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高三文科数学小综合专题练习--三角与向量



高三文科数学小综合专题练习 ——三角与向量
一、选择题 1. 函数 y ? cos ( x ? A.
?

?

? 4

) ? sin ?( x ? ) 的最小正周期为( ? ?

?

) D. 2?

B.

2. 已知向量 a ? (1, n), b ? (?1, n) ,若 2a ? b 与 b 垂直,则 a ? (

?

?

? 2

C. ?

?



A. 1 3. 若 cos

B. 2

C.

2 3 3

D.4 )上

?
2

?

3 ? 4 , sin ? ? , 则角 ? 的终边一定落在直线( 5 2 5

A. 7 x ? 24y ? 0 C. 24x ? 7 y ? 0

B. 7 x ? 24y ? 0 D. 24x ? 7 y ? 0

4. 如图, ?ABC 中,AD ? AB ,BC ? 3 BD , AD ? 1 , 在 则 AC ? AD =(

??? ?

??? ?

????

???? ????

)

A. 2 3
?

B.
?

3 2
? ?

C.

3 3
? ? ?

D.

3
? ?

2 5. 已知方程 a x ? b x ? c ? 0 ,其中 a , b , c 是非零向量,且 a, b 不共线,则该方程

(

) A.至多有一个解 C.至多有两个解 二.填空题 6. 已知 ? ?( ? ,

B.至少有一个解 D.可能有无数个解

7. 已知 a ? 1, b ? 2, a, b的夹角为

?

3? ) n ? ?o 则 ,a t 2 c , s 2 ? ? ? 2?
3

?=
? ?

; _;

,则向量 b 在 a 上的投影为______

8. 已知 ?ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列, AB ? 1, BC ? 4, 则边 BC 上的中线 AD 且 的长为 ;
? ? ?

9. 在正三角形 ABC 中, D 是 BC 上的点, AB ? 3, BD ? 1 ,则 AB?AD ? 10. 已知 ?ABC , D 为 AB 边上一点,若 AD ? 2 DB, CD ? ? CA? 三.解答题
1
? ?

??? ???? ?

;

2 CB, 则? ? _____ . 3

11. 已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (1)求 f ( x ) 的最小正周期: (2)求 f ( x ) 在区间 ? ?

?
6

) ?1 .

? ? ?? 上的最大值和最小值。 , ? 6 4? ?

12. 在 ?ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 角 且满足 cos (1) 求 ?ABC 的面积; (2) 若 c ? 1 ,求 a 的值.

??? ??? ? ? A 2 5 , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

13. 如图某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点 A、 B,观察对岸的点 C,测得 ?CAB ? 75 , ?CBA ? 45 ,且 AB ? 100 米。
? ?

(1) 求 sin 75 ; (2) 求该河段的宽度.

?

14. 已知函数 f ( x) ? 2sin ?
2

?π ? ?π π? ? x ? ? 3 cos 2 x , x ? ? , ? . ?4 ? ?4 2?

(1)求 f ( x ) 的最大值和最小值; (2)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围. 4 2

?π π? ? ?

2

15. 设函数 f (? ) = 3 sin ? ? cos ? ,其中,角 ? 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负 半轴重合,终边经过点 P(x,y) ,且 0 ? ? ? ? 。 (1)若点 P 的坐标为 ( ,

1 3 ) ,求 f (? ) 的值; 2 2

? x+y ? 1 ? (2)若点 P(x,y)为平面区域Ω :? x ? 1 ,上的一个动点,试确定角 ? 的取值范围, ?y ? 1 ?
并求函数 f (? ) 的最小值和最大值.

3

参考答案
一、选择题 1.C. 2.C 3.D. 二、填空题 6. ? 4.D. 5.A.

5 5

7. ?1

8.

3

9.

15 2

10.

1 . 3

三、解答题 11.解: (1)因为 f ( x) ? 4 cos x sin( x ?

?
6

) ?1

? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1
? 3 sin 2x ? cos2x
? 2 sin( 2 x ?

?
6

)

所以 f (x) 的最小正周期为 ? (2)因为 ?

?
6

?x?

?
?
4 6

, 所以 ? ?

?
6

? 2x ?

?
6

?

于是,当 2 x ? 当 2x ?

?
2

, 即x ?

?
6

2? . 3

时, f (x) 取得最大值 2;

?
6

??

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 取得最小值—1. 6 6

?

12. 解:(1) cos A ? 2 cos

A 2 5 2 3 ?1 ? 2 ? ( ) ?1 ? 2 5 5 4 2 又 A ? (0, ? ) , sin A ? 1 ? cos A ? , 5 ??? ???? ??? ???? ? ? 3 而 AB ? AC ?| AB | ? | AC | cos A ? bc ? 3 ,所以 bc ? 5 , 5 1 1 4 所以 ?ABC 的面积为: bc sin A ? ? 5 ? ? 2 2 2 5 (2)由(1)知 bc ? 5 ,而 c ? 1 ,所以 b ? 5 .
2

所以 a ? b 2 ? c 2 ? 2bccos A ?

25 ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 5

? ? ? 13. 解:(1) sin 75 ? sin(30 ? 45 ) ? sin 30 cos 45 ? cos30 sin 45
? ? ?

?

4

1 2 3 2 6? 2 ? ? ? ? ? 2 2 2 2 4
(2)∵ ?CAB ? 75 , ?CBA ? 45
? ? ?

C

D

∴ ?ACB ? 180 ? ?CAB ? ?CBA ? 60 ,
?

由正弦定理得:

AB BC ? sin ?ACB sin ?CAB

A

B

AB sin 75? ∴ BC ? sin 60?
如图过点 B 作 BD 垂直于对岸,垂足为 D,则 BD 的长就是该河段的宽度。 在 Rt ?BDC 中,∵ ?BCD ? ?CBA ? 45 , sin ?BCD ?
?

BD , BC

∴ BD ? BC sin 45 =
?

AB sin 75 ? sin 45? ? ? sin 60

?

100 ?

6? 2 2 4 ? 2 3 2

?

25(6 ? 2 3) 50 3 ? 3) ( = (米) 3 3

14. 解: (1)∵ f ( x) ? ?1 ? cos ?

? ?

?π ?? ? 2 x ?? ? 3 cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x ?2 ??

π? ? ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? . 3? ?
又∵ x ? ? , ? ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin ? 2 x ? ? ≤ 3 , 6 3 3 3? ?4 2? ?

?π π?

π

π



?

π?

∴ f ( x)max ? 3,f ( x)min ? 2 .
(2)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? , 4 2

?π π? ? ?

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 4) . ,

5

? 3 , ?sin ? ? ? 2 15. 解: (1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得 ? ?cos ? ? 1 . ? ? 2
于是 f (? ) ? 3 sin ? ? cos ? ? 3 ?

3 1 ? ? 2. 2 2

(2)作出平面区域 ? (即三角形区域 ABC)如图所示,其中 A(1,0) ,B(1,1) , C(0,1) 。 于是 0 ? ? ?

?
2

.

又 f (? ) ? 3 sin ? ? cos ? ? 2sin(? ? 且

?
6

),

?
6

?? ?

?
6 ?

?

故当 ? ?

?
6

?
2

2? , 3 ,即? ?

?
3



f (? ) 取得最大值,且最大值等于 2;
当? ?

?
6

?

?
6

, 即? ? 0 时,

f (? ) 取得最小值,且最小值等于 1。

6



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