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湖北省2016-2017学年高一数学下学期期末试卷(含解析)(1)



湖北省武汉市武昌区2014-20 15学年高一(下)期末数学试卷 
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。

1.已知函数

,则f{f}=(  )

  A. π

0 B.

1 C.

π

+1

D.

考点:函数的值. 专题:计算题. 分析:根据分段函数式,由内层向外层逐个求解即可. 解答: 解:由f(x)解析式可得,f(﹣1)=0,f(0)=π,f(π)=π+1, 所以f{f}=f{f}=f{π}=π+1. 故C. 点评: 本题考查分段函数求值问题,属基础题,按自变量的范围把自变量值代入 相应“段”内求出即可.   2.设a=0.82.1,b=21.1,c=log23,则(  )   A. a<b<c b<c<a D. B. a<c<b c<a<b C.

考点:对数值大小的比较. -1-

专题:函数的性质及应用. 分析:分别讨论a,b,c的取值范围,即可比较大小. 解答: 则a<c<b, 故选:D. 点评:本题主要考查函数值的大小比较,根据指数和对数的性质即可得到结论.   3.已知向量 =(1,2), =(x,1)若( +2 )∥(2 ﹣2 ),则x的值为(   )   A. 1 B. 2 C. D. 解:1<log23<2,21.1>2,0.82.1<1,

考点:平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题:平面向量及应用. 分析: 首先分别求出( +2 )和(2 ﹣2 )的坐标,利用平行的性质得到关于x 的等式解之. 解答: 解:因为向量 =(1,2), =(x,1),所以 +2 =(1+2x,4),2 ﹣2 =(2﹣2x,2), 又( +2 )∥(2 ﹣2 ),所以2(1+2x)=4(2﹣2x),即12x=6,解得x= ; 故选:C. 点评: 本题考查了平面向量的坐标运算以及向量平行的性质;关键是明确向量平 行时的坐标关系.   4.某几何体的三视图如图,则该几何体的体积为(  ) -2-

  A.

B.

C.

2

D.

3

考点:由三视图求面积、体积. 专题:空间位置关系与距离. 分析: 由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,求出 底面面积和高,代入锥体体积公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥, 其底面面积S= ×2×2=2, 高h=1, 故几何体的体积V= Sh= , 故选:B. 点评: 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积,解决本题的关键是得到该 几何体的形状.   5.若把函数y=cosx﹣ sinx的图象向右平移m(m>0)个单位长度后,所得到的

图象关于y轴对称,则m的最小值为(  )

-3-

  A.

B.

C.

D.

考点:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用. 专题:三角函数的图像与性质. 分析: 由条件利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式,再利用函数y=Asin( ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数、余弦函数的奇偶性,可得﹣m+ ∈z,由此求得m的最小值. 解答: 解:把函数y=cosx﹣ sinx=2cos(x+ ) =kπ,k

的图象向右平移m(m>0)个单位长度后,所得到的图象对应函数的解析式为y=2 cos(x﹣m+ ),

再根据所得图象关于y轴对称,可得y=2cos(x﹣m+

)为偶函数,

故有﹣m+ 故选:A. 点评:

=kπ,k∈z,即 m=﹣kπ+

,则m的最小值为



本题主要考查三角函数的恒等变换,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规 律,属于基础题.  

-4-

6.设x,y满足约束条件

,则z=x+2y的最大值为(  )

  A.

8 B.

7 C.

2

D.

1

考点:简单线性规划. 专题:不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最 大值. 解答: 解:作出不等式对应的平面区域, ,

由z=x+2y,得y=﹣

平移直线y=﹣

,由图象可知当直线y=﹣

经过点A时,直线y=﹣



截距最大,此时z最大. 由 ,得 ,

即A(3,2), 此时z的最大值为z=3+2×2=7, 故选:B.

