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2015年02月03日博佳教育的高中数学组卷



2015 年 02 月 03 日博佳教育的高中数学组卷
一.选择题(共 5 小题) 1. (2014?重庆三模)在△ ABC 中,若 A.30° B.45° ,则∠ B 等于( C.60° ) D. ) D.90°

2. (2014?萧山区模拟)在锐角△ ABC 中,若 C=2B,则 的范围( A. B. C.(0,2)

3. (2014?鄂尔多斯模拟)在△ ABC 中,∠ A=60°,b=1,△ ABC 的面积为 ,则边 a 的值为( ) A. B. C. D.3 4. (2014?浙江模拟)△ ABC 中,A,B 为锐角,a,b,c 为其三边长,如果 asinA+bsinB=c,则∠ C 的大小 为( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 5. (2014?西城区二模)在△ ABC 中,若 a=4,b=3,cosA= ,则 B=( A. B. C. ) D.

二.填空题(共 2 小题) 6. (2015?邢台模拟) △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 已知 ac=b ﹣a , A=
2 2

, 则 B= _________ .

7. (2014?江苏)若△ ABC 的内角满足 sinA+ sinB=2sinC,则 cosC 的最小值是 _________ . 三.解答题(共 10 小题) 8. (2012?辽宁)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (Ⅰ )求 cosB 的值; (Ⅱ )边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值.

9.△ ABC 中,内角 A,B,C 成等差数列,其对边 a,b,c 满足 2b =3ac,求 A.

2

10. (2014?南阳三模)在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1, 公比为 q,且 b2+S2=12.q= (Ⅰ )求 an 与 bn; (Ⅱ )设数列{cn}满足 cn= ,求的{cn}的前 n 项和 Tn.

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11. (2014?惠州模拟)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn=log3(1﹣Sn+1) (n∈N ) ,求适合方程
*

*

的正整数 n 的值.

12. (2014?山东)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cosA= (Ⅰ )求 b 的值; (Ⅱ )求△ ABC 的面积.

,B=A+



13. (2014?浙江) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 a≠b, c= ﹣ sinBcosB. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 sinA= ,求△ ABC 的面积.

, cos A﹣cos B=

2

2

sinAcosA

14. (2014?广西)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3acosC=2ccosA,tanA= ,求 B.

15. (2014?兴安盟一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2c﹣a)cosB﹣bcosA=0. (Ⅰ )若 b=7,a+c=13 求此三角形的面积; (Ⅱ )求 sinA+sin(C﹣ )的取值范围.

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16. (2014?河南一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 (1)求 (2)若 ; ,求△ ABC 面积的最大值.



17. (2014?石景山区一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a<b<c, (Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ )若 a=2,b= ,求 c 边的长和△ ABC 的面积.

a=2bsinA.

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2015 年 02 月 03 日博佳教育的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共 5 小题) 1. (2014?重庆三模)在△ ABC 中,若 A.30° B.45° ,则∠ B 等于( C.60° ) D.90°

考点: 正弦定理. 专题: 计算题. 分析: 根据所给的等式和正弦定理,得到要求角的正弦和余弦相等,由根据这是一个三角形的内角得到角 的度数只能是 45°. 解答: 解:∵ ,
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又由正弦定理知



∴ sinB=cosB, ∵ B 是三角形的一个内角, ∴ B=45°, 故选 B. 点评: 本题考查正弦定理,是一个基础题,解题时注意当两个角的正弦值和余弦值相等时,一定要说清楚 这个角的范围,这样好确定角度. 2. (2014?萧山区模拟)在锐角△ ABC 中,若 C=2B,则 的范围( A. B. C.(0,2)

) D.

