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高一数学函数解析式表示方法考点解析辅导练习



函数——函数的解析式与表示方法 高考要求
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1.由所给函数表达式正确求出函数的定义域; 2.掌握求函数值域的几种常用方法; 3.能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系,求出它的解析式; 4.会进行函数三种表示方法的互化,培养学生思维的严密性、多样性. 知识点归纳
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1.函数的三种表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的 解析表达式,简称解析式. (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系. (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系. 2.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法; (2)已知 f ( x ) 求 f [ g ( x )] 或已知 f [ g ( x )] 求 f ( x ) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x ) 满足某个等式,这个等式除 f ( x ) 外还有其他未知量,需构造另个等式解方程组 法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等.

题型讲解

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例 1(1)已知 f ( x ?
2 x

1 x

)?x ?
3

1 x
3

,求 f ( x ) ;

(2)已知 f (

? 1) ? lg x ,求 f ( x ) ;

(3)已知 f ( x ) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x ) ;
1 (4)已知 f ( x ) 满足 2 f ( x ) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) . x
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解: (1)∵ f ( x ?

1 x

)?x ?
3

1 x
3

? (x ?

1 x

) ? 3( x ?
3

1 x

),

∴ f ( x ) ? x ? 3 x ( x ? 2 或 x ? ?2 ) .
3

(2)令

2 x

? 1 ? t (t ? 1) , 2 t ?1 2 x ?1

则x ?

2 t ?1

,∴ f ( t ) ? lg

,∴ f ( x ) ? lg

( x ? 1) .

(3)设 f ( x ) ? ax ? b (a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3 ax ? 3a ? 3b ? 2 ax ? 2 a ? 2b
? ax ? b ? 5 a ? 2 x ? 17 ,

∴ a ? 2 , b ? 7 ,∴ f ( x ) ? 2 x ? 7 .
1 (4) 2 f ( x ) ? f ( ) ? 3 x x

①,

把①中的 x 换成

1

1 3 ,得 2 f ( ) ? f ( x ) ? x x x 3 x

②,
1 x

① ? 2 ? ②得 3 f ( x ) ? 6 x ?

,∴ f ( x ) ? 2 x ?



注:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定系数法; 第(4)题用方程组法.
3

例 2 已知函数 f(x)=
1 3

3x ? 1

ax ? ax ? 3
2

的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是
1 3

A.a>

B.-12<a≤0
? a ? 0,

C.-12<a<0

D.a≤

解:由 a=0 或 ? 答案:B

?Δ ? a ? 4 a ? ( ? 3 ) ? 0 ,
2

可得-12<a≤0.

例 3 在△ABC 中,BC=2,AB+AC=3,中线 AD 的长为 y,AB 的长为 x,建立 y 与 x 的 函数关系式,并指出其定义域.
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解:设∠ADC=θ ,则∠ADB=π -θ . 根据余弦定理得 12+y2-2ycosθ =(3-x)2, ① 2 2 2 1 +y -2ycos(π -θ )=x . ② 由①+②整理得 y= x 2 ? 3 x ?
? x ? 0, ? 其中 ? x ? 2 ? 3 ? x , ? (3 ? x ) ? 2 ? x , ?
7 2

A x y ? B 1 D 1 C 3-x

.

解得

1 2

<x<

5 2

.

∴函数的定义域为(

1 2



5 2

).

评述: 函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围, 同时也要注意变量的实际意 义的要求. 例 4 若函数 f(x)= 解:由 y=f(x)=
ax ? 1 x ?c
2

的值域为[-1,5] ,求实数 a、c.

ax ? 1 x ?c
2

,得 x2y-ax+cy-1=0.

当 y=0 时,ax=-1,∴a≠0. 当 y≠0 时,∵x∈R,∴Δ =a2-4y(cy-1)≥0. ∴4cy2-4y-a2≤0. ∵-1≤y≤5,∴-1、5 是方程 4cy2-4y-a2=0 的两根.
?1 ?a ? ? 5 , ? c ? 4, ? ? ∴? ∴? 1 2 ?? a ? ?5. ?c ? . 4 ? ? 4c ?

