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广东省2012届高三全真模拟卷数学理18.



广东省 2012 届高三全真模拟卷数学理科 18
选择题: 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 有一项是符合题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知 A = { x | log 2 x > 1} ,函数 f ( x) = A. φ B. (?∞ ,3)

1 的定义域为 B 则 A I B = ( 3? x
C. (2,3)

)C

D. (2, +∞ )

2. 设正项等比数列 {an } , lg an } 成等差数列, 公差 d = lg 3 , {lg an } 的前三项和为 6 lg 3 , 且 { 则 {an } 的通项为 B A. n lg 3 B. 3n C. 3n D. 3n?1 )D

3.已知直线 a、b 和平面 M,则 a // b 的一个必要不充分条件是( B. a ⊥ M ,b ⊥ M A. a // M ,b // M C. a // M ,b ? M D. a、b 与平面 M 成等角 xa x 4.函数 y = (0 < a < 1) 的图象的大致形状是( ).D x

5. 长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 为 B1C1 的中点, AB = a , AD = b , DE = c ,则

uuu r

r

uuur

r

uuur

r

uuuu r BD1 = A
A. ?2a +

r

3r r b+c 2

B. ? a +

r

1r r b+c 2

C. a + b + c

r r r

D. a ?

r

1r r b+c 2

?x ? y + 1 ≤ 0 ? 6.如果实数 x, y 满足: ? x + y ? 2 ≤ 0 ,则目标函数 z = 4 x + y 的最大值为 C ?x + 1 ≥ 0 ?
A.2 B.3 C.

7 2

D.4

7. 台风中心从 A 地以每小时 20 千米的速度向东北方向移动, 离台风中心 30 千米内的地区 为危险区,城市 B 在 A 的正东 40 千米处,B 城市处于危险区内的时间为( ).B

A.0.5 小时 B.1 小时 C.1.5 小时 D.2 小时 8. 对于任意实数 x , 符号[ x ]表示 x 的整数部分, x ]是不超过 x 的最大整数, 即[ 例如[2]=2; ,它在数学本身和生产实践中有广 [ 2.1 ]=2;[ ? 2.2 ]= ? 3 , 这个函数[ x ]叫做“取整函数” 泛的应用。那么 [log 2 1] + [log 2 2] + [log 2 3] + [log 2 4] + L + [log 2 64] 的值为( )C

A.21 B.76 C. 264 D.642 填空题: 小题, 14~ 题是选做题, 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生 只能选做一题 两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 做一题, 只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置. 9. ?ABC 中, AB = 2 2 , BC = 一点, AD =

5 , A = 450 , ∠B 为 ?ABC 中最大角, D 为 AC 上
5.

1 DC ,则 BD = 2

10.调查某养殖场某段时间内幼崽出生的时间与性别的关系,得到下面的数据表: 晚上 雄性 雌性 白天

20 9

10
21

从中可以得出幼崽出生的时间与性别有关系的把握有_________.99% 参考公式: K =
2

n(ad ? bc) 2 ,其中 n = a + b + c + d (a + b)(c + d )(a + c)(b + d )

P K 2 ≥ k0

(

)

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

k0

11.



3

0

9 ? x 2 的值等于____________.

9π 4

开始

12.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序, 输出的结果是____________. ? cos x .

f ( x) = sin x

k =0 k ≥ 2011?



f ( x) = f ′( x)
k = k +1

输出f ( x) 结束

13. 用红、 黄、 蓝三种颜色之一去涂图中标号为 1, 2, L , 9 的 9 个小正方形 (如 右图) , 使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“、5 、 9” 的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有 种.

1 4 7

2 5 8

3 6 9

108

14. 几何证明选讲选做题) (几何证明选讲选做题)如图所示, 是半径等于 3 的圆 O 的直径,CD 是圆 O 的弦,BA, AB DC 的延长线交于点 P, 若 PA=4,PC=5,则 ∠CBD = ______ D C B O A P

π
6

15.(坐标系与参数方程选做题)圆心的极坐标为 C (3 , ) ,半径为 3 的圆的极坐标方程 (坐标系与参数方程选做题) 是

π

ρ = 6 cos(θ ? )
6

π

6

小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 16. (本小题满分 16. 本小题满分 12 分) ( 已知函 f ( x) = sin(ω x + ? ) (ω > 0,| ? |< π ) 的部分图象如图所示: (1)求 ω , ? 的值; (2)设 g( x) = 2 2 f ( ) f ( ?

x 2

x π π ) ? 1 ,当 x ∈ [0, ] 时,求函数 g ( x ) 的值域. 2 8 2

解:(1)由图象知: T = 4(

π

π 2π ? ) = π ,则: ω = = 2 ,……………2 分 2 4 T π
2 ( k ∈ z ) ,…………………4 分

由 f (0) = ?1 得: sin ? = ?1 ,即: ? = kπ ? ∵ | ? |< π ∴

? =?

