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高三数学二轮复习《直线、圆、圆锥曲线》专题讲义


高三数学二轮复习《直线、圆、圆锥曲线》专题讲义
专题热点透析 解析几何是高中数学的重点内容之一,也是高考考查的热点。高考着重考查基础知识的综合,基本方 法的灵活运用,数形结合、分类整合、等价转化、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力。其中客观 题为基础题和中档题,主观题常常是综合性很强的压轴题。本专题命题的热点主要有:①直线方程;②线 性规划;③直线与圆、圆锥曲线的概念和性质;④与函数、数列、不等式、向量、导数等知识的综合应用。 热点题型范例 一、动点轨迹方程问题 例 1.M(-2,0)和 N(2,0)是平面上的两点,动点 P 满足:

PM ? PN ? 2.

(Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)设 d 为点 P 到直线 l: x ?

PM 1 2 的距离,若 PM ? 2 PN ,求 的值。 d 2

? 3) , (0,3) 的距离之和等于 4,设点 P 的轨迹为 C . 1.1 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 到两点 (0,
(Ⅰ)写出 C 的方程; (Ⅱ)设直线 y ? kx ? 1 与 C 交于 A,B 两点.k 为何值时 OA ? OB ?此时 AB 的值是多少? 二、圆的综合问题 例 2、在直角坐标系中,A(a,0)(a>0),B(0,a),C(-4,0),D(0,4),设三角形 ABC 的外接圆圆心为 E。 (1)若圆 E 与直线 CD 相切,求实数 a 的值; (2)设点 p 在圆 E 上,使三角形 PCD 的面积等于 12 的点 P 有且只有三个,试问这样的圆 E 是否存在?若 存在,求出圆 E 的标准方程;若不存在,请说明理由。 三、圆锥曲线定义的应用 例 3. 已知 F1、F2 为椭圆 则 AB =

??? ?

??? ?

??? ?

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点, 过 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点, 若 F2 A ? F2 B ? 12 , 25 9

3.1 已知双曲线 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两个焦点为 F : (?2, 0), F : (2, 0), 点P(3, 7) 的曲线 C 上. a 2 b2

(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ) 记 O 为坐标原点, 过点 Q (0,2)的直线 l 与双曲线 C 相交于不同的两点 E、 F, 若△OEF 的面积为 2 2, 求直线 l 的方程 四、圆锥曲线性质问题

x2 y 2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为 C 的右支上一点,且 PF2 ? F1 F2 , 例 5.①已知双曲线 C : 9 16
则 ?PF1 F2 的面积等于( )


(A) 24

(C) 48 (D) 96 ???? ? ????? ②已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,满足 MF1 ? MF2 ? 0 的点 M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围 (B) 36 是( ) A. (0,1) B. (0, ]

1 2

C. (0,
?

2 ) 2

D. [

2 ,1) 2


4.1.设 △ABC 是等腰三角形, ?ABC ? 120 ,则以 A,B 为焦点且过点 C 的双曲线的离心率为(

A.

1? 2 2

B.
2

1? 3 2

C. 1 ? 2

D. 1 ? 3

4.2. 已知 F 是抛物线 C:y ? 4 x 的焦点,A,B 是 C 上的两个点, 线段 AB 的中点为 M (2, 则 △ABF 2) , 的面积等于 五、圆锥曲线中的定值、定点问题 例 6. 设 A、B 为椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的两个动点。 4 3
1 1

OB ? 0 ,其中 O 为坐标原点,求证: ??? (1) 若 A、B 满足 OA? ? 2 ? ??? ? 2 为定值;
OA OB
(2) 若过 A、B 的椭圆的两条切线的交点在直线 x+2y=5 上,求证:直线 AB 恒过一个定点。 六、圆锥曲线中的最值或范围问题 例 7. 已知椭圆 M 的对称轴为坐标轴, 且抛物线 x ? ?4 2 y 的焦点是椭圆 M 的一个焦点, 又点 A(1,
2

??? ? ??? ?

2)

在椭圆 M 上。 (1) 求椭圆 M 的方程; (2) 已知直线 L 与向量 v ? (1, 2) 共线,若直线 L 与椭圆 M 交于 B、C 两个点,求三角形 ABC 面积的最 大值。 6.1 设椭圆中心在坐标原点, A(2,, 0) B(0, 1) 是它的两个顶点,直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D,与 椭圆相交于 E、F 两点. y B O E D A

??? ? ???? (Ⅰ)若 ED ? 6 DF ,求 k 的值;
(Ⅱ)求四边形 AEBF 面积的最大值.

