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2015年4月北京市东城区一模考试高三文科数学试题带答案


北京市东城区 2014-2015 学年度第二学期综合练习(一) 高三数学 (文科)
本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结 束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题
(1)在复平面内,复数 z ? 1 ? 2i 对应的点的坐标为 (A) (1, 2) (C) (1 , ? 2) (B) (2 ,1)

共 40 分)

一、选择题(共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)

(D) (2 , ? 1)

(2)双曲线

x2 ? y 2 ? 1的渐近线方程为 4
1 x 2
(B) y ? ? 3x (D) y ? ? 5x

(A) y ? ?

(C) y ? ?2 x

(3)记函数 f ( x ) 的导函数为 f ?( x ) ,若 f ( x ) 对应的曲线在点 ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程为 y ? ? x ? 1 ,则 (A) f ?( x0 )=2 (C) f ?( x0 ) ? 0 (B) f ?( x0 )=1 (D) f ?( x0 )= ? 1

(4)已知命题 p :直线 a , b 不相交,命题 q :直线 a , b 为异面直线,则 p 是 q 的 (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(5)在区间 [0, 2] 上随机取一个实数 x ,则事件“ 3x ? 1 ? 0 ”发生的概率为 (A)

1 2 1 4

(B)

1 3 1 6

(C)

(D)

(6)执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 4 , 则图中判断框内①处应填

(A) 2 (C) 4

(B) 3 (D) 5

1

(7)设集合 D ? ?( x, y ) ?

? ? ? ?

? x ? y ? 1, ? ? ? ,则下列命题中正确的是 ? x ? y ? 1.? ?
(B) ?( x , y) ? D , x ? 2 y ? ?2 (D) ?( x , y) ? D , y ? ?1

(A) ?( x , y) ? D , x ? 2 y ? 0 (C) ?( x , y) ? D , x ? 2

(8)某学校餐厅每天供应 500 名学生用餐,每星期一有 A , B 两种菜可供选择.调查资料表明,凡是在星期一选 A 种菜的学生,下星期一会有 20% 改选 B 种菜;而选 B 种菜的学生,下星期一会有 30% 改选 A 种菜.用 an , bn 分别 表示在第 n 个星期的星期一选 A 种菜和选 B 种菜的学生人数,若 a1

? 300 ,则 an +1 与 an 的关系可以表示为
1 an ? 200 3 2 an ? 180 5

(A) an ?1 ? (C) an ?1 ?

1 an ? 150 2 1 an ? 300 5

(B) an ?1 ?

(D) an ?1 ?

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

共 110 分)

(9)已知集合 A ? ?1? , B ? ??1, 2m ?1 ? ,若 A ? B ,则实数 m 的值为
?

. .

(10)将函数 f ( x) ? sin(2 x ?

? ? ) 的图象向右平移 个单位后所得图象对应的解析式为 6 3


(11)在矩形 ABCD 中, AB ? (1 , ? 3) , AC ? (k , ? 2) ,则实数 k ?

(12)已知函数 f ( x ) 的对应关系如下表所示,数列 ?an ? 满足 a1 ? 3 , an?1 ? f (an ) ,则 a4 ?



a2015 ?



x
f ( x)

1

2 2

3
1

3

(13)函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,且满足 f ( x ? 2) ? f ( x) .当 x ?[0 , 1] 时, f ( x) ? 2 x .若在 区间 [ ?2 , 3 ] 上方程 ax+2a ? f ( x) ? 0 恰有四个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是________.

(14) C 是 曲线

(? 1 , 0 ) .设 y ? 1 ? x 2 (?1 ? x ? 0) 上 一 点, CD 垂 直 于 y 轴, D 是垂 足 , 点 A 的坐 标 是
, f (? ) 的

?CAO ? ? (其中 O 表示原点),将 AC ? CD 表示成关于 ? 的函数 f (? ) ,则 f (? ) =
最大值为 .

2

三、解答题(共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程) (15) (本小题共 13 分) 下面的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分). 甲组 乙组

9

0
1
2

9 5
4 y

x
7
(Ⅰ)求 x , y 的值;

2 4

8

已知甲组数据的中位数为 13 ,乙组数据的平均数是 16.8 .

(Ⅱ)从成绩不低于 10 分且不超过 20 分的学生中任意抽取 3 名,求恰有 2 名学生在乙组的概率.

(16) (本小题共 13 分) 在△ ABC 中, sin A ? 3 cos A ? 2 . (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)现给出三个条件:① a ? 2 ; ② B ? 45 ;③ c ? 3b . 试从中选出两个可以确定△ ABC 的条件,写出你的选择并以此为依据求△ ABC 的面积 (只需写出一个选 定方案即可,选多种方案以第一种方案记分) .

