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2011年松江区初三数学二模


2011 年松江区初中毕业生学业模拟考试 数学试卷
一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 【下列各题的四个选项中,有且只有一个选项是正确的,选择正确项的代号并填涂在答题纸 的相应位置上】 1.下列计算中,正确的是 (A) x ? x = x ; (B) ( x 2 ) 4 = x 8 ; (C) 2 x + 3 x = 5 x ; (D) x ÷ x = x .
2 4 8

2

6

2

3

2.下列各式中,最简二次根式是 (A) 8a ; (B)

a ; 2

(C) a ; (D) a ? 4 . )
2 2

3.用换元法解分式方程 于 y 的整式方程是 (A) y 2 + y ? 1 = 0 ;

x 2 ? 1 2x 2 x2 ?1 ? 2 + 1 = 0 ,如果设 y= 2 ,那么原方程可化为关 x2 x ?1 x
(B) y 2 + y ? 2 = 0 ; (D) y 2 ? y + 2 = 0 .

(C) y 2 ? 2 y + 1 = 0 ;

4.无论 m 为任何实数,直线 y = x + 2m 和 y = ? x + 4 的交点不可能在 (A)第一象限; (B)第二象限; 5.下列命题中,错误的是 (A)有一个角是直角的平行四边形是正方形; (B)对角线相等的菱形是正方形; (C)对角线互相垂直的矩形是正方形; (D)一组邻边相等的矩形是正方形. (C) )第三象限; (D)第四象限.

6.已知两个同心圆的圆心为 O,半径分别是 2 和 3,且 2<OP<3,那么点 P 在 (A)小圆内; (B)大圆内; (C) )小圆外大圆内; (D)大圆外.

二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知

a c 2 a+c = = ( b + d ≠ 0) ,则 = __▲_. b d 5 b+d
▲ . 共4页

8.因式分解: x 2 + 4 xy =

初三数学 第 1 页

9.方程 3 ? 2 x = 1 的解是___▲___ . 10.已知关于 x 的方程 x + 2 x + m = 0 有两个相等的实数根,那么 m=__▲__ .
2 2

11.如果反比例函数的图像经过点(1,-3) ,那么这个函数的解析式为 ▲ . 12.袋中有两个黄球、四个白球、三个绿球,它们除颜色外其它都一样,现从中任意摸出一 个球,摸出绿球的概率是 ▲ . 13.某人在高为 h 的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为 60°,那么这个观察点到建筑物 的距离为 ▲ . (用 h 来表示) 14.在□ABCD 中,AC 与 BD 相交于点 O, AB = a , AD = b ,那么 AO = ▲ (用 a 和

b 表示) .
15.从多边形一个顶点可作 9 条对角线,则这个多边形内角和为 ▲ 度. 16.在空中,自地面算起,每升高 1 千米,气温下降若干度(℃) .某地空中气温 t(℃)与 高度 h(千米)间的函数的图像如图所示,那么当高度 h= ▲ 千米时,气温为 6(℃) . t (℃) 24 A 4
(第 16 题图)

D

E G O

C F B

h(千米)
(第 17 题图)

17.如图,矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的圆 O 交于点 G、B、F、E,GB=10,EF=8,那么 AD= ▲ . 18.在矩形 ABCD 中,AD=4,对角线 AC、BD 交于点 O,P 为 AB 的中点,将△ADP 绕点 A 顺时针旋转, 使点 D 恰好落在点 O 处, P 落在点 P/处, 点 那么点 P/与点 B 的距离为 ▲ (本大题共 三、解答题: 本大题共 7 题,满分 78 分) 解答题: ( 19. (本题满分 10 分) 先化简,再求值: .

x ? 3 x 2 ? 2x ? 3 1 ÷ 2 + , x = 2 + 1. 2 x ?1 x + 2x + 1 x ?1

初三数学 第 2 页

共4页

20. (本题满分 10 分)

?x ? 2 > ?3 ? 解不等式组: ? 2 ;并将解集在数轴上表示出来. ?2( x ? 1) ≥ 3 x ? 3 ?
?5 ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5

x

21.(本题满分 10 分) 如图,已知在四边形 ABCD 中,∠C=90°,AB= AD=10, D C

2 cos∠ABD= , ∠BDC=60°.求 BC 的长. 5

A

(第 21 题图)

