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立体几何表面积与体积 关铭



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姓名 学科 阶段 李正才 数学 观察期□:第( 学生姓名 年级 )周 维护期□ 填写时间 教材版本 课时统计 2012人教版 第( 共( )课时 )课时 -

课题名称

空间几何体的表面积与体积
同步教学知识内容

上课时间

教学目标 个性化学习问题解决

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教学重点

了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用.

教学难点

表面积和体积计算公式的应用.

教学过程

课后作业 备注 提交时间 教研组长审批

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提出问题 ①在初中,我们已经学习了正方体和长方体的表面积,以及它们的展开图(图 1) ,你知道上述几何体 的展开图与其表面积的关系吗?

三. 【要点精讲】
1.多面体的面积和体积公式

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乐优·乐佳教育 考点一、空间几何体的表面积与体积

例 1 已知棱长为 a,各面均为等边三角形的四面体 S—ABC(图 6) ,求它的表面积.

图6

例 2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是 1∶2∶3, 对角线长为 2 14 , 则这个长方体的体积是

.

例 3.一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm,高是 (1)求三棱台的斜高; (2)求三棱台的侧面积和表面积.

3 cm, 2

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变式训练 1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为 r,圆柱侧面积为 S,求圆锥的侧面积.

2.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段,那么圆锥被分成的三部分的体积的比是( A.1∶2∶3 B.1∶7∶19 C.3∶4∶5 D.1∶9∶27



3.三棱锥 V—ABC 的中截面是△A1B1C1,则三棱锥 V—A1B1C1 与三棱锥 A—A1BC 的体积之比是( A.1∶2 B.1∶4 C.1∶6 D.1∶8



考点 2. 空间几何体的实际应用
例 1. 如图,一个圆台形花盆盆口直径为 20 cm,盆底直径为 15 cm, 底部渗水圆孔直径为 1.5 cm,盆 壁长为 15 cm.为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用 100 毫升油漆,涂 100 个这样的花盆需要 多少毫升油漆?(π 取 3.14,结果精确到 1 毫升,可用计算器)

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例 2.如图 9,有个水平放置圆台形容器,上、下底面半径分别为 2 分米,4 分米,高为 5 分米,现以每 秒 3 立方分米的速度往容器里面注水,当水面的高度为 3 分米时,求所用的时间.(精确到 0.01 秒)

图9

例 3.(2007 山东滨州一模,文 14)已知三棱锥 O—ABC 中,OA、OB、OC 两两垂直,OC=1,OA=x,OB=y, 且 x+y=4,则三棱锥体积的最大值是___________.

变式训练 1.有位油漆工用一把长度为 50 cm,横截面半径为 10 cm 的圆柱形刷子给一块面积为 10 m2 的木板涂油漆, 且圆柱形刷子以每秒 5 周的速度在木板上匀速滚动前进, 则油漆工完成任务所需的时间是多少( ? 精确到 0.01 秒)

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2. 有一堆规格相同的铁制(铁的密度是 7.8 g/cm3)六角螺帽(图 8)共重 5.8 kg,已知底面是正六边形,边 长为 12 mm,内孔直径为 10 mm,高为 10 mm,问这堆螺帽大约有多少个?(π 取 3.14)

图8

考点三、由三视图求表面积与体积
例 1 (2007 山东烟台高三期末统考,理 8)如图 11 所示,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为 全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为 1,那么这个几何体的体积为( )

图 11 A.1 B.

1 2

C.

1 3

D.

1 6

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例 2.如图所示,一个空间几何体的正视图、左视图是周长为 4,一个内角为 60°的菱形,俯视图是圆及其 圆心,那么这个几何体的表面积为 .

例 3. 图 17 所示的几何体是一棱长为 4 cm 的正方体, 若在它的各个面的中心位置上, 各打一个直径为 2 cm、 深为 1 cm 的圆柱形的孔,求打孔后几何体的表面积是多少?(π 取 3.14)

图 17

变式训练 1.(2007 山东泰安高三期末统考,理 8)若一个正三棱柱的三视图如图 13 所示,则这个正三棱柱的表面积 为( )

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图 13 A. 18 3 B. 15 3 C. 24 ? 8 3 D. 24 ? 16 3

2.(2007 山东潍坊高三期末统考,文 3)如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯 视图为一个半径为 1 的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为( ) A.

3? 3

B.

2 3? 3

C. 3?

D.

? 3

3.(2007 广东高考,文 17)已知某几何体的俯视图是如图 15 所示的矩形,正视图(或称主视图)是一个底 边长为 8、高为 4 的等腰三角形,侧视图(或称左视图)是一个底边长为 6、高为 4 的等腰三角形.

图 15 (1)求该几何体的体积 V; (2)求该几何体的侧面积 S.

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4. 图 18 所示是由 18 个边长为 1 cm 的小正方体拼成的几何体,求此几何体的表面积.