(17) (本小题共 14 分)
如图甲,⊙ O 的直径 AB ? 2 ,圆上两点 C , D 在直径 AB 的两侧,且 ?CBA ? ?DAB ?

? .沿直径 AB 将半圆 3

ACB 所在平面折起,使两个半圆所在的平面互相垂直(如图乙). F 为 BC 的中点, E 为 AO 的中点.
(Ⅰ)求证 : CB ? DE ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? BOD 的体积; (Ⅲ)在劣弧 BD 上是否存在一点 G ,使得 FG ∥平面 ACD ?若存在,试确定点 G 的位置; 若不存在,请说明理由.

图乙

3

(18) (本小题共 14 分) 已知 x ? 1 是函数 f ( x ) ? 2 x ? (Ⅰ)求实数 b 的值; (Ⅱ)求 f ( x ) 的单调递减区间;

b ? ln x 的一个极值点. x

(Ⅲ)设函数 g ( x ) ? f ( x ) ?

3 (2 , 5) ,试问过点 可作多少条直线与曲线 y ? g ( x ) 相切?请说明理由. x

(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 C :

1 x2 y 2 ? 2 ? 1 ? a ? b ? 0 ? 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 , M 为椭圆上任意一点 2 2 a b

且△ MF1F2 的周长等于 6 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)以 M 为圆心, MF 1 为半径作圆 M ,当圆 M 与直线 l :x ? 4 有公共点时,求△ MF 1 F 2 面积的最大值.

(20) (本小题共 13 分) 已 知 等 差 数 列 ?an ? 中 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 , a1 ? 5 , 7a2 ? 4a4 , 数 列 ?bn ? 前 n 项 和 为 Sn , 且

(n ? N?) . Sn ? 2(bn ?1)
(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 cn ? ?

?an , n为奇数, 求 ?cn ? 错误!未找到引用源。的前 n 项和 Tn ; ?bn , n为偶数,

(Ⅲ)把数列 ?an ? 和 ?bn ? 的公共项从小到大排成新数列 ?dn ? ,试写出 d1 , d2 ,并证明 ?dn ? 为等比数列.

4

北京市东城区 2014-2015 学年第二学期高三综合练习(一) 数学(文科)参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分) (1)C (5)D (2)A (6)A (3)D (7)B (4)B (8)A

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (9) 1 (11) 4 (13) (10) y ? sin 2 x (12) 1

3

2 2 ?a? 5 3

(14) 2 cos ? ? cos 2? , ? ? [ , )

? ? 4 2

3 2

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (15) (共 13 分) 解: (Ⅰ)甲组五名学生的成绩为 9 , 12 , 10 ? x , 24 , 27 . 乙组五名学生的成绩为 9,15, 10 ? y , 18 , 24 . 因为甲组数据的中位数为 13 ,乙组数据的平均数是 16.8 , 所以 10 ? x ? 13 , 9 ? 15 ? 10 ? y ? 18 ? 24 ? 16.8 ? 5 ? 84 . 解得 x ? 3 , y ? 8 . ………………………..4 分

(Ⅱ)成绩不低于 10 分且不超过 20 分的学生中甲组有两名设为 a1 , a2 ,乙组有三名,设为 b1 , b2 , b3 , 共有 5 名, 从中任意抽取 3 名共有 10 种不同的抽法, 分别为 , , , (a1 ,a2 ,b1) (a1 ,a2 ,b2) (a1 ,a2 ,b3) , , , , , , (a1 , b1 , b2) (a1 , b1 , b3) (a1 , b2 , b3) (a2 , b1 , b2) (a2 , b1 , b3) (a2 , b2 , b3) .…..8 分 (b1 , b2 , b3) 恰有 2 名学生在乙组共有 6 种不同抽法,分别为(a1 ,b1 ,b2) , , , (a1 ,b1 ,b3) (a1 ,b2 ,b3) ( a2 , , , , b1 , b2) (a2 , b1 , b3) (a2 , b2 , b3) 故所求概率 P ?

6 3 = . 10 5

………………………..13 分

(16) (共 13 分) 解: (Ⅰ)依题意得 2 sin( A ?

? ? ) ? 2 ,即 sin( A ? ) ? 1 . 3 3
5

因为 0 ? A ? ? ,所以 即A?