B

初三数学 第 3 页

共4页

22. (本题满分 10 分,第(1)题 2 分,第(2)题 2 分,第(3)题 2 分,第(4)题 4 分) 为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学 举行了一次“环保知识竞赛” ,并从中随机抽取了部分学 生成绩(得分取整数,满分为 100 分)为样本,绘制成 14 人数

统计图(如图所示) ,请根据统计图提供的信息回答下列 9 7 5 问题: (1)本次测试抽取了 ▲ 名学生的成绩为样本. 60 70 80 90 100 (2)样本中,分数在 80~90 这一组的频率是 ▲ (3)样本的中位数落在 ▲ 这一小组内. .
(每组可含最低值,不含最高值)

分数

(4)如果这次测试成绩 80 分以上(含 80 分)为优良,那么在抽取的学生中,优良人数为 ▲名;如果该校有 840 名学生参加这次竞赛活动,估计优良学生的人数约为▲ 名.

A 23.(本题满分 12 分,第(1)题 6 分,第(2)题 6 分) 如图,已知在 Rt△ABC 中,∠C=90°,点 O 为边 AC 的中点,点 D 为 D 边 AB 上一点,过点 C 作 AB 的平行线,交 DO 的延长线于点 E. (1)证明:四边形 ADCE 为平行四边形; (2)当四边形 ADCE 为怎样的四边形时,AD=BD,并加以证明. B O E

C

(第 23 题图)

初三数学 第 4 页

共4页

24. (本题满分 12 分,第(1)小题 3 分,第(2)①小题 4 分,第(2)②小题 5 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,直角梯形 OABC 的顶点 O 为坐标原点,顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上,CB∥OA, OC=4, BC=3,OA=5,点 D 在边 OC 上,CD=3,过点 D 作 DB 的垂线 DE,交 x 轴于点 E. (1)求点 E 的坐标; C (2)二次函数 y = ? x 2 + bx + c 的图象经过点 B 和点 E. ①求二次函数的解析式和它的对称轴; ②如果点 M 在它的对称轴上且位于 x 轴上方, 满足 S ?CEM = 2 S ?ABM ,求点 M 的坐标. D O E
(第 24 题图)

y B

A

x

初三数学 第 5 页

共4页

25. (本题满分 14 分,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 6 分) 如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AC=4,BC=5,D 是 BC 边上一点,CD=3,点 P 在边 AC 上(点 P 与 A、C 不重合) ,过点 P 作 PE// BC,交 AD 于点 E. (1)设 AP=x,DE=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出 x 的取值范围; (2)当以 PE 为半径的⊙E 与 DB 为半径的⊙D 外切时,求 ∠DPE 的正切值; (3)将△ABD 沿直线 AD 翻折,得到△AB/D,联结 B/C.如果∠ACE=∠BCB/,求 AP 的值. A A

P

E

C
(第 25 题图)

D

B

C
备用图

D

B

初三数学 第 6 页

共4页

2011 年松江区初中毕业学业模拟考试 初中毕业学业模拟考试 初中毕业学业模拟考试数学参考答案及评分标准
2011.4 一、选择题 1、B ; 2、D; 3、B; 4、C; 5、A; 6、C. 二、填空题 7、

2 3 1 ; 8、 x ( x + 4 y ) ; 9、 x = 1 ; 10、 ± 1 ; 11、 y = ? ; 12、 ; 5 x 3

13、

3 1 1 h ; 14、 a + b ; 15、1800; 16、3; 17、3; 18、6. 3 2 2

三、解答题
19.解:原式=

x?3 ( x + 1) 2 1 + ? ………………………………6 分 ( x + 1)( x ? 1) ( x ? 3)( x + 1) x ? 1 1 1 2 = …………………………………………………2 分 + x ?1 x ?1 x ?1

=

当x =

2 + 1 时, 原式=

2 = 2 ………………………………2 分 2

20.解:由(1)得 x > ?4 ;由(2)锝 x ≤ 1 ……………………………………4 分 所以原不等式组解集为 ? 4 < x ≤ 1 ………………………………………2 分 在数轴上表示为:

?5 ?4 ?3 ?2 ?1 0 1 2 3 4 5

x

……………………………………………4 分 21.解:过 A 作 AE⊥BD 于 E, ∵AB=AD, ∴BE=DE= 在 Rt△ABE 中, ∵AB=10,cos∠ABD= Rt△BCD 中, ∵∠C=90°,BD=8,∠BDC=60°∴BC= 4 3 22.(1)35;……2 分 (2)40%;……2 分 ……………………………4 分