π


………………………………………6 分

2

(2)由(1)知: f ( x ) = sin(2 x ? ∴ g( x ) = 2 2 f ( ) f ( ?

π
2

) = ? cos 2 x ,……………………………7 分

x 2

x π π ) ? 1 = 2 2( ? cos x )[? cos( x ? )] ? 1 2 8 4

= 2 2 cos x[

2 (cos x + sin x )] ? 1 = 2 cos 2 x + 2sin x cos x ? 1 2

= cos 2 x + sin 2 x = 2 sin(2 x + ) ,………………………………………10 分 4
当 x ∈ [0,

π

π
2

] 时, 2 x +

π

π 5π π 2 ∈ [ , ] ,则 sin(2 x + ) ∈ [ ? ,1] , 4 4 4 4 2

∴ g ( x ) 的值域为 [ ?1, 2] 。………………………………………………12 分

17.(本小题满分 12 分) 有5个大小重量相同的球,其中有3个红球2个蓝球,现在有放回地每次抽取一球,抽到 一个红球记1分,抽到一个蓝球记 ?1 分. (1) ξ 表示某人抽取3次的得分数,写出 ξ 的分布列,并计算 ξ 的期望和方差; (2)若甲乙两人各抽取3次,求甲得分数恰好领先乙2分的概率. 解: (1) ξ = 3 ,, 1, 3 ,其分布列为 1 ? ?

ξ
P

3

1

?1

?3
8 125

27 125

54 125

36 125

(4 分)

27 54 36 8 3 + 1× + ( ?1) × + ( ?3) × = (5 分) 125 125 125 125 5 3 2 27 3 2 54 3 36 3 8 ξ 的方差是 Dξ = (3 ? ) × + (1 ? ) × + ( ?1 ? ) 2 × + ( ?3 ? ) 2 × 5 125 5 125 5 125 5 125 72 (6 分) = 25

ξ 的期望是 Eξ = 3 ×

答: ξ 的期望是

3 72 , ξ 的方差是 5 25

(7 分)

(2)若“甲得分数恰好领先乙2分”为事件 A ,包含以下三个基本事件,即甲得 3 分乙 得 1 分、甲得 1 分乙得 ?1 分或甲得 ?1 分乙得 ?3 分, (9 分)

27 54 54 36 36 8 738 (11 分) × + × + × = 125 125 125 125 125 125 3125 738 答:甲得分数恰好领先乙2分的概率是 (12 分) 3125
则 P ( A) = 18.(本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系中, A(1, 、B (?1, , 点 0) 0) 已知 | CA |= 2 2 ,BC 的垂直平分线交 AC 于 D ,当点 C 动点时, D 点的轨迹图形设为 E (1)求 E 的标准方程;

x2 + y2 = 1 2
2

(2)点 P 为 E 上一动点,点 O 为坐标原点,设 PA 解: (Ⅰ) .设 D ( x ,y )

= 1 + λ PO ,求 λ 的最大值.
2

Q 是 BC 的垂直平分线,

∴ | DB |=| DC | ∴ | DB | + | DA |=| AC |= 2 2 > 2 =| AB | ∴ D 点的轨迹图形 E 是 A、B 为焦点的椭圆
其中 2a = 2 2 , c = 1 , (3 分)

∴ a = 2 , b2 = a2 ? c2 = 1 ∴ D 点的轨迹图形 E :

(5 分)

x2 + y2 = 1 2

(7 分)

(Ⅱ)设 P ( x, y ), x ∈ ? 2 , 2 , 则 PO
2

[

]

= x 2 + y 2 , (8 分)
(9 分)

PF

2

= ( x ? 1) 2 + y 2

λ=

PA ? 1
2

PO

2

( x ? 1) 2 + y 2 ? 1 x 2 ? 2 x + y 2 2x = = = 1? 2 2 2 2 2 x +y x +y x + y2

(10 分)

x2 x2 2 2 点 P ( x, y ) 满足 + y = 1 ,∴ y = 1 ? , (11 分) 2 2

λ = 1?

2x x +1 2
2

= 1?