F x

0) ,一条渐近线的方程是 5 x ? 2 y ? 0 . 6.2 知中心在原点的双曲线 C 的一个焦点是 F1 (?3,
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)若以 k (k ? 0) 为斜率的直线 l 与双曲线 C 相交于两个不同的点 M,N ,



且线段 MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为 七、圆锥曲线中的探索性问题

81 ,求 k 的取值范围. 2 1 ,F 为右焦点,过焦点 F 的直线交椭圆 2

例 8、已知椭圆 C 的中心在坐标原点,左顶点 A(-2,0),离心率 e= C 于 P、Q 两点(不同于点 A) 。 (1) 求椭圆 C 的方程; (2) 当 PQ ?

24 时,求直线 PQ 的方程; 7
2

(3) 判断三角形 AOQ 能否为等边三角形,并说明理由。 7.1 已知抛物线 C : y ? 2 x ,直线 y ? kx ? 2 交 C 于 A,B 两点, M 是线段 AB 的中点,过 M 作 x 轴的 垂线交 C 于点 N . (Ⅰ)证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB 平行; (Ⅱ)是否存在实数 k 使 NA?NB ? 0 ,若存在,求 k 的值;若不存在,说明理由. 反馈练习:

??? ? ??? ?

? y ? x ? 1 ≤ 0, ? 1.已知变量 x,y 满足约束条件 ? y ? 3 x ? 1 ≤ 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ? y ? x ? 1≥ 0, ?
A. 4 B. 2 C. 1 D. ?4



2.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4 x ? 3 y ? 0 和 x 轴相切,则该圆的标准方程是(



7? ? A. ( x ? 3) ? ? y ? ? ? 1 3? ?
2

2

B. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 3) ? 1
2 2

3? ? 2 D. ? x ? ? ? ( y ? 1) ? 1 2? ?

2

x2 y2 3.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,若 P 为其上一点,且|PF1|=2|PE2|,则双曲线 a b
离心率的取值范围为( ) A.(1,3) B.(1,3) 4.设椭圆 方程为( C.(3,+∞) D. [3,+∞)

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(m ? 0,n ? 0) 的右焦点与抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点相同,离心率为 ,则此椭圆的 2 m n 2


x2 y2 ? ?1 A. 12 16
5.双曲线

x2 y2 ? ?1 B. 16 12

x2 y 2 ? ?1 C. 48 64

x2 y 2 ? ?1 D. 64 48

x2 a2

?

y2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的右支上存在一点,它到右焦点及左准线的距离相等,则双曲线离 b2



心率的取值范围是( A. (1, 2]

) B. [ 2, ??) C. (1, 2 ? 1] D. [ 2 ? 1, ??)

6.若双曲线

x 2 16 y 2 ? 2 ? 1 的左焦点在抛物线 y2=2px 的准线上,则 p 的值为( 3 p
(B)3
2

)

(A)2

(C)4
2

(D)4 2

7.已知直线 l : x ? y ? 4 ? 0 与圆 C : ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,则 C 上各点到 l 的距离的最小值为___

? a2 ? x2 y2 ? 的焦距为 2 , 以 O 为圆心, 为半径的圆, 过点 ? ? 1 ( a ? b ? 0 ) a ? c ,0 ? ? a2 b2 ? ? 作圆的两切线互相垂直,则离心率 e =
8. 在平面直角坐标系中, 椭圆

x2 y2 9. 过椭圆 ? ? 1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则 △OAB 5 4
的面积为 10.已知圆 C : x ? y ? 6 x ? 4 y ? 8 ? 0 .以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双曲线的一个焦点和顶点,则
2 2

适合上述条件的双曲线的标准方程为 11.已知 △ABC 的顶点 A,B 在椭圆 x ? 3 y ? 4 上, C 在直线 l:y ? x ? 2 上,且 AB ∥l .
2 2

(Ⅰ)当 AB 边通过坐标原点 O 时,求 AB 的长及 △ABC 的面积; (Ⅱ)当 ?ABC ? 90 ,且斜边 AC 的长最大时,求 AB 所在直线的方程.
?

12.双曲线的中心为原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l2 ,经过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分

AB 、 OB 成等差数列,且 BF 与 FA 同向. 别交 l1,l2 于 A,B 两点.已知 OA 、
(Ⅰ)求双曲线的离心率; (Ⅱ)设 AB 被双曲线所截得的线段的长为 4,求双曲线的方程.

??? ? ??? ? ??? ?

??? ?

??? ?





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