考点: 正弦定理;函数的值域. 专题: 计算题. 分析: 由正弦定理得 可. 解答: 解:由正弦定理得 即有 解得 ∴ < < 故选 A

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,再根据△ ABC 是锐角三角形,求出 B,cosB 的取值范围即

,∵ △ ABC 是锐角三角形,∴ 三个内角均为锐角, ,0<π﹣C﹣B=π﹣3B<

,又余弦函数在此范围内是减函数.故

<cosB<



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点评: 本题考查了二倍角公式、正弦定理的应用、三角函数的性质.易错点是 B 角的范围确定不准确. 3. (2014?鄂尔多斯模拟)在△ ABC 中,∠ A=60°,b=1,△ ABC 的面积为 A. B. C. ,则边 a 的值为( D.3 )

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 2 2 2 分析: 根据正弦定理的面积公式,结合题中数据算出边 c=4,再由余弦定理 a =b +c ﹣2bccosA 的式子算出 2 a =13,即可算出边 a 的长度. 解答: 解:∵ △ ABC 中,∠ A=60°,b=1,
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∴ 可得△ ABC 的面积为 S= bcsinA= ×1×c×sin60°= 解之得 c=4 根据余弦定理,得 a =b +c ﹣2bccosA=1+16﹣2×1×4×cos60°=13,所以 a= (舍负) 故选 C 点评: 本题给出三角形一边、一角和面积,求边 a 的长度.着重考查了正弦定理的面积公式和利用余弦定 理解三角形等知识,属于基础题. 4. (2014?浙江模拟)△ ABC 中,A,B 为锐角,a,b,c 为其三边长,如果 asinA+bsinB=c,则∠ C 的大小为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 考点: 正弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: 分情况讨论
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2

2

2

,和

时,asinA+bsinB=c 不成立,从而得出∠ C=90°.

解答: 解:由正弦定理可知, a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, (2R 是△ ABC 外接圆直径) ∵ asinA+bsinB=c, 2 2 ∴ 2Rsin A+2Rsin B=2RsinC, 2 2 即 sin A+sin B=sinC, ∵ A,B 为锐角, 若
2 2

,则 sinA>cosB,sinB>cosA,

∴ sin A+sin B>sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC, 这与 asinA+bsinB=c 矛盾, 同理 ∴ , 也不可能,

∴ ∠ C=90°. 故选:D. 点评: 本题考查三角函数相关知识以及正弦定理的应用,属于中档题.

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5. (2014?西城区二模)在△ ABC 中,若 a=4,b=3,cosA= ,则 B=( A. B. C.

) D.

考点: 正弦定理. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 先利用同角三角函数关系求得 sinA 的值,进而利用正弦定理求得 sinB 的值,最后求得 B. 解答: 解:∵ cosA= ,0<∠ A<π
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∴ sinA= ∵ = ,即

= =

= ,

∴ sinB= ∴ ∠ B= ∵ sinA= ∴ ∠ A> ∴ ∠ B= ∴ ∠ B=

, 或 > ,

与三角形内角和为 180°矛盾. ,

故选 A. 点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.解题的过程中注意对结果正负号的判断. 二.填空题(共 2 小题) 6. (2015?邢台模拟)△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 ac=b ﹣a ,A=
2 2

,则 B=



考点: 余弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 2 2 ac=b ﹣a ,A=
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,利用正弦定理可得 sinAsinC=sin B﹣sin A,又 C= =sin B﹣ ,化为 cosB+
2 2 2 2

2

2

,可得

sinB=4sin B﹣1,与 sin B+cos B=1 联立解出即可.

解答:

解:∵ ac=b ﹣a ,A=
2 2

2

2



∴ sinAsinC=sin B﹣sin A,

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∴ 化为

=sin B﹣ , =
2

2



化为 cosB+ sinB=4sin B﹣1, 2 2 又 sin B+cos B=1, 联立解得 ∴ B= . ,sinB= .

点评: 本题考查了正弦定理、三角形内角和定理、同角三角函数基本关系式,考查了推理能力与计算能力, 属于中档题.

7. (2014?江苏)若△ ABC 的内角满足 sinA+

sinB=2sinC,则 cosC 的最小值是



考点: 余弦定理;正弦定理. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: 根据正弦定理和余弦定理,利用基本不等式即可得到结论. 解答: 解:由正弦定理得 a+ b=2c,得 c= (a+ b) ,
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由余弦定理得 cosC=

=

=

= 当且仅当 故 故答案为:

≥ 时,取等号,

=



≤cosC<1,故 cosC 的最小值是 .