-5-

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用 方法.   7.已知等差数列{an}满足,a1>0,5a8=8a13,则前n项和Sn取最大值时,n的值为 (  )   A. 20 B. 21 C. 22 D. 23

考点:等差数列的前n项和;数列的函数特性. 专题:等差数列与等比数列. 分析: 由条件可得 ,代入通项公式令其≥0可得 ,可得数列{

an}前21项都是正数,以后各项都是负数,可得答案. 解答: 解:设数列的公差为d,由5a8=8a13得5(a1+7d)=8(a1+12d),解得 ,

由an=a1+(n﹣1)d=

,可得



所以数列{an}前21项都是正数,以后各项都是负数, 故Sn取最大值时,n的值为21, 故选B. 点评: 本题考查等差数列的前n项和公式,从数列的项的正负入手是解决问题的关 键,属基础题.  

-6-

8.某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(  )   A. B.

C. ﹣1

D.

考点:有理数指数幂的化简求值. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据增长率之间的关系,建立方程关系即可得到结论. 解答: 解:设原来的生产总值为a,平均增长率为x,

则a(1+p)(1+q)=a(1+x)2, 解得1+x= 即x= 故选:D. 点评: 本题主要考查指数幂的计算,根据条件建立条件关系是解决本题的关键, 比较基础.   9.在平行四边形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,DE交AF于点G,记 = ,则   A. =(  ) ﹣ B. + C. = , , ﹣1,



+

D.





考点:平面向量的基本定理及其意义;向量的线性运算性质及几何意义. -7-

专题:平面向量及应用. 分析: 由题意画出图象,根据向量共线、向量的线性运算表示出 即可求出答案. 解答: 解:由题意画出图象: ,列出方程组

∵A、G、F三点共线, ∴ = = = ,

同理可得,

=

=

=





= +





=





,解得λ= ,μ= ,

∴ 故选:B.



点评:本题考查向量的线性运算,以及向量共线的条件,属于中档题.   10.已知m,n是不同的直线,α,β,γ是不同的平面,给出以下命题: ①若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,则n⊥α,或n⊥β; -8-

②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m∥n; ③若m不垂直于α,则m不可能垂直于α内的无数条直线; ④若α∩β=m,n∥m,n?α,n?β,则n∥α,且n∥β. 其中,正确的命题的个数为(  )   A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

考点:空间中直线与平面之间的位置关系. 专题:空间位置关系与距离. 分析: 利用面面垂直、面面平行、线面平行的性质定理和判定定理对四个命题分 别分析选择即可. 解答: 解:对于①,若α⊥β,α∩β=m,n⊥m,如果n?α和β,则n⊥α,或n ⊥β不成立;故①错误; 对于②,若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,根据面面平行的性质定理得到m∥n; 故②正确; 对于③,若m不垂直于α,则m可能垂直于α内的无数条直线;故③错误; 对于④,若α∩β=m,n∥m,n?α,n?β,根据线面平行的判定定理得到n∥α ,且n∥β.故④正确; 所以正确命题的个数为2; 故选:B. 点评: 本题考查了面面垂直、面面平行、线面平行的性质定理和判定定理的阴影 ;熟练掌握定理的条件是关键.   11.关于x的不等式 + ≥4在区间上恒成立,则实数a的取值范围为(  )

-9-

  A. D.

(0, ]

B.

(1, ]

C.

考点:函数恒成立问题. 专题:函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 分析: 由 + ≥4,分离变量a得 ≥ ,由x∈求得 ,



∈.∴

,由此求得实数a的取值范围.

解答:

解:由 +

≥4,得

≥4

=

,即

=



∵x∈,∴

,则

∈.



,则0<a



∴实数a的取值范围为(0, ]. 故选:A. 点评: 本题考查了函数恒成立问题,考查了数学转化思想方法,训练了利用配方 法求二次函数的最值,是中档题.  

- 10 -

12.函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(﹣1,1]时,f(x)= 1﹣x2,函数g(x)= 的个数为(  )   A. 8 B. 12 C. 13 D. 14 则函数h(x)=f(x)﹣g(x)在区间内零点

考点:函数零点的判定定理. 专题:函数的性质及应用. 分析: 函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+2)=f(x),且x∈(﹣1,1]时f(x)=1 ﹣x2,故其为周期性函数,函数g(x)是一个偶函数,作出它们的图象,由图象 上看交点个数.对边界处的关键点要作准. 解答: 解:作出区间上的两个函数的图象,

y轴右边最后一个公共点是(10,1)y轴左边有四个交点, y轴右边是9个交点,y轴上有一个交点,总共是14个交点. 故选:D.

