 16 8 - 2 2 9 3 sin α + 2sin α cos α tan α + 2tan α 8 (2)sin2α+2sin αcos α= = = =- . 2 2 2 16 25 sin α+cos α 1+tan α 1+ 9 考点三、诱导公式在三角形中的应用 【例 3】在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- 2sin(π-B), 3cos A=- 2cos (π-B),求△ABC 的三个内角. [解] 由已知得 sin A= 2sin B, 3cos A= 2cos B 两式平方相加得 2cos2A=1,即 cos A= (1)当 cos A= 2 2 或 cos A=- . 2 2

2 3 π π 7π 时,cos B= ,又角 A、B 是三角形的内角,∴A= ,B= ,∴C=π-(A+B)= . 2 2 4 6 12 2 3 3π 5π π 时,cos B=- ,又角 A、B 是三角形的内角,∴A= ,B= ,不合题意.综上知,A= , 2 2 4 6 4

(2)当 cos A=- π 7π B= ,C= . 6 12 四、当堂检测

1.若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α=( 1 A. 2 B.2

) D.-2 1 ,两边平方得 cos α

1 C.- 2

解析:选 B 由 cos α+2sin α=- 5,可知 cos α≠0,两边同除以 cos α 得,1+2tan α=- 5 5 (1+2tan α)2= 2 =5(1+tan2α),∴tan2α-4tan α+4=0,解得 tan α=2. cos α 2.在△ABC 中,sin A+cos A= 2, 3cos A=- 2cos(π-B),求△ABC 的三个内角.

π π 解:∵sin A+cos A= 2,∴1+2sin Acos A=2,∴sin2A=1.∵A 为△ABC 的内角,∴2A= ,∴A= . 2 4 π 3 π ∵ 3cos A=- 2cos(π-B),∴ 3cos = 2cos B,∴cos B= .∵0<B<π,∴B= . 4 2 6 7π π π 7π ∵A+B+C=π,∴C= .∴A= ,B= ,C= . 12 4 6 12 五、课后巩固:

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π ? 3 ?π ? 1.若 sin? ?6+α?=5,则 cos?3-α?=( 3 A.- 5 解析:选 B 3 B. 5

) 4 C. 5 4 D.- 5

π ?π ?π ?? ? ?π ? 3 cos? ?3-α?=cos?2-?6+α??=sin?6+α?=5,故选 B. 3π ? 1-2sin?π+θ?sin? ? 2 -θ?=( B.cos θ-sin θ ) D.sin θ+cos θ

π ? 2.若 θ∈? ?2,π?,则 A.sin θ-cos θ 解:选 A ∵

C.± (sin θ-cos θ)

3π ? ?π ? 1-2sin?π+θ?sin? ? 2 -θ?= 1-2sin θcos θ=|sin θ-cos θ|,又 θ∈?2,π?,

∴sin θ-cos θ>0,故原式=sin θ-cos θ. π 3 π ? 3.已知 cos? ?2-φ?= 2 ,且|φ|<2,则 tan φ=( A.- 3 3 B. 3 3 ) D. 3

C.- 3

π 3 π 1 ? 解析:选 D cos? ?2-φ?=sin φ= 2 ,又|φ|<2,则 cos φ=2,所以 tan φ= 3. π ? 4.已知 α 为锐角,且 2tan(π-α)-3cos? ?2+β?+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,则 sin α 的值是( 3 5 A. 5 3 7 B. 7 3 10 C. 10 1 D. 3 )

3 10 解析:选 C 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得 tan α=3,故 sin α= . 10 sin?π-α?cos?2π-α? 31 ? 5.已知 f(α)= ,则 f? ?- 3 π?的值为( cos?-π-α?tan α 1 A. 2 1 B.- 3 1 C.- 2 ) 1 D. 3

31 31 π sin αcos α - π?=-cos?- π?=-cos?10π+ ? 解析:选 C ∵f(α)= =-cos α,∴f? 3 3 3? ? ? ? ? ? -cos αtan α π 1 =-cos =- . 3 2 π ? 1 6.已知 sin(π-α)=log8 ,且 α∈? ?-2,0?,则 tan(2π-α)的值为________. 4 π ? 1 2 5 2 解析:sin(π-α)=sin α=log8 =- ,又 α∈? ?-2,0?,得 cos α= 1-sin α= 3 , 4 3 sin α 2 5 2 5 tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α=- = .答案: cos α 5 5 π π ? cos?π-α? sin?π-α?· ? sin? cos? ?2+α?· ?2 ? ?2+α? 7.化简 + =________. cos?π+α? sin?π+α? cos α· sin α sin α?-sin α? 解析:原式= + =-sin α+sin α=0.答案:0 -cos α -sin α

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主备人:邹伟

备课日期:2015/8/23

sin θ+cos θ 3π ? -θ =________. 8.若 =2,则 sin(θ-5π)sin? 2 ? ? sin θ-cos θ sin θ+cos θ 解析:由 =2,得 sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ),两边平方得:1+2sin θcos θ=4(1-2sin θcos θ), sin θ-cos θ 3π ? 3 3 -θ =sin θcos θ= . 故 sin θcos θ= ,∴sin(θ-5π)sin? ?2 ? 10 10 3 答案: 10

9.求值:sin(-1 200° )· cos 1 290° +cos(-1 020° )· sin(-1 050° )+tan 945° . 解: 原式=-sin 1 200° · cos 1 290° +cos 1 020° · (-sin 1 050° )+tan 945° =-sin 120° · cos 210° +cos 300° · (-sin 330° ) +tan 225° =(-sin 60° )· (-cos 30° )+cos 60° · sin 30° +tan 45° = 3π ? 10.已知 sin(3π+α)=2sin? ? 2 +α?,求下列各式的值: sin α-4cos α (1) ;(2)sin2α+sin 2α. 5sin α+2cos α 解:由已知得 sin α=2cos α. (1)原式= 2cos α-4cos α sin2α+2sin αcos α sin2α+sin2α 8 1 =- . (2)原式= = = . 6 1 5 5×2cos α+2cos α sin2α+cos2α sin2α+ sin2α 4 3 3 1 1 × + × +1=2. 2 2 2 2



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