评述:求 f(x)=

a 2 x ? b2 x ? c 2
2

a 1 x ? b1 x ? c 1
2

(a12+a22≠0)的值域时,常利用函数的定义域非空

这一隐含的条件,将函数转化为方程,利用Δ ≥0 转化为关于函数值的不等式.求解时,要注 意二次项系数为字母时要讨论. 例 5 设定义在 N 上的函数 f(x)满足 f(n)= ?
? n ? 13 ? f [ f ( n ? 18 )]
( n ? 2000 ), ( n ? 2000 ),

试求 f(2002)的值.

解:∵2002>2000, ∴f(2002)=f[f(2002-18) ]=f[f(1984) ]=f[1984+13]=f(1997)=1997+13=2010. 例 6 设 f(x)=
4 ?1
x

2

x ?1

-2x+1,已知 f(m)= 2 ,求 f(-m).

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解法一:∵f(m)= 2 ,∴

4

m

?1

2 4
m

m ?1

-2m+1= 2 .





?1

2

m ?1

-2m= 2 -1.
1

∴f(-m)=

4

?m

?1

2

? m ?1

?1 m 4 +2m+1= +2m+1 1 2? m 2

=
4

1? 4
m

m

?2 4

? m ?1

+2m+1=

1? 4 2

m

m ?1

+2m+1=-

4

m

?1

2

m ?1

+ 2m+1

m

=-(

?1

2

m ?1

-2m)+1=-( 2 -1)+1=2- 2 .
?x

解法二:f(x)=

4 ?1
x

2

x ?1

-2x+1=

2 ?2
x

-2x+1
?x

2
2 ?2 2
x

令 g ( x) ?

2 ?2
x

?x

2 2 ?2
x ?x

? 2 x ,则 g ( ? x ) ?

? 2( ? x ) ? ? g ( x )

∴ f ( x) ?

2

? 2 x ? 1 ? g ( x) ? 1

∵ f (m ) ? g (m ) ? 1 ?

2 ? g (m ) ?

2 ?1 2

∴ f (? m ) ? g (? m ) ? 1 ? ? g (m ) ? 1 ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 ?

例 7 某市有小灵通与全球通两种手机, 小灵通手机的月租费为 25 元, 接听电话不收费, 打出电话一次在 3 min 以内收费 0.2 元,超过 3 min 的部分为每分钟收费 0.1 元,不足 1 min 按 1 min 计算(以下同).全球通手机月租费为 10 元,接听与打出的费用都是每分钟 0.2 元. 若某人打出与接听次数一样多,每次接听与打出的时间在 1 min 以内、1 到 2 min 以内、2 到 3 min 以内、3 到 4 min 以内的次数之比为 4∶3∶1∶1.问,根据他的通话次数应该选择什 么样的手机才能使费用最省?(注:m 到 m+1 min 以内指含 m min,而不含 m+1 min) 解:设小灵通每月的费用为 y1 元,全球通的费用为 y2 元,分别在 1 min 以内、2 min 以 内、3 min 以内、4 min 以内的通话次数为 4x、3x、x、x,则 y1=25+(4x+3x+x+x)×0.2+0.1x=25+1.9x, y2=10+2(0.2×4x+0.4×3x+0.6x+0.8x)=10+6.8x. 令 y1≥y2,即 25+1.9x≥10+6.8x, 解得 x≤
15 4 .9
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≈3.06.

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∴总次数为(4+3+1+1)×2×3.06=55.1. 故当他每月的通话次数小于等于 55 次时,应选择全球通,大于 55 次时应选择小灵通. 例 8 已知扇形的周长为 10,求扇形半径 r 与面积 S 的函数关系式及此函数的定义域、 值域. 解:设扇形的弧长为 l,则 l=10-2r, ∴S=
1 2

lr=(5-r)r=-r2+5r.