点评:考查答题者使用图象辅助作题的意识与能力,本题是一道中档题.   二、填空题:本大题共4小题,每小题5分。 13.函数f(x)= + 的定义域为 (﹣1,0)∪(0,2] .

- 11 -

考点:函数的定义域及其求法. 专题:函数的性质及应用. 分析:根据二次根式以及对数函数的性质得到不等式组,解出即可. 解答: 解:由题意得:

,解得:﹣1<x≤2且x≠0,

故答案为:(﹣1,0)∪(0,2]. 点评:本题考查了二次根式的性质,对数函数的性质,是一道基础题.   14.如图,矩形ABCD中,E为AD的中点,AB=1,BC=2,连接EB,EC,若△BEC绕直 线AD旋转一周,则所形成的几何体的表面积为 (4+2 )π .

考点:旋转体(圆柱、圆锥、圆台). 专题:空间位置关系与距离. 分析: △BEC绕直线AD旋转一周,形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的组 合体,其表面积有三者的侧面积组成,代入圆柱和圆锥侧面积公式,可得答案. 解答: ∴EB=EC= 解:∵矩形ABCD中,E为AD的中点,AB=1,BC=2,连接EB,EC, ,

△BEC绕直线AD旋转一周,形成的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥形成的组合体 , 圆柱的底面半径r=1,母线长l=2,故侧面积为:2πrl=4π, - 12 -

圆柱锥的底面半径r=1,母线长l=

,故侧面积为:πrl=

π,

组合体的表面积由三者的侧面积组成, 故组合体的表面积S=4π+2 故答案为:(4+2 点评: 本题考查的知识点是旋转体,圆柱体和圆锥体的侧面积,难度不大,属于 基础题.   15.已知sinθ和cosθ的等差中项为sinα,等比中项为sinβ,则cos2 2β= 0 . cos )π π=(4+2 )π,

考点:二倍角的余弦;同角三角函数基本关系的运用. 专题:计算题;等差数列与等比数列;三角函数的求值. 分析: 利用等差中项和等比中项的性质求得sinα,sinβ与sinθ与cosθ的关系 ,进而利用同角三角函数的基本关系构造出等式,利用二倍角公式整理,即可得 解. 解答: 解:依题意可知2sinα=sinθ+cosθ,

sin2β=sinθcosθ, ∵cos2 cos2β=1﹣2sin2α﹣ (1﹣2sin2β)=1﹣2( )

﹣ (1﹣sin2θ)=1﹣ 故答案为:0. 点评:

sin2θ﹣ +

=0.

本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值,考查了同角三角函数基 本关系的运用,等差中项和等比中项的性质,属于基础题. - 13 -

  16.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=x2,若对任意的x∈, 不等式f(x+t)≥2f(x)恒成立,则实数t的取值范围是   .

考点:函数恒成立问题;函数奇偶性的性质. 专题:计算题. 分析: 由当x≥0时,f(x)=x2,函数是奇函数,可得当x<0时,f(x)=﹣x2,从 而f(x)在R上是单调递增函数,且满足2f(x)=f( t)≥2f(x)=f( 解答: x)在恒成立,可得x+t≥ x),再根据不等式f(x+

x在恒成立,即可得出答案.