1 BD ………………………………………………2 分 2

2 ,∴BE=4,∴BD=8, ………………………………4 分 5

(3) 80 ~ 90 .……………2 分

(4)23;644………………4 分 23.(1)证明:∵点 O 为边 AC 中点,∴AO=CO ………………………………1 分 初三数学 第 7 页 共4页

又∵CE∥AB,∴∠DAC=∠ECA,∠ADE=∠CED…………………………2 分 ∴△ADO≌△CEO,∴OD=OE …………………………………………………2 分 ∴四边形 ADCE 为平行四边形 …………………………………………………1 分 (2)当四边形 ADCE 为菱形时,AD=BD, ………………………………………1 分 ∵四边形 ADCE 为菱形,∴AD=CD,∴∠BAC=∠ACD ……………………2 分 ∵∠BAC+∠B=90° ,∠BCD+∠ACD=90°, ………………………………1 分 ∴∠B=∠BCD,∴CD=BD,∴AD=BD…………………………………………2 分 24. 解: (1)∵BC∥OA,∴BC⊥CD,∵CD=CB=3,∴∠CDB=45° …………1 分 ∵BC⊥CD,∴∠ODE=45°, ∴OE=OD=1,∴E(1,0)…………………2 分 (2)①易知 B(3,4) ,由(1)得 E( 1,0) y 二次函数 y = ? x + bx + c 的图象经过点 B 和点 E.
2

?? 9 + 3b + c = 4 ?b = 6 ,解之得 ? ………………2 分 ? ?? 1 + b + c = 0 ?c = ?5
二次函数的解析式为 y = ? x + 6 x ? 5 ,………1 分
2

C

B

D O E F A x

对称轴为直线 x = 3

…………………1 分

②设对称轴与 x 轴交于点 F,点 M 的坐标为(3,t) ,

S ?CEM = S 梯形OFMC ? S ?MEF ? S ?COE =
, ……………………………1 分 1 1 1 t (4 + t ) × 3 ? × 2 × t ? × 1 × 4 = + 4 2 2 2 2

(ⅰ)当点 M 位于线段 BF 上时,

1 (4 ? t ) × 2 = 4 ? t ,…………………………………………………1 分 2 t ∵ S ?CEM = 2 S ?ABM ,∴ + 4 = 2( 4 ? t ) 2 8 8 解得: t = ,∴ M(3, )…………………………………………………1 分 5 5 S ?ABM =
(ⅱ)当点 M 位于线段 FB 延长线上时,

S ?ABM =

1 (t ? 4) × 2 = t ? 4 ,…………………………………………………1 分 2 t ∵ S ?CEM = 2 S ?ABM ,∴ + 4 = 2(t ? 4) 2
解得: t = 8 ,∴ M(3,8)……………………………………………………1 分 初三数学 第 8 页 共4页

25.解: (1)∵在 Rt△ABC 中,AC=4,CD=3,∴AD=5,……………………1 分 ∵PE// BC,∴

AP AE x AE = ,∴ = ,……………………………………1 分 AC AD 4 5 5 5 ∴ AE = x ,∴ DE = 5 ? x ,………………………………………………1 分 4 4 5 即 y = 5 ? x , 0 < x < 4 )…………………………………………………1 分 ( 4

(2)当以 PE 为半径的⊙E 与 DB 为半径的⊙D 外切时,有

5 3 x = x + 2 ,…………………………………………1 分 4 4 3 5 解之得 x = ,∴ PC = , …………………………………………………1 分 2 2
DE=PE+BD,即 5 ? ∵PE// BC,∴∠DPE=∠PDC, ………………………………………………1 分 在 Rt△PCD 中, tan ∠PDC =

CD 3 6 6 = = ;∴tan ∠DPE = ………………………………1 分 PC 5 5 5 2
/

(3) 延长 AD 交 BB/于 F,则 AF⊥BB , ∴ ∠ACD = ∠BFD ,又 ∠ADC = ∠FDB ,∴ ∠CAD = ∠FBD ∴ ?ACD ~ ?BFD ,……………………………………………………………2 分 ∴BF=

8 16 ,所以 BB/= ,………………………………………………………1 分 5 5
/

∵∠ACE=∠BCB/,∠CAE=∠CBB/, ∴ ?ACE ~ ?BCB ,∴ AE = ∴ AP =

64 ,…………………………………………2 分 25

256 ……………………………………………………………………1 分 125

初三数学 第 9 页

共4页


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