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2013年安庆市高三模拟考试(二模)文科数学参考答案



2013 年安庆市高三模拟考试(二模) 数学试题(文科)参考答案及评分标准
一、选择题 1.A. 【解析】 z ?
4 3

3?i 3?i

?

(3 ? i )

2

( 3 ? i )( 3 ? i )

?

8 ? 6i 10

?

4 5

?

3 5

i.

因为点 ( , ) 在第一象限 ,所以复数 z ?
5 5
2

3?i 3?i

对应的点在第一象限.

2.D.【解析】 x ? x ? 2 ? 0 ? ? 2 ? x ? 1 ,所以 M ? N ? { ? 2 , ? 1,1} . 3.B.【解析】
b a ? 3 4 , b ? 3k , a ? 4 k , c ? 5k , e ? 5k 4k ? 5 4



4.B.【解析】 ? n ? p ,? n ? p ? 0 ,? 为 ? , cos ? ?
m ?n m n ? 1 2

3 a ? 3 ? 0 ,? a ? ? 3 .设 m 与 n 的夹角

? ? ? 60 .
?

y 4

5. A.【解析】选 A. 6. C.【解析】 a n ? 1 ? 4 a n , q ? ? 2 .
2 2

A

7. B. 【解析】可行域是 ? ABC 围成的区域(含边界) ,如图所

1
示。 OP
2

B 2

x

? x ? y 的最小值为 O 点到直线 x ? y ? 1 距离的平
2 2

O C -1

方,即 x ? y 的最小值为
2 2

1 2

.
6 9? a
2

8. C.【解析】圆心到直线的距离为

?

3 ,解得 a ?

3.

9. D.【解析】 g ? ( 0 ) ? 2 , g ( 0 ) ? 1 . f ? ( 0 ) ? 3 , f ( 0 ) ? 2 . 则曲线 y ? f ( x ) 点 Q ( 0 , f ( 0 )) 处的切 线方程是 y ? 3 x ? 2 .
?
?

?

10. C.【解析】对称轴是 x ? 6

? ? 3? 3 ? ? ? 2 k? ? ,k ? Z , , ? ? 2 4 4 6 2

数学试题(文科)答案第 1 页(共 6 页)

? ?

?

?
3

?

?
6

. 取 k ? 0 ,?

?

16 3

.

二、填空题 11. t ? ? 1, 或 t ? 1 .【解析】 ? ? 0 . 12. ? 0 . 61 .【解析】易得样本中心为 ( , ) ,代入回归直线方程 y ? 1 . 46 x ? a 中,
2 2 7 9
?

得a ? 13. s ? 2 ? 14.
2013 2014

9 2

? 1 . 46 ?

7 2

? ? 0 . 61 .

2 ; 【解析】四棱锥的直观图如图所示,表面积为 s ? 2 ?
1 1? 2 1 3 ? 1 2?3 1 2013 ?? ? ? 1 2014 1 2013 ? 2014 ? 2013 2014

2 .

; 【解析】 S ?
?1? 1 2 ? 1 2 ?

P . D A B C

?? ?

15. ①②③⑤ 【 解 析 】 ( 0 , 0 ) 满 足 f ( x ) ? x x ? a ,① 正 确 ;
f ( x) ? x x ? a 为奇函数 ? a ? 0

,②正确;当 a ? 2 , x ? 2 时,

f ( x ) ? x ( a ? x ) ? ? x ? ax , ③正确;当 a ? 1 时,
2

? ( x ? 1) ?x ? x f (x) ? x x ? 1 ? ? ,画出图像可知, f ( x ) 没有最大值,④错误; a ? 2 时, 当 2 ? ? x ? x ( x ? 1) ?
2

?x2 ? 2x ( x ? 2) ? f (x) ? x x ? 2 ? ? ,从图像可知, f ( x ) ? m 有三个零点,即直线 y ? m 2 ?? x ? 2 x ( x ? 2) ?