解:当x≥0时,f(x)=x2

∵函数是奇函数 ∴当x<0时,f(x)=﹣x2 ∴f(x)= ,

∴f(x)在R上是单调递增函数, 且满足2f(x)=f( x), x)在恒成立,

∵不等式f(x+t)≥2f(x)=f( ∴x+t≥ x在恒成立, )t在恒成立, )t ,

即:x≤(1+ ∴t+2≤(1+ 解得:t≥

故答案为:, ∴(?RA)=(﹣∞,﹣2)∪(﹣1,+∞), ∵(?RA)∩B={x|﹣1<x≤2}=(﹣1,2],(?RA)∪B=R, ∴B=, ∴﹣2+2=a,﹣2×2=b, ∴a=0,b=﹣4; - 14 -

(Ⅱ)当b=1时,设f(x)=x2+ax+1, ∵A∪B=A, ∴B?A, 当B=?时,由△=a2﹣4<0,解得﹣2<a<2, 当B≠?时,由△=a2﹣4=0,解得a=﹣2,或a=2, 当a=﹣2时,B={1}不合题意, 当a=2时,B={﹣1}符合题意,

若△=a2﹣4>0,则

,无解,

综上,所求实数a的范围为(﹣2,2]. 点评: 本题考查了集合的混合运算,对于一元二次不等式的求解,根据已知A∪B 和A∩B的范围,求出集合B是解题的关键,属中档题   19.已知函数f(x)=sin2ωx+ sinωx?sin(ωx+ )(其中ω>0)的最小正

周期为



(Ⅰ)求ω的值; (Ⅱ)求函数f(x)在区间上的最大值与最小值.

考点:三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题:计算题;三角函数的图像与性质.

- 15 -

分析: (Ⅰ)利用三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=sin( 2ωx )+ ,根据三角函数的周期性及其求法即可得解.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=sin(4x﹣

)+ ,由x∈,可得4x﹣

∈,从而可

求f(x)=sin(4x﹣

)+ ∈,即可得解.

解答:

解:(Ⅰ)∵f(x)=sin2ωx+

sinωx?sin(ωx+



=

+

sinωx?cosωx

=

sin2ωx﹣ cos2ωx+

=sin(2ωx

)+ ,

∴T=

=



∴ω=2. (Ⅱ)由(Ⅰ),可得f(x)=sin(4x﹣ )+ ,

∵x∈,∴4x﹣

∈,

∴sin(4x﹣

)∈,

∴f(x)=sin(4x﹣

)+ ∈,

- 16 -

当4x﹣

=

,即x=

时,f(x)取得最小值为1;

当4x﹣

=

,即x=

时,f(x)取得最大值为 ;

∴函数f(x)在区间上的最大值为 ,最小值为1. 点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法 ,正弦函数的图象和性质,属于基本知识的考查.   20.如图,在正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC﹣A1B1C1中,D为AC的中 点, (Ⅰ)证明:AB1∥平面BDC1; (Ⅱ)当AB= AA1时,求证:AB1⊥BC1.

考点:空间中直线与直线之间的位置关系;直线与平面平行的判定. 专题:空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)连结B1C,交BC1于点O,连结OD,由已知得OD∥AB1,由此能证明AB1 ∥平面DBC1. (Ⅱ)分别取AB,BB1,B1C1的中点E,F,G,连接EF,FG,EG,找到AB1与BC1所成 的角,通过解三角形得到EF⊥FG即可. - 17 -

解答:

证明:(Ⅰ)连结B1C,交BC1于点O,连结OD,

∵A1B1C1﹣ABC是正三棱柱, ∴BCC1B1是矩形,∴O是B1C的中点, 又D是AC的中点,∴OD∥AB1, ∵OD?平面DBC1,AB1?平面DBC1, ∴AB1∥平面DBC1. (Ⅱ)分别取AB,BB1,B1C1的中点E,F,G,连接EF,FG,EG,则EF∥AB1,FG∥B C1, 所以∠EFG为AB1与BC1所成的角, 在直角三角形EBF中,EF= ,

在直角三角形FB1G中,FG=



取BC的中点H,连接GH,则GH⊥平面ABC,GH⊥HE, 在直角三角形GHE中,EG= ,

在△EFG中,因为EF2+FG2=EG2,所以∠EFG=90°,所以EF⊥FG,所以AB1⊥BC1.

- 18 -

点评: 本题考查了空间线面平行的判定和异面直线所成的角的求法;解答的关键 是通过转化为平面内线线问题解答.   21.设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且acosC+ c=b, (Ⅰ)求角A的大小; (Ⅱ)当a=1时,求△ABC内切圆半径R的最大值.