? r ? 0, 5 ? 由 ?l ? 0, 得 <r<5. ? l ? 2π r , π ? ? ?

∴S=-r2+5r 的定义域为( 又 S=-r2+5r=-(r- r=
5 2 5 2 5 2

5 π ?? 25 4

,5). 且

)2+

∈(

5 π ??

,π ) ,
25 4 5 π ??

∴当 r=

时,S 最大=

.

又 S>-52+5×5=0, ∴S=-r2+5r,r∈( 小结: 1.求函数的解析式主要有待定系数法和换元法。如果已知函数解析式的构造时,可以用待 定系数法求,如函数为二次函数,可设为 y=ax +bx+c(a≠0)。 2.根据实际问题求函数表达式,是应用函数知识解决实际问题的基础,在设定或选定变量 去寻求等量关系并求得函数表达式后,还要注意函数定义域常受到实际问题本身的限制。
2

,5)的值域为(0,

25 4

].

练习

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题组一: 1.若 f(sinx)=2-cos2x,则 f(cosx)等于 A.2-sin2x B.2+sin2x C.2-cos2x 2 1 解析:∵f(sinx)=2-(1-2sin x)=1+2sin2x,

D.2+cos2x

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∴f(cosx)=f(sin 答案:D 2.已知 f(
x 1? x
2

π 2

-x)=1+2sin2(

π 2

-x)=1+2cos2x=2+cos2x.

1? x 1? x

)=

1? x 1? x

2 2

,则 f(x)的解析式可取为
2x 1? x
2

A.

B.-
1? x 1? x
2t t
2

2x 1? x
2

C.
1? t 1? t
2

D.-

x 1? x
2

解析:令 ∴f(t)=

=t,则 x=


2x

?1

.∴f(x)=

x ?1

.

答案:C 3.函数 f(x)=|x-1|的图象是
y 1 -1 o 1 x
-1 y 1 o 1 x -1 y 1 o 1 x

y 1 -1 o 1 x

A

B

C

D

解析:转化为分段函数 y= ? 答案:B

? x ? 1, x ? 1, ?1 ? x , x ? 1 .

4.函数 y= ? x 2 ? x ? 2 的定义域为______,值域为______. 答案: [-1,2]
1? x 1? x
2 2

, [0,

3 2



5.函数 y=

的值域是 B.(-1,1]
2 2

A.[-1,1] 解法一:y=
1? x 1? x

C.[-1,1)

D.(-1,1)

=

2 1? x
2

-1.

∵1+x2≥1, ∴0<
2 1? x
2

≤2.∴-1<y≤1.
1? x 1? x
2 2

解法二:由 y=

,得 x2=

1? y 1? y

.

∵x2≥0,∴

1? y 1? y

≥0,解得-1<y≤1.
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解法三:令 x=tanθ (-
1 ? tan ?
2

π 2

<θ <

π 2

) ,

则 y=

1 ? tan ?
2

=cos2θ

.∵-π <2θ <π , ∴-1<cos2θ ≤1,即-1<y≤1. 答案:B 6.如果 f[f(x) ]=2x-1,则一次函数 f(x)=___________. 解析:设 f(x)=kx+b,则 f[f(x) ]=kf(x)+b=k(kx+b)+b=k2x+kb+b. 由于该函数与 y=2x-1 是同一个函数, ∴k2=2 且 kb+b=-1.∴k=± 2 . 当 k= 2 时,b=1- 2 ; 当 k=- 2 时,b=1+ 2 . 答案:f(x)= 2 x+1- 2 或 f(x)=- 2 x+1+ 2 7.已知 f(x2-4)=lg
x
2 2

x ?8

,则 f(x)的定义域为__________.

解析:设 x2-4=t,则 t≥-4,x2=4+t. ∴f(t)=lg
t?4 t?4

.∴f(x)=lg

x?4 t?4

(x≥-4).