点评: 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用,利用基本不等式是解决本题的关键. 三.解答题(共 10 小题) 8. (2012?辽宁)在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.角 A,B,C 成等差数列. (Ⅰ )求 cosB 的值; (Ⅱ )边 a,b,c 成等比数列,求 sinAsinC 的值. 考点: 数列与三角函数的综合. 专题: 计算题;综合题. 分析: (Ⅰ )在△ ABC 中,由角 A,B,C 成等差数列可知 B=60°,从而可得 cosB 的值;
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(Ⅱ ) (解法一) ,由 b =ac,cosB= ,结合正弦定理可求得 sinAsinC 的值;

2

(解法二) ,由 b =ac,cosB= ,根据余弦定理 cosB= 等边三角形,从而可求得 sinAsinC 的值. 解答: 解: (Ⅰ )由 2B=A+C,A+B+C=180°,解得 B=60°, ∴ cosB= ;…6 分 (Ⅱ ) (解法一) 2 2 由已知 b =ac,根据正弦定理得 sin B=sinAsinC, 又 cosB= , ∴ sinAsinC=1﹣cos B= …12 分 (解法二) 由已知 b =ac 及 cosB= ,
2 2

2

可求得 a=c,从而可得△ ABC 为

根据余弦定理 cosB= ∴ B=A=C=60°, ∴ sinAsinC= …12 分

解得 a=c,

点评: 本题考查数列与三角函数的综合,着重考查等比数列的性质,考查正弦定理与余弦定理的应用,考 查分析转化与运算能力,属于中档题. 9.△ ABC 中,内角 A,B,C 成等差数列,其对边 a,b,c 满足 2b =3ac,求 A. 考点: 数列与三角函数的综合. 专题: 综合题;探究型. 分析: 由题设条件,可先由 A,B,C 成等差数列,及 A+B+C=π 得到 B=
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2

,及 A+C=

,再由正弦定

理将条件 2b =3ac 转化为角的正弦的关系, 结合 cos (A+C) =cosAcosC﹣sinAsinC 求得 cosAcosC=0, 从而解出 A 解答: 解:由 A,B,C 成等差数列,及 A+B+C=π 得 B= 由 2b =3ac 得 2sin B=3sinAsinC= , 所以 sinAsinC= 所以 cos(A+C)=cosAcosC﹣sinAsinC=cosAcosC﹣
2 2

2

,故有 A+C=

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即 cosAcosC﹣ =﹣ ,可得 cosAcosC=0 所以 cosA=0 或 cosC=0,即 A 是直角或 C 是直角 所以 A 是直角,或 A= 点评: 本题考查数列与三角函数的综合,涉及了三角形的内角和,两角和的余弦公式,正弦定理的作用边 角互化,解题的关键是熟练掌握等差数列的性质及三角函数的相关公式,本题考查了转化的思想, 有一定的探究性及综合性 10. (2014?南阳三模)在等差数列{an}中,a1=3,其前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}的各项均为正数,b1=1, 公比为 q,且 b2+S2=12.q= (Ⅰ )求 an 与 bn; (Ⅱ )设数列{cn}满足 cn= ,求的{cn}的前 n 项和 Tn.

考点: 等差数列与等比数列的综合;数列的求和. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ )根据条件列出关于公差和公比的方程组,解方程即可求出公差和公比,进而求出通项; (Ⅱ )对通项化简,利用裂项法求和,即可得到数列的前 n 项和. 解答: 解: (Ⅰ )设{an}的公差为 d,
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因为
2

所以 b2+b2q=12,即 q+q =12, ∴ q=3 或 q=﹣4(舍) , b2=3,s2=9,a2=6,d=3. 故 an=3+3(n﹣1)=3n, (Ⅱ )因为 所以:cn= 故 Tn= = . , , .

点评: 本题考查数列的通项与求和,考查等差数列与等比数列的综合,考查裂项法求数列的和,属于中档 题. 11. (2014?惠州模拟)已知数列{an}的前 n 项和是 Sn,且 Sn+ an=1(n∈N ) . (1)求数列{an}的通项公式;
*

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(2)设 bn=log3(1﹣Sn+1) (n∈N ) ,求适合方程

*

的正整数 n 的值.