考点:正弦定理;余弦定理. 专题:计算题;解三角形. 分析: (Ⅰ)由已知及正弦定理,可得sinAcosC+ sinC=sinB,由sinC≠0,化简

解得cosA= ,结合A的范围即可求A的值.

(Ⅱ)由条件可得S△ABC=

,且

,可求R=



由余弦定理可得:bc=

,解得R=

(b+c﹣1),

结合基本不等式可得 大值. 解答:

≤(

)2,解得b+c的范围,从而可求R的最

解:(Ⅰ)由正弦定理,可得sinAcosC+ sinC=sinB,

因为sinB=sin(A+C),所以sinAcosC+ sinC=sin(A+C),所以 sinC=cosAsinC , - 19 -

因为sinC≠0,所以cosA= ,

因为0<A<π,所以A=

…4分

(Ⅱ)∵S△ABC=

,且

,且a=1,A=





R=

bc,

∴R=



由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA,可得1=b2+c2﹣bc, ∴(b+c)2=1+3bc, ∴bc= ,

∴R=

(b+c﹣1),

∵bc≤(

)2,



≤(

)2,解得0≤b+c≤2,

∴R≤

,即有Rmin=

,当且仅当b=c=1时取得.

∴△ABC内切圆半径R的最大值为 点评:

…12分

本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积的求法,基本不等式的 应用等知识的应用,综合性较强,属于中档题.   - 20 -

22.已知函数f(x)=x3﹣3x,x∈R. (Ⅰ)判断函数y=f(x)在区间(0,1)和(1,+∞)上的单调性,并证明你的 结论; (Ⅱ)如果函数g(x)=x2﹣ ﹣3,k∈R有三个零点,求实数k的取值范围.

考点:函数零点的判定定理;函数单调性的判断与证明. 专题:函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据函数单调性的定义进行证明即可;

(Ⅱ)问题转化为函数f(x)=x3﹣3x与y=k有3个不同的交点的问题,求出函数f (x)的最大值和最小值,从而求出k的范围. 解答: 证明如下: f(x1)﹣f(x2)=( =( ﹣ ﹣3x1)﹣( ﹣3x2) 解:(Ⅰ)函数f(x)在(0,1)递减,(1,+∞)递增,

)﹣(3x1﹣3x2) +x1x2+ ﹣3),

=(x1﹣x2)(

设x1,x2∈(0,1),且x1<x2, 则x1﹣x2<0,0< +x1x2+ <1,0< <1,0<x2x1<1,

﹣3<0,

∴f(x1)﹣f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), ∴函数y=f(x)在区间(0,1)上是减函数, 设x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2, 则x1﹣x2<0, +x1x2+ >1, >1,x2x1>1,

﹣3>0,

∴f(x1)﹣f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴函数y=f(x)在区间(1,+∞)上是增函数, 综上,f(x)在(0,1)递减,在(1,+∞)递增; (Ⅱ)∵函数g(x)有3个不同的零点, - 21 -

∴方程x2﹣ ﹣3=0有3个不同的实数根, 即方程x3﹣3x﹣k=0有3个不同的实数根, ∴函数f(x)=x3﹣3x与y=k有3个不同的交点, 由(Ⅰ)得:函数f(x)在区间(0,1)递减,在(1,+∞)递增, ∴f(x)在区间(0,+∞)的最小值是f(1)=﹣2, ∵f(﹣x)=(﹣x)3﹣3(﹣x)=﹣x3+3x=﹣f(x), ∴函数f(x)是奇函数, ∴函数f(x)在区间(﹣∞,0)上有最大值f(﹣1)=2, ∴当0<k<2或﹣2<k<0时,直线y=k和函数f(x)d的图象有3个不同的交点, ∴k的范围是(﹣2,0)∪(0,2). 点评: 本题考查了函数的单调性的证明问题,函数的极值问题,考查函数的零点 问题,考查导数的应用,是一道中档题.  

- 22 -



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