与 f ( x ) 的图像有三个交点,则 0 ? m ? 1 ,⑤正确. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本题满分 12 分) 【解析】 f ( x ) ? sin x ? cos( x ?
?
6 ) ? 3 sin( x ?

?
6

)

………… 4 分 ………… 6 分
3

(Ⅰ)? x ? R ,? f ( x ) ? [ ? 3 , 3 ] (Ⅱ)当 x ? 2 k ? ?
?
3
数学试题(文科)答案第 2 页(共 6 页)

, k ? Z 时,函数 f ( x ) 取最大值

? B ?

?
3

………… 8 分

又由题意知 ?

?a ? c ? 4 ? ac ? 2
2 2 2

由余弦定理知 b ? a ? c ? 2 ac cos B ? ( a ? c ) ? 2 ac ? 2 ac cos B ? 10
2

? b ?

10

…………12 分

17. (本题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图知,成绩在 ?100 ,120 ? 内的人数为: 50× 0.16+50× 0.38=27(人) 所以该班成绩良好的人数为 27 人 .…………………………………… 4 分

(Ⅱ)由频率分布直方图知,成绩在 ?90 ,100 ? 的人数为 50×0.06=3 人,设为 x、y、z; 成绩在 ?130 ,140 ? 的人数为 50×0.08=4 人,设为 A、B、C、D. 若 m , n ? ?90 ,100 ? 时,有 xy,xz,yz 3 种情况; …………………………5 分

若 m , n ? ?130 ,140 ? 时,有 AB,AC,AD,BC,BD,CD6 种情况;………………7 分 若 m , n 分别在 ?90 ,100 ? 和 ?130 ,140 ? 内时,共有 12 种情况.
xA , xB , xC , xD , yA , yB , yC , yD , zA , zB , zC , zD ………………………………9 分

所以基本事件总数为 21 种,事件“ m ? n ? 30 ”所包含的基本事件个数有 12 种. ∴ P ( m ? n ? 30 ) ? 18. (本题满分 12 分) 【解析】 (Ⅰ)取 AC 的中点为 N,连结 MN,BN。 ∵M 是 AE 的中点,∴MN∥CE 且 CE=2MN。 又∵CE∥BD 且 CE=2BD, ∴MN∥BD 且 MN=BD。 ∴四边形 MNBD 是平行四边形,
数学试题(文科)答案第 3 页(共 6 页)

12 21

?

4 7

.

………………………………………… 12 分

∴BN∥DM, 又 BN ? 平面 ABC,DM ? 平面 ABC, ∴DM∥平面 ABC。 (Ⅱ)∵△ABC 是正三角形, ∴BN⊥AC。 ∵CE⊥平面 ABC,∴BN⊥CE,∴BN⊥平面 ACE。 而 BN∥DM,∴DM⊥平面 ACE,∴DM 是三棱锥
D ? ECA 的高.
1 1 2 3 2 3 12

…………6 分

故三棱锥 D ? ECA 的体积为 ?
3

a ?
2

a ?

a

3

…………12 分

19. (本题满分 13 分) 【解析】 (I) f ? ( x ) ?
2 x
2 x
2 2 ? 2 x ? a . 由 f ? (1) ? 2 ? 2 ? a ? 0 得, a ? ? 2 ;

此时 f ? ( x ) ?

? 2x ? 4 ?

2 ( x ? 1) x

2

? 0 , f ( x ) 在定义域上始终单调递增, 没有极小值.

因此不存在实数 a ,满足条件. (II) f ? ( x ) ? 当 x ? 2 时,
2 x 2 x
? a ? 0 ,∴ a ?

………… 4 分
2

? 2x ? a ? 0 , a ?
2

2 x

? 2 x, a ? (
2

2 x

? 2 x ) max .
2

? 2 x ? 2( x ?

1 x

) 在 ?1, 2 ? 上取最大值 5 。所以 a ? 5 ,

5. ∴

a 的最小值为
2 x

5 .
2x
2

…………8 分
? 5x ? 2 x

(Ⅲ)当 a ?
1

5 时, f ' ( x ) ?