考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (1)由 S ,得
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(n≥2) ,两式相减得 an 与 an﹣1 的递推式,由递推式易

判断数列{an}为等比数列,从而可求 an; (2)由(1)易求得 1﹣Sn+1,进而可求 bn,利用裂项相消法可求得 而可把方程变为关于 n 的方程,解出即可; 解答: 解: (1)由 S 两式相减得,an+ 由S 得 ﹣ ,得 =0(n≥2) ,即 =1,即 =1,解得 , (n≥2) , (n≥2) , ,从

所以数列{an}各项均不为 0,且是以 为首项、 为公比的等比数列, 所以 an= (2)由(1)知, 所以 b 则 所以 所以方程 故适合方程 = = = ; ,即 1﹣Sn+1= =﹣(n+1) , = + 即 +…+ = , = , = ,

,解得 n=100,

的正整数 n 的值为 100.

点评: 本题考查由数列递推公式求通项公式,考查等比数列及用列项相消法进行数列求和,熟练掌握 an 与 Sn 间的关系是解决本题的关键. 12. (2014?山东)△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a=3,cosA= (Ⅰ )求 b 的值; (Ⅱ )求△ ABC 的面积. 考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )利用 cosA 求得 sinA,进而利用 A 和 B 的关系求得 sinB,最后利用正弦定理求得 b 的值.
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,B=A+



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(Ⅱ )利用 sinB,求得 cosB 的值,进而根两角和公式求得 sinC 的值,最后利用三角形面积公式求得 答案. 解答: 解: (Ⅰ )∵ cosA= ∴ sinA= ∵ B=A+ . )=cosA= = × =3 , . , = , ,

∴ sinB=sin(A+ 由正弦定理知 ∴ b= ?sinB=

(Ⅱ )∵ sinB= ∴ cosB=﹣

,B=A+ =﹣ ,



sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB= ∴ S= a?b?sinC= ×3×3 × = .

×(﹣

)+

×

= ,

点评: 本题主要考查了正弦定理的应用.解题过程中结合了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用, 注重了基础知识的综合运用. 13. (2014?浙江) 在△ ABC 中, 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c. 已知 a≠b, c= ﹣ sinBcosB. (Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 sinA= ,求△ ABC 的面积. , cos A﹣cos B=
2 2

sinAcosA

考点: 正弦定理;二倍角的正弦;二倍角的余弦. 专题: 解三角形. 分析: (Ⅰ )△ ABC 中,由条件利用二倍角公式化简可得﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2 (A﹣B) . 求得 tan(A+B)的值,可得 A+B 的值,从而求得 C 的值.
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?cos(A+B)sin

(Ⅱ )由 sinA=

求得 cosA 的值.再由正弦定理求得 a,再求得 sinB=sin[(A+B)﹣A]的值,从而 的值. ,cos A﹣cos B= sin2B,
2 2

求得△ ABC 的面积为 解答: 解: (Ⅰ )∵ △ ABC 中,a≠b,c= ∴ ﹣ =

sinAcosA﹣

sinBcosB,

sin2A﹣

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即 cos2A﹣cos2B= sin2A﹣ sin2B,即﹣2sin(A+B)sin(A﹣B)=2 B) . ∵ a≠b,∴ A≠B,sin(A﹣B)≠0, ∴ tan(A+B)=﹣ (Ⅱ )∵ sinA= < 由正弦定理可得, ,∴ A+B= ,C= = ,∴ C= . (舍去) ,∴ cosA=

?cos(A+B)sin(A﹣

,∴ A< ,即

,或 A> =

= .

,∴ a= .

∴ sinB=sin[(A+B)﹣A]=sin(A+B)cosA﹣cos(A+B)sinA= ∴ △ ABC 的面积为 = × = .

﹣(﹣ )× =



点评: 本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用,属于中档题. 14. (2014?广西)△ ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,已知 3acosC=2ccosA,tanA= ,求 B.

考点: 正弦定理的应用;三角函数中的恒等变换应用. 专题: 解三角形. 分析: 由 3acosC=2ccosA,利用正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA,再利用同角的三角函数基本关系式可 得 tanC,利用 tanB=tan[π﹣(A+B)]=﹣tan(A+B)即可得出. 解答: 解:∵ 3acosC=2ccosA, 由正弦定理可得 3sinAcosC=2sinCcosA, ∴ 3tanA=2tanC,
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∵ tanA= , ∴ 2tanC=3× =1,解得 tanC= .