? ? 4 ? ? ? A ? ? ? ,所以 A ? ? . 3 3 3 3 2
……………………..5 分

? . 6
由正弦定理

(Ⅱ)方案一:选择①②

a b a ? sin B ? 2 2 . ,得 b ? sin A sin B sin A

因为 A ? B ? C ? ? ,所以 sin C ? sin( A ? B) ? sin( ? ) ? 所以 S ?

? 6

? 4

6? 2 . 4
………………………..13 分

1 1 6+ 2 ab sin C ? ? 2 ? 2 2 ? = 3+1 . 2 2 4
2 2 2 2 2 2

方案二:选择①③ 由余弦定理 b ? c ? 2bc cos A ? a ,即 b ? 3b ? 3b ? 4 ,解得 b ? 2 , c ? 2 3 . 所以 S ?

1 1 1 bc sin A ? ? 2 ? 2 3 ? ? 3 . 2 2 2

………………………..13 分

说明:若选择②③,由 c ? 3b 得, sin C ? 3 sin B ? (17) (共 14 分) 证明: (Ⅰ)在△ AOD 中,因为 ?OAD ?

6 ? 1 不成立,这样的三角形不存在. 2

? , OA ? OD ,所以△ AOD 为正三角形. 3 又 E 为 OA 的中点,所以 DE ? AO .
因为两个半圆所在平面 ACB 与平面 ADB 互相垂直且其交线为 AB , 所以 DE ⊥平面 ACB .又 CB ? 平面 ACB , 所以 CB ? DE . ……………………5 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 DE ⊥平面 ACB ,所以 DE 为三棱锥 D ? BOC 的高.

D 为圆周上一点,且 AB 为直径,
所以 ?ADB ?

? . 2
? , 3
AB ? 2 ,

在△ ABD 中,由 AD ? BD , ?BAD ? 得 AD ? 1 , DE ?

3 . 又S 2

BOC

?

3 , 4
……………………9 分

所以 VC ? BOD ? VD ? BOC ?

1 1 3 3 1 S ?BOC ? DE = ? = . ? 8 3 3 4 2

(Ⅲ)存在满足题意的点 G , G 为劣弧 BD 的中点. 连接 OG, OF , FG ,易知 OG ? BD ,又 AD ? BD 又 OG ? 平面 ACD , AD ? 平面 ACD , 所以 OG ∥ AD .

所以 OG ∥平面 ACD .

在△ ABC 中, O, F 分别为 AB, BC 的中点, 所以 OF ∥ AC . 又 OF ? 平面 ACD , AC ? 平面 ACD , 所以 OF ∥平面 ACD .
6

因为 OG ∩ OF ? O , 所以平面 OFG ∥平面 ACD . FG ? 平面 OFG , 所以 FG ∥平面 ACD . (18) (共 14 分) 解:(Ⅰ) f ?( x) ? 2 ? ………………………..14 分

b 1 ? . x2 x

因为 x ? 1 是 f ( x ) ? 2 x ?

b ? ln x 的一个极值点, x

所以 f ?(1) ? 0 ,解得 b ? 3 . 经检验,满足题意,所以 b ? 3 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 2 x ? ………………………5 分

3 ? ln x ,定义域为 (0 , +?) , x

f ?( x) ? 2 ?

3 3 1 2 x2 ? x ? 3 .令 f ?( x) ? 0 ,得 ? ? x ? 1 .又 x ? 0 , ? ? 2 2 2 x x x
………………9 分

(0 , 1) 所以 f ( x ) 的单调递减区间为 .
(Ⅲ) g ( x) ? f ( x) ?

1 3 ? 2 x ? ln x , g ?( x) ? 2 ? . x x

(2 , 5) 设过点 的直线与曲线 g ( x) 相切于点 ( x0 , y0 ) ,
所以

y0 ? 5 1 2 ? g ?( x0 ) ,即 2 x0 ? ln x0 ? 5 ? (2+ )( x0 ? 2) .所以 ln x0 ? ? 2 ? 0 . x0 ? 2 x0 x0
2 1 2 ? 2 , h?( x ) ? ? 2 ,由 h?( x) ? 0 ,得 x ? 2 , h?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 2 . x x x

令 h( x ) ? ln x ?

(0 , 2) (2 , +?) 所以 h( x) 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增.
2 因为 h( ) ? 2 ? ln 2 ? 0 , h(2) ? ln 2 ? 1 ? 0 , h(e ) ?

1 2

2 ?0, e2

所以 h( x) 与 x 轴有两个交点,即方程 ln x0 ?