图 18

知能训练 1.正方体的表面积是 96,则正方体的体积是( A. 48 6 B.64

) C.16 D.96

2.(2007 山东临沂高三期末统考,文 2)如图 19 所示,圆锥的底面半径为 1,高为 3 ,则圆锥的表面积为 ( A.π ) B.2π C.3π D.4π

3.正三棱锥的底面边长为 3,侧棱长为 2 3 ,则这个正三棱锥的体积是(



A.

27 4

B.

9 4

C.

27 3 4

D.

9 3 4

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4.若圆柱的高扩大为原来的 4 倍,底面半径不变,则圆柱的体积扩大为原来的_________倍;若圆柱的高不 变,底面半径扩大为原来的 4 倍,则圆柱的体积扩大为原来的_________倍.

5.图 20 是一个正方体,H、G、F 分别是棱 AB、AD、AA1 的中点.现在沿△GFH 所在平面锯掉正方体的一 个角,问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几?

图 20

6.(2007 山东临沂高三期末考试,理 13)已知一圆锥的侧面展开图为半圆,且面积为 S,则圆锥的底面面 积是____________.

7.如图 22,一个正三棱柱容器,底面边长为 a,高为 2a,内装水若干,将容器放倒,把一个侧面作为底面, 如图 23,这时水面恰好为中截面,则图 22 中容器内水面的高度是_________.

图 22

图 23

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8.圆台的两个底面半径分别为 2、4,截得这个圆台的圆锥的高为 6,则这个圆台的体积是_____________.

9.已知某个几何体的三视图如图 24,根据图中标出的尺寸(单位:cm),可得这个几何体的体积是(



图 24 A.

4000 cm3 3

B.

8000 3 cm 3

C.2 000 cm3

D.4 000 cm3

球的表面积与体积
知识要点 1.球的体积与表面积

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例 1.若一个球的体积为 5,求他的表面积和体积

例 2. 如图 1 所示,圆柱的底面直径与高都等于球的直径,求证:

图1 (1)球的体积等于圆柱体积的

2 ; 3

(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.

例 3..已知正方体外接球的体积为

32 ? ,那么正方体的棱长等于 3

.

例 2 图 5 是一个底面直径为 20 cm 的装有一部分水的圆柱形玻璃杯,水中放着一个底面直径为 6 cm,高 为 20 cm 的一个圆锥形铅锤,当铅锤从水中取出后,杯里的水将下降几厘米?

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变式训练 1.如图 2(1)所示,表面积为 324π 的球,其内接正四棱柱的高是 14,求这个正四棱柱的表面积.

2.有一种空心钢球,质量为 142 g,测得外径(直径)等于 5 cm,求它的内径(钢的密度为 7.9 g/cm3,精确 到 0.1 cm).

3. 如图 3 所示,表示一个用鲜花做成的花柱,它的下面是一个直径为 1 m、高为 3 m 的圆柱形物体,上面 是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花 150 朵,那么装饰这个花柱大约需要多少朵鲜花(π 取 3.1)?

思路 2 例 1 (2006 广东高考, 12) 若棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上, 则该球的表面积为____________.

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变式训练 1.(2006 全国高考卷Ⅰ,理 7)已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 4,体积为 16,则这个球的表面 积是( ) A.16π B.20π C.24π D.32π

3.(2007 天津高考,理 12)一个长方体的各顶点均在同一球的球面上,且一个顶点上的三条棱的长分别为 1,2,3,则此球的表面积为___________.

变式训练 有一个轴截面为正三角形的圆锥容器,内放一个半径为 R 的内切球,然后将容器注满水,现把球从容 器中取出,水不损耗,且取出球后水面与圆锥底面平行形成一圆台体,问容器中水的高度为多少?

课后练习 1.三个球的半径之比为 1∶2∶3,那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的( A.1 倍 B.2 倍



9 C. 倍 5

7 D. 倍 4

2. (2006 安徽高考, 理 9) 表面积为 2 3 的正八面体的各个顶点都在同一个球面上, 则此球的体积为 (



A.

2? 3

B.

? 3

C.

2? 3

D.

2 2? 3

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3.(2007 北京西城抽样,文 11)若与球心距离为 4 的平面截球所得的截面圆的面积是 9π ,则球的表面积 是____________.

4.某街心花园有许多钢球(钢的密度是 7.9 g/cm3 ),每个钢球重 145 kg,并且外径等于 50 cm,试根据以上 数据,判断钢球是实心的还是空心的.如果是空心的,请你计算出它的内径(π 取 3.14,结果精确到 1 cm).

5.(2007 海南高考,文 11)已知三棱锥 S—ABC 的各顶点都在一个半径为 r 的球面上,球心 O 在 AB 上, SO⊥底面 ABC,AC= 2r ,则球的体积与三棱锥体积之比是( A.π B.2π C.3π ) D.4π

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