? 2x ? 5 ?

?

( 2 x ? 1 )( x ? 2 ) x

∴当 x ? ( 0 , ) ? ( 2 , ?? ) 时, f ' ( x ) ? 0 ,
2

∴ f ( x ) 在区间 x ? ( 0 , ) 和 ( 2 , ?? ) 上单调递增.
2

1

当 x ? ( ,2) 时, f ' ( x ) ? 0 ,
2

1

∴ f ( x ) 在区间 ( , 2 ) 上单调递减.
2
数学试题(文科)答案第 4 页(共 6 页)

1

…………10 分

要使函数 f ( x ) 在 ( k ?

1 2

, k ) 上单调,则

1 ? k ? ? 0 ? 1 1 ? 2 ①当 ? 时, k ? ,此时 f ( x ) 在 ( 0 , ) 上单调递增,满足题意; 2 2 ?k ? 1 ? 2 ?
1 1 ? ? 1 ?k ? 2 2 时, k ? [1, 2 ] ,此时 f ( x ) 在 ( k ? , k ) 上单调递减,满足题意; 2 ?k ? 2 ?
1 2 1 ?5 ? , ?? ? ,此时 f ( x ) 在 ( k ? , k ) 上单调递增,满足题意; ?2 2 ? ?

②当 ?

③当 k ?

? 2 时, k ?

综上,实数 k 的取值范围是 { } ? [1, 2 ] ? ? , ?? ? . 2 ?2 ? 20. (本题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ)当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 pn ? p ? 1
? a 3 ? 4 ,? 6 p ? p ? 1 ? 4 ,? p ? 1

1

?5

?

………… 13 分

…………3 分

? n ? 2 时, a n ? 2 n ? 2

当 n ? 1 时, a 1 ? S 1 ? p ? 1 ? 0 ,满足 a n ? 2 n ? 2 .
? p ? 1 , an ? 2n ? 2 , n ? N
?

…………6 分 …………8 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知, b n ? 2

an

? 4

n ?1

.

T n ? b1 ? 2 b 2 ? 3 b 3 ? ? nb n
? 4 ? 2?4 ? 3?4 ?? ? n?4
0 1 2 n -1

4 T n ? 4 ? 2 ? 4 ? ? ? ( n - 1) ? 4
1 2

n -1

? n?4
n

n

…………10 分

? 3T n ? 4 ? 4 ? 4 ? ? ? 4
0 1 2

n ?1

? n?4

数学试题(文科)答案第 5 页(共 6 页)

?

1? 4

n

1? 4

? n?4

n

?

(1 ? 3 n ) 4 3

n

?1

? Tn ?

( 3 n ? 1) 4 9

n

?1

…………13 分

21.(本题满分 13 分) 【解析】 (Ⅰ)∵四边形 OABC 为平行四边形,∴BC∥OA. 由椭圆的对称性知,B、C 两点关于 y 轴对称. 由题意知, a ? OA ? CB ? 3 . 于是可设 B( ?
3 2 3 2
3 2

…………3 分
, y0 ) y0 ? 0 ) ( ,

代入椭圆方程解得, y 0 ?

b.

∵∠OAB=30°, ∴

3 2

b ?

tan 30 ,∴ b ? 1 .

?

∴椭圆 E 的方程为

x

2

? y

2

? 1.

………7 分

9 x
2

(Ⅱ)直线 l 的方程为 y ? ? ( x ? 1) ? 1 ? x , 代入椭圆方程
5 x ? 9 x ? 0 , x1 ? 0 , x 2 ?
2

? y

2

? 1 中,
4 5

9
9 5 . 代入直线 l 的方程 y ? 1 ? x , 得 y 1 ? 1, y 2 ? ? 9 5 , .

而 FM ? 2 2 ? 1 , y 1 ? y 2 ?
1 2

所以 ? FPQ 的面积为

(2

2 ? 1) ?

9 5

?

18

2 ?9 10

.

…………13 分

数学试题(文科)答案第 6 页(共 6 页)



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