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江苏省数学竞赛提优教案:第49讲 四面体与球题目



第9讲 球等. 四面体与球 本节内容主要是四面体和球的性质与计算, 球与多面体的关系, 四面体的外接球与内切 A 类例题 长方体一个顶点上三条棱的长分别是 3,4,5,且它的八个顶点都在同一个球面上,这个球 的表面积是( ) A.20 2π (1997 年理) B.25 2π C.50π D.200π 分析:首先求出球的半径. 1 2 5 2 2 2 解: 易知球

的中心为长方体的中心, 长方体的对角为线球的直径, 故 R= 3 +4 +5 = , 2 2 ∴S=4π R =50π .学科王 答案:C 一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 ? ,则球的表面积为( (A)8 2π (B)8π (C)4 2π ) 2 (D)4π 学科王 (2005 年·河南河北山西安徽卷) 解:截面圆面积为 π ,∴截面圆半径 r ? 1 , ∴球的半径为 R= OO1 +r = 2,∴球的表面积为 8π . 2 2 答案:B 1 球面上有 3 个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 ,经过这 3 个点的小圆的周 6 长为 4π ,那么这个球的半径为( ) A.4 3 (1998 年理) B.2 3 C.2 D. 3 A H B C 分析:要弄清楚大圆半径与小圆半径的关系. 解:设 O 为大圆圆心,A,B,C 为满足条件的三个点. 1 由任意两点的球面距离都等于大圆周长的 知 6 ∠AOB=∠BOC=∠COA=60°. ∴△AOB,△BOC,△COA 都是正三角形.由⊙H 周长为 4π 知⊙H 的半径为 2, ∴AB=2 3.∴球的半径为 2 3. O 答案:B 情景再现 木星的体积约是地球体积的 240 30倍,则它的表面积约是地球表面积的( ) A.60 倍 2 B.60 30 倍 C.120 倍 D.120 30 倍 正方体的全面积是 a ,它的顶点都在球面上,这个球的表面积是( ) πa A. 3 2 πa B. 2 2 C.2π a2 D.3π a2 (1995 年全国理) 一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面, 球心到这个平面的距离是 4cm, 则该球的体积是 ( ) A. 100π 3 cm 3 B. 208π 3 cm 3 C. 500π 3 cm 3 D. 416 3π 3 cm 3 (2004 年高考·江苏卷) 矩形 ABCD 中, AB=4, BC=3, 沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B-AC-D, 则四面体 ABCD 的外接球的体积为( ) A. 125 π 12 B. 125 π 9 C. 125 π 6 D. 125 π 3 B 类例题 如图,A、B、C 是表面积为 48π 的球面上三点,AB=2,BC=4,∠ ABC=60°, O 为球心, 则直线 OA 与截面 ABC 所成的角是 ( A.arcsin C.arcsin 3 6 3 3 ) B.arccos D.arccos 3 6 3 3 (2004 年高考·福建卷) 分析:首先要求出球及截面圆的半径,然后分析 O 在截面 ABC 的射影 O′的位置. 解:由 AB=2,BC=4,∠ABC=60°知∠BAC=90°,∴BC 为截面圆的直径, ∴O 在截面 ABC 的射影 O′为 BC 中点,截面圆半径 r=2. 又球的表面积为 48π ,∴R=2 3.在等腰三角形△OBC 中 O 到 BC 距离为 2 2, 2 2 6 3 ∴sin∠OAO′=


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