?x ? 4 ? 0, ? 由?x ? 4 得 x>4. ? x ? ? 4, ?

答案: (4,+∞) 8.用长为 l 的铁丝弯成下部为矩形,上部为半圆形的框架(如图) ,若矩形底边长为 2x, 求此框架围成的面积 y 与 x 的函数关系式,并写出其定义域. 解:∵AB=2x,则 ∴y=2x·
l ? 2x ? π x 2

=π x,AD= +
π x ?
2

l ? 2x ? π x 2 π 2

.
D C

=-(

+2)x2+lx.

? 2 x ? 0, l ? 由 ? l ? 2 x ? π x >0,解得 0<x< . π ?2 ? 2 ?

A

2x

B

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9.已知函数 f(x)= ?

?x ? 2 ?? 2

( x ? 2 ), ( x ? 2 ),

则 f(lg30-lg3)=________;不等式 xf(x-1)<

10 的解集是___________. 解析:f(lg30-lg3)=f(lg10)=f(1)=-2, f(x-1)= ?
?x ? 3 ?? 2 x ? 3, x ? 3.

当 x≥3 时,x(x-3)<10 ? -2<x<5,故 3≤x<5. 当 x<3 时,-2x<10 ? x>-5,故-5<x<3. 总之 x∈(-5,5). 答案:-2 {x|-5<x<5}
x ? 0, ?1 ? x ? 0, 10.定义“符号函数”f(x)=sgnx= ? 0 ? ? 1 x ? 0, ?

则不等式 x+2>(x-2)sgnx 的解集是___________. 解析:分类讨论. 答案: (- 5 ,+∞)

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参考答案: 1. 5 2. 3/2
2

3. C 。 7. 1

4. C

5. x +2。

2

6. f(x)=1/(x ?1) 9. 2:(?3):1:4

1 8. g(x)= log 2 (2 x ? 1) 。 3

10. f(x)=19x/20+1(倒 k 次后剩余酒精为 20?x 升)

题组二: 1.设 f(2 +1)=x,f? (x)是 f(x)的反函数,则 f? (2)=
x 1 1



? x ? 1 ( x ? 1) 2.已知函数 f(x)= ? ,则 f[f(5/2)]= ? ? x ? 3 ( x ? 1)



3. 在一定范围内, 某种产品的购买量 y 吨与单价 x 元之间满足一次函数关系, 如果购买 1000 吨, 每吨价格为 800 元, 购买 2000 吨, 每吨为 700 元, 一客户购买 400 吨, 单价应该是( A.820 元 B.840 元 C.860 元 D.880 元 )

4.若函数 y=f(x)存在反函数,则方程 f(x)=c(c 为常数) A.有且只有一个实根 C.至多只有一个实根 B.至少有一个实根 D.没有实数根

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5.已知 f(x?1/x)=x +1/x ,则 f(x)= 6 . 函 数 f(x) 是 一 个 偶 函 数 , g(x) 是 一 个 奇 函 数 , 且 f(x)+g(x)=1/(x?1), 则 f(x)= .

2

2

7.设函数 f(x)=f(1/x)lgx+1,则 f(10)的值是 8. 已知 f(x)=log2(x+1),当且仅当点(x,y)在 y=f(x)的图象上运动时, 点(x/2,y/3)在 y=g(x) 的图象上运动,求 y=g(x)的解析式。 9 . 若 函 数 f(x)=(ax+b)/(cx+d)与 g(x)=(4x+3)/(2?x) 的 图 象关 于 直线 y=x 对 称 ,则 a:b:c:d= .

10.从盛满 20 升纯酒精的容器里倒出 1 升,然后用水填满,摇匀后再倒出一升,再用水填 满, 这样继续进行, 如果倒 k 次(k?1)后共倒出纯酒精 x 升, 倒第 k+1 次后共倒出纯酒精 f(x) 升,则函数 f(x)的表达式为 。

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