2 ? 2 ? 0 有两个实根. x0
………………………..14 分

(2 , 5) 所以过点 可作两条直线与曲线 y ? g ( x ) 相切.
(19) (共 13 分) 解: (Ⅰ)由已知离心率 e ?

c 1 ? , a 2

又△ MF 1F 2 的周长等于 2a ? 2c ? 6 , 解得 a ? 2 , c ? 1 .所以 b2 ? 3 . 所以椭圆 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1. 4 3
7

………………………..5分

(Ⅱ)设点 M 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则

x0 2 y0 2 ? ?1 . 4 3

由于圆 M 与 l 有公共点,所以 M 到 l 的距离 4 ? x0 小于或等于圆的半径 r .
2 2 2 因为 r ? MF1 ? ( x0 +1) ? y0 , 2

所以 (4 ? x0 ) ? ( x0 ? 1) ? y0 ,即 y0 ? 10x0 ?15 ? 0 .
2 2 2 2

又因为 y0 2 ? 3(1 ?
2

3x 2 x0 2 ) ,所以 3 ? 0 ? 10 x0 ? 15 ? 0 . 4 4
4 ? x0 ? 12 .又 ?2 ? x0 ? 2 , 3

整理得 3x0 ? 40 x0 +48 ? 0 ,解得 所以

4 ? x0 ? 2 .所以 0 ? y0 ? 15 . 3 3 1 y0 F1 F2 ? y0 , 2
………………..13分

因为△ MF1F2 面积 = 当 y0 ?

15 15 时,△ MF1F2 面积有最大值 . 3 3

(20) (共 13 分)

7 5+d ) ? 4(5 ? 3d ) , 解: (Ⅰ)设数列 ?an ? 的公差为 d ,则由 7a2 ? 4a4 ,得 (
解得 d ? 3 . 所以 an ? 3n ? 2 , n ? N . 因为 Sn ? ( , 2 bn ?1 ) 所以 Sn +1 =2 . ( bn?1 ?1 ) ②-①得 bn?1 ? 2bn?1 ? 2bn , 即 bn?1 ? 2bn . 由①得 b1 ? 2b1 ? 2 ,则 b1 ? 2 . 所以 ?bn ? 是首项为 2 ,公比为 2 的等比数列, 所以 bn ? 2 , n ? N .
n
? ?

① ②

………………………5 分

(Ⅱ)因为 cn ? ?

?3n ? 2 , n为奇数,
n ?2 ,

n为偶数,

8

所以数列 ?cn ? 错误!未找到引用源。的奇数项组成首项为 5 ,公差为 6 的等差数列; 数列错误!未找到引用源。的偶数项组成首项为 4 ,公比为 4 的等比数列. ① n 为偶数时,

4 1 n 1 n n 4(1 ? 4 ) 3 2 = n +n ? ? ? 2n + 2 ; Tn ? ? 5 ? ? ? ( ? 1) ? 6 ? 4 3 3 2 2 2 2 1? 4
② n 为奇数且 n ? 3 时,

n 2

3 4 1 Tn ? Tn?1 ? an = ( n ? 1) 2 +(n ? 1) ? ? ? 2 n ?1 +3n +2 4 3 3 3 5 5 1 = n 2 + n ? + ? 2 n ?1 . 4 2 12 3
经检验,当 n ? 1 时上式也成立.

4 1 ?3 2 n ? n ? ? ? 2n ? 2 , n为偶数, ? ?4 3 3 综上所述, Tn ? ? 3 5 ? n 2 + n ? 5 ? 1 ? 2n ?1 , n为奇数. ? 2 12 3 ?4
未找到引用源。 (Ⅲ)由 an ? 3n ? 2 , bn ? 2n ,可得 d1 ? 8 ? a2 ? b3 , d2 ? a10 ? b5 ? 32 . 假设 dn ? am ? bk ? 2k , 则 3m ? 2=2 .
k

………………………..9 分错误!

所以 bk ?1 ? 2k ?1 ? 2 ? 2k ? 2(3m ? 2) ? 3(2m ? 1) ? 1 ,不是数列 ?an ? 错误!未找到引用源。中的项;

bk +2 =2k ?2 ? 4 ? 2k ? 4(3m ? 2) =3(4m ? 2) ? 2 ,是数列错误!未找到引用源。中的第 4m ? 2 项.
所以 dn +1 =a4 m? 2 ? bk ?2 ? 2k ?2 , 从而

dn +1 2k ? 2 ? k ?4. dn 2

所 以 列.

?dn ?

错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 是 首 项 为 8 , 公 比 为 4 …………………13 分

的 等 比 数

9


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