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2.1.2 第2课时 指数函数及其性质的应用 学案


第 2 课时

指数函数及其性质的应用

1.掌握指数函数的性质并会应用,能利用指数函数的单调性比较幂的大小 及解不等式.(重点) 2.通过本节内容的学习,进一步体会函数图象是研究函数的重要工具,并 能运用指数函数研究一些实际问题.(难点)

[小组合作型]

比较大小与解不等式
?3? 1 ?4?1 ?3? 3 (1)设 a=?4?-3,b=?3?4,c=?2?-4,则 a,b,c 的大小顺序为( ? ? ? ? ? ? A.c<b<a C.b<c<a B.c<a<b D.b<a<c )

(2) 设 0 < a < 1 ,使不等式 ax2 - 2x + 1 > ax2 - 3x + 5 成立的 x 的集合是 ________.

1.比较幂的大小的方法 (1)对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较,可以利用指数函数的单调 性来判断. (2)对于底数不同,指数相同的幂的大小的比较,可利用指数函数的图象的 变化规律来判断. (3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较,则应通过中间值来判断. 2.指数型不等式 af(x)>ag(x)(a>0,且 a≠1)的解法 (1)当 a>1 时,f(x)>g(x); (2)当 0<a<1 时,f(x)<g(x).

[再练一题]

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?1?- 1.设 a=90.9,b=270.48,c=?3? 1.5,则 a,b,c 的大小顺序为( ? ? A.a>b>c C.b>a>c B.a>c>b D.c>a>b 与指数函数有关的最值或值 域问题 已知函数 f(x)= (1)求 a 的值; (2)判断并证明函数 f(x)的单调性; (3)求 f(x)在[0,2]上的值域.

)

a-2x (a∈R),且 x∈R 时,总有 f(-x)=-f(x)成立. 1+2x

1.指数函数本身不具有奇偶性,但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶 性,其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质. 2.一般用函数单调性的定义证明指数函数与其它函数复合而成的函数的单 调性.

[再练一题] 2.已知函数 f(x)=a· 4x-a· 2x+1+2 在区间[-2,2]上的最大值为 3,求实数 a 的值. [探究共研型]

指数函数单调性的综合应用
探究 1 探究 2 的关系?
x ?a ,?x<0? 已知函数 f(x)=? 满足对任意的 x1≠x2 都有 ??a-3?x+4a,?x≥0?,

?1? 函数 f(x)=?2?x2-2x+1 的单调区间是什么? ? ? 函数 y=a-x2(a>0, 且 a≠1)的单调性与 y=-x2 的单调性存在怎样

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f?x1?-f?x2? <0 成立,则 a 的取值范围是( x1-x2 1? ? A.?0,4? ? ? ?1 ? C.?4,1? ? ?

)

B.(0,1) D.(0,3)

1. 求函数 y=af(x)的单调区间首先要确定 a>1 还是 0<a<1, 即确定 y=at 的单 调性,然后根据函数 t=f(x)的单调性求复合函数的单调区间. 2.根据函数的单调性求分段函数中参数的取值范围时,最易忽视的是两段 函数的最值间的大小关系对参数的影响.

[再练一题] 3.已知函数 y=2-x2+4x-1,求其单调区间及值域. 1.若 2x+1<1,则 x 的取值范围是( A.(-1,1) C.(0,1)∪(1,+∞) 2.下列判断正确的是( A.1.72.5>1.73 C.π2<π 2 ) B.0.82<0.83 D.0.90.3>0.90.5 ) ) B.(-1,+∞) D.(-∞,-1)

?1? 3.设 f(x)=?2?|x|,x∈R,那么 f(x)是( ? ? A.奇函数,且在(0,+∞)上是增函数 B.偶函数,且在(0,+∞)上是增函数 C.奇函数,且在(0,+∞)上是减函数 D.偶函数,且在(0,+∞)上是减函数 4.已知函数 f(x)=

1 +a 为奇函数,则常数 a=______. 3 +1
x

5.设函数 f(x)=a-

2 , 2 +1
x

(1)判断并说明函数的单调性; (2)确定 a 的值,使 f(x)为奇函数及此时 f(x)的值域.
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