∴ tanB=tan[π﹣(A+C)]=﹣tan(A+C)=﹣ ∵ B∈(0,π) , ∴ B=

=﹣

=﹣1,

点评: 本题考查了正弦定理、同角的三角函数基本关系式、两角和差的正切公式、诱导公式等基础知识与 基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于中档题. 15. (2014?兴安盟一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2c﹣a)cosB﹣bcosA=0. (Ⅰ )若 b=7,a+c=13 求此三角形的面积; (Ⅱ )求 sinA+sin(C﹣ )的取值范围.

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考点: 正弦定理;同角三角函数基本关系的运用. 专题: 计算题. 分析: 利用正弦定理化简已知条件,根据三角形的内角和定理及诱导公式化简,由 sinC 不为 0,得到 cosB 的值,由 B 的范围,利用特殊角的三角函数值即可得到 B 的度数, (Ⅰ )根据余弦定理,由 b,cosB 和 a+c 的值,求出 ac 的值,然后利用三角形的面积公式,由 ac 的 值和 sinB 的值即可求出三角形 ABC 的面积; (Ⅱ )由求出的 B 的度数,根据三角形的内角和定理得到 A+C 的度数,用 A 表示出 C,代入已知的 等式,利用诱导公式及两角和的正弦函数公式化为一个角的正弦函数,根据 A 的范围求出这个角的 范围,由正弦函数的值域即可得到所求式子的取值范围. 解答: 解:由已知及正弦定理得: (2sinC﹣sinA)cosB﹣sinBcosA=0, 即 2sinCcosB﹣sin(A+B)=0, 在△ ABC 中,由 sin(A+B)=sinC 故 sinC(2cosB﹣1)=0, ∵ C∈(0,π) ,∴ sinC≠0, ∴ 2cosB﹣1=0,所以 B=60°(3 分)
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(Ⅰ )由 b =a +c ﹣2accos60°=(a+c) ﹣3ac, 2 2 即 7 =13 ﹣3ac,得 ac=40(5 分) 所以△ ABC 的面积 (Ⅱ )因为 = 又 A∈(0, 则 ) ,∴ )=2sin(A+ ; (6 分) = , (10 分) , )∈(1,2].

2

2

2

2

sinA+sin(C﹣

点评: 此题考查学生灵活运用正弦定理及诱导公式化简求值,灵活运用三角形的面积公式及两角和的正弦 函数公式化简求值,掌握正弦函数的值域,是一道中档题. 16. (2014?河南一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 (1)求 (2)若 ; ,求△ ABC 面积的最大值.



考 正弦定理;三角函数中的恒等变换应用. 点: 专 解三角形. 题: 分 (1)根据三角函数的公式将 化简,即可得到结论; 析: (2)根据正弦定理以及三角形的面积公式即可得到结论.
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解 解: (1) 答: ∵ . (2)由 a =b +c ﹣2bccos A 得: , ∴ bc ∵ ∴ sinA= ∴ △ ABC 的面积 S= ∴ △ ABC 面积的最大值为 . , . , .
2 2 2 2

=

点 本题主要考查三角公式的计算以及三角形面积的计算,利用正弦定理和余弦定理是解决本题的关键, 评:考查学生的计算能力. 17. (2014?石景山区一模)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a<b<c, (Ⅰ )求角 B 的大小; (Ⅱ )若 a=2,b= ,求 c 边的长和△ ABC 的面积. a=2bsinA.

考点: 正弦定理;余弦定理. 专题: 三角函数的求值. 分析: (Ⅰ )已知等式利用正弦定理化简,根据 sinA 不为 0 求出 sinB 的值,即可确定出角 B 的大小; (Ⅱ )由 a,b,cosB 的值,利用余弦定理求出 c 的值,再由 a,c,sinB 的值,利用三角形面积公式 即可求出△ ABC 的面积. 解答: 解: (Ⅰ )∵ a=2bsinA, ∴ sinA=2sinAsinB, ∵ 0<A<π,∴ sinA≠0,
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∴ sinB=



∵ 0<B<π,且 a<b<c, ∴ B=60°; (Ⅱ )∵ a=2,b= ,cosB= , ) =2 +c ﹣2×2×c× ,即 c ﹣2c﹣3=0,
2 2 2 2

∴ 由余弦定理得: (

解得:c=3 或 c=﹣1(舍) , ∴ c=3,

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则 S△ABC= acsinB= ×2×3×

=



点评: 此题考查了正弦、余弦定理,以及三角形的面积公式,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.

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