4x x +2
2

(12 分)

当 x ≥ 0 时, λ ≤ 1 当 x < 0 时,设 t = ? x ,则 t ∈ (0, 2 , λ = 1 +

]

4t 4 = 1+ (13 分) 2 t +2 t+ t
2

因为 t +

2 ≥ 2 2 ,所以 λ ≤ 1 + 2 , t

当且仅当 t =

2 时,即 x = ? 2 时, λ 取得最大值 1 + 2 . (14 分)

O 上一点, AD 为 O 的切线, A 为切点,?ACD 为 等边三角形,连接 DO 交 AC 于 E ,以 AC 为折痕将 ?ACD 翻折到图(2)的 ?ACP 位置. (1)求证异面直线 AC 和 PO 互相垂直;
(2)若三棱锥 P ? ABC 的体积为

19.(本小题满分 14 分) 如图(1) C 是直径 AB = 2 的 ,

6 ,求二面角 A ? PC ? B 的正弦值. 6

(1)证明:等边三角形 ?ACD 中 AD = DC , AD 为

以 AC 为折痕将 ?ACD 翻折到图(2)的 ?ACP 位置时,仍有 PE ⊥ AC , OE ⊥ AC (2 分) ∴ AC ⊥ 平面 PEO (4 分) ∴ AC ⊥ PO (5 分) (2) 在图 解: (2) 过 P 作 PK ⊥ EO 于 K , 中, 连接 KA、 KB 、KC ,

∴ DO ⊥ AC 且 E 为 AC 中点

O 的切线, A 为切点,

Q AC ⊥ 平面 PEO ∴ AC ⊥ PK ∴ PK ⊥ 平面 O (7 分) Q PA = PC ∴ KA = KC Q 图(1)中 ∠DAC = 600 , AB = 2 为 O 的直径, AD 为 O 的切线, A 为切点,

∴ Rt ?ACB 中, AC = AD = DC = AP = PC = 3 , BC = 1 ∴ VP ? ABC = ? AC ? BC ? PK = ∴ PK = 2 ∴ KA = KC = 1 ∴ K 、O 重合 ∴ PO ⊥ 平面 O (10 分) ∴ PA = PB = PC = 3 , OA = OB = OC = BC = 1
过 B 作 BF ⊥ 平面 PAC 于 F ,过 B 作 BG ⊥ PC 于 G ,连接 FG 则 PC ⊥ 平面 BFG ,

1 1 3 2

3 6 (8 分) PK = 6 6

∴ FG ⊥ PC ∴ ∠BGF 就是二面角 A ? PC ? B 的平面角(11 分)
由三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC =

6 1 1 3 = BF ? S ?PAC = ? ( 3) 2 BF 6 3 3 4

得 BF =

2 2 (12 分) 3 33 6

等腰三角形 PBC 中, BG =

2 2 BF 4 66 ∴ sin ∠BGF = = 3 = BG 33 33 6

∴二面角 A ? PC ? B 的正弦值的正弦值为

4 66 . (14 分) 33

20.(本小题满分 14 分)设数列{an}为前 n 项和为 Sn,数列{bn}满足:bn =nan,且数列{bn}
*

的前 n 项和为(n-1)Sn+2n (n∈N ). (1)求 a1,a2 的值; (2)求证:数列{ Sn +2}是等比数列; (3)抽去数列{an}中的第 1 项,第 4 项,第 7 项,……,第 3n-2 项,余下的项顺序不变,组 成一个新数列{cn},若{cn}的前 n 项和为 Tn,求证: 12 Tn+1 11 < ≤ 。 5 Tn 3 解:(1)由题意得:a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1) Sn +2n; 当 n=1 时,则有:a1=(1-1)S1 +2,解得:a1=2; 当 n=2 时,则有:a1+2a2=(2-1)S2 +4,即 2+2a2=(2+a2)+4,解得:a2=4。 分) (3 (2)由 a1+2a2+3a3+…+nan=(n-1)Sn +2n,……① 得

a1+2a2+3a3+…+nan+(n+1)an+1= n Sn+1+2(n+1) , ②
②-①得:(n+1)an+1=nSn+1-(n-1)Sn+2, 分) (4 即 (n+1)(Sn+1- Sn)= nSn+1-(n-1)Sn+2,得 Sn+1=2Sn+2; ∴ Sn+1+2=2(Sn+2), 分) (5 由 S1+2= a1+2=4≠0 知 数列{ Sn +2}是以 4 为首项,2 为公比的等比数列。 分) (6
n-1 n+1

(3)由(2)知 Sn +2=4×2 -2=2 -2,
n+1 n n n

当 n≥2 时,an= Sn- Sn-1 =(2 -2)-( 2 -2)= 2 对 n=1 也成立,即 an= 2 ,
2 3 5 6 8 9

∴数列{cn}为 2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,2 ,……,它的奇数项组成以 4 为首项,公比为 8

的等比数列;偶数项组成以 8 为首项、公比为 8 的等比数列; 分) (8
*

∴当 n=2k-1(k∈N )时,

Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k-2) =(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k-3)
4(1-8 ) 8(1 ? 8 ) 5 k 12 + = ×8 - , 1-8 7 7 1? 8
k

k ?1

=

Tn+1= Tn+cn+1= ×8k- +23k= ×8k- , 分) (9
k Tn+1 12×8 -12 12 84 = = + , (10 分) k k Tn 5×8 -12 5 5(5×8 -12)

5 7

12 7

12 7

12 7

k

∵ 5×8 -12≥28,∴
*

12 Tn+1 < ≤3。 (11 分) 5 Tn

∴当 n=2k (k∈N )时,

Tn=(c1+ c3+…+c2k-1)+ (c2+ c4+…+ c2k) =(22+25+…+23k-1)+( 23+26+…+23k)
k k

4(1-8 ) 8(1-8 ) 12 k 12 + = ×8 - , (12 分) = 1-8 1-8 7 7

Tn+1= Tn+cn+1= ×8k- +23k+2= ×8k- , (13 分)
k

12 7

12 7

40 7

12 7



Tn+1 = Tn

40×8 -12 k 12×8 -12

=

10 7 10 Tn+1 11 k + ,∵8 -1≥7 ,∴ < < , k 3 3(8 -1) 3 Tn 3



12 Tn+1 11 < ≤ 。 (14 分) 5 Tn 3

21. (本小题满分 14 分) 函数 f ( x ) =

1 2 1 1 x ? (1 + 2 ) x + ln x , a ∈ R . 2a a a

(1)当 a = ?1 时,求 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a > 0 时,讨论 f ( x ) 的单调性; (3) g ( x ) = b 2 x 2 ? 3 x + 值范围.

1 ln 2 ,当 a = 2 , 1 < x ≤ 3 时, g ( x) > f ( x) 恒有解,求 b 的取 2

解:

1 1 1 x ?1? 2 + a a ax 1 1 1 1 = [ x 2 ? ( a + ) x + 1] = ( x ? a )( x ? ) ax a ax a 由题设知 x > 0 1 ( a + 1)( a ? 1) a? = a a f ' ( x) =

(3 分)

' (1) a = ?1 时, f ( x) < 0 ,则 f ( x ) 的单减区间是 (0 , ∞ ) +

(4 分)

(2) ① 0 < a < 1 时,a ? 上单减 (5 分)

1 1 1 1 < 0 ,即 0 < a < ,则 f ( x ) 在 (0 , ) 和 ( , ∞) 上单增,在 ( a , ) a + a a a a

② a = 1 时, a =

1 = 1 , f ' ( x) ≥ 0 ,则 f ( x ) 在 (0 , ∞ ) 上单增 (6 分) + a 1 1 1 1 ③ a > 1 时, a ? > 0 即 0 < < a ,则 f ( x ) 在 (0 , ) 和 ( a , ∞ ) 上单增,在 ( , ) 上单 + a a a a a

减 (7 分) (3)由(2)知, a = 2 , 1 < x ≤ 3 时, 当 x = 2 时 f ( x ) 得到最小值为 f (2) = ?

3 1 + ln 2 2 2 1 2

(9 分)

∴ 1 < x ≤ 3 时, g ( x) > f ( x) 恒有解,需 b 2 x 2 ? 3 x + ln 2 > ? + ln 2 在 1 < x ≤ 3 时有


3 2

1 2

1 1 2 1 (10 分) ( ) + ] 有解, 2 x x 1 1 1 1 令 t = ∈ [ , , k (t ) = ? t 2 + t t ∈ [ , , 1) 1) x 3 2 3 1 k ' (t ) = 1 ? t > 0 ∴ k (t ) 在 t ∈ [ , 上单增 1) 3 5 1 3 ∴ = k ( ) ≤ k (t ) < k (1) = (12 分) 6 3 2
即 b 2 > 3[ ?

∴需 b 2 >

5 30 30 ,即 b < ? 或b > 6 6 6

∴ b 的范围是 (?∞ , ?

30 30 )U( , ∞) + 6 6

(14 分)



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