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高中数学【配套Word版文档】四.4.2同角三角函数的基本关系式及诱导公式


§ 4.2 同角三角函数的基本关系式及诱导公式 2014 高考会这样考 1.考查同角三角函数基本关系式和诱导公式;2.利用公式进行三角 函数的化简与求值. 复习备考要这样做 1.理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式,特别要对诱导公 式的口诀理解透彻;2.通过训练加强公式运用能力的培养,寻找化简求值中的规律.

1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. sin α (2)商数关系:tan α= . cos α 2.下列各角的终边与角 α 的终边的关系 2kπ+α 角 (k∈Z) 图示 与角 α 终边的 关系 角

π+α

-α

相同 π-α

关于原点对称 π -α 2

关于 x 轴对称 π +α 2

图示 与角 α 终边的 关系 3.六组诱导公式 组数 一 2kπ+α 角 (k∈Z) sin_α 正弦 cos_α 余弦 tan_α 正切 函数名不变 口诀 符号看象限 [难点正本 疑点清源]

关于 y 轴 对称 二 -α -sin_α cos_α -tan_α 函数名改变 符号看象限

关于直线 y=x 对称 三 π-α sin_α -cos_α -tan_α 四 π+α -sin_α -cos_α tan_α 五 π -α 2 cos_α sin_α 六 π +α 2 cos_α -sin_α

1.同角三角函数关系式 (1)利用平方关系解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要根据角 α 的范围进行确 定. (2)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系,它为三角 函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法. 2.诱导公式

π 诱导公式可概括为 k·± α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式.记忆规律是奇变偶不变,符 2 π 号看象限.其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍,变与不变是指函数名称的变化. 2

3π 1.(2011· 大纲全国)已知 α∈?π, 2 ?,tan α=2,则 cos α=________. ? ? 答案 - 5 5

sin α 解析 ∵tan α=2,∴ =2,∴sin α=2cos α. cos α 1 又 sin2α+cos2α=1,∴(2cos α)2+cos2α=1,∴cos2α= . 5 3π? 5 又∵α∈?π, 2 ?,∴cos α=- . ? 5 2sin α-cos α 2.若 tan α=2,则 的值为________. sin α+2cos α 3 答案 4 2tan α-1 3 解析 原式= = . tan α+2 4 1 3.已知 α 是第二象限的角,tan α=- ,则 cos α=________. 2 2 5 答案 - 5 解析 ∵α 是第二象限的角,∴cos α<0. sin α 1 2 5 又 sin2α+cos2α=1,tan α= =- ,∴cos α=- . cos α 2 5 4 4 5 4.sin π· cos π· ?-3π?的值是________. tan? ? 3 6 3 3 答案 - 4 π π π 解析 原式=sin?π+3?· ?π-6?· ?-π-3? ? ? cos? ? tan? ? π? ? π? ? π? =?-sin 3?·-cos 6?·-tan 3? ? ? ? 3 3 3 3 =?- ?×?- ?×(- 3)=- . 4 ? 2? ? 2? π 2π 2 5.已知 cos?6-α?= ,则 sin?α- 3 ?=________. ? ? 3 ? ? 2 答案 - 3 2π π π 解析 sin?α- 3 ?=sin?-2-?6-α?? ? ?? ? ? ? π ?π =-sin?2+?6-α?? ?? ? π 2 =-cos?6-α?=- . ? ? 3 题型一 同角三角函数基本关系式的应用

1 已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值. 1 思维启迪:由 sin A+cos A= 及 sin2A+cos2A=1,可求 sin A,cos A 的值. 5 1 解 (1)∵sin A+cos A= ① 5 1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A= , 25 12 ∴sin Acos A=- . 25 12 (2)由 sin Acos A=- <0,且 0<A<π, 25 可知 cos A<0,∴A 为钝角,∴△ABC 是钝角三角形. 24 49 (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+ = , 25 25 又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A= .② 5 4 3 ∴由①,②可得 sin A= ,cos A=- , 5 5 4 5 sin A 4 ∴tan A= = =- . cos A 3 3 - 5 探究提高 (1)对于 sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α 这三个式子,已知其中一个式 子的值,其余二式的值可求.转化的公式为(sin α± α)2=1± cos 2sin αcos α;(2)关于 sin α,cos α 的齐次式,往往化为关于 tan α 的式子. 例1 (1)已知 tan α=2,求 sin2α+sin αcos α-2cos2α; (2)已知 sin α=2sin β,tan α=3tan β,求 cos α. 解 (1)sin2α+sin αcos α-2cos2α sin2α+sin αcos α-2cos2α = sin2α+cos2α 2 tan α+tan α-2 4 = = . 5 tan2α+1 (2)∵sin α=2sin β,tan α=3tan β, ∴sin2α=4sin2β,① tan2α=9tan2β,② 由①÷ ②得:9cos2α=4cos2β,③ ①+③得:sin2α+9cos2α=4, 3 6 ∵cos2α+sin2α=1,∴cos2α= ,即 cos α=± . 8 4 题型二 三角函数的诱导公式的应用 π 5π 3 (1)已知 cos?6+α?= ,求 cos? 6 -α?的值; ? ? 3 ? ? 3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π)=- , 5 7 ? 求 sin(3π+α)· ?α-2π?的值. tan? 例2

π π 5π 思维启迪:(1)将 +α 看作一个整体,观察 +α 与 -α 的关系. 6 6 6 (2)先化简已知,求出 cos α 的值,然后化简结论并代入求值. π 5π 解 (1)∵?6+α?+? 6 -α?=π, ? ? ? ? π 5π ∴ -α=π-?6+α?. ? ? 6 5π ? π ∴cos? 6 -α?=cos?π-?6+α?? ? ? ? ?? π 3 =-cos?6+α?=- , ? ? 3 5π 3 即 cos? 6 -α?=- . ? ? 3 (2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α) 3 =cos(π-α)=-cos α=- , 5 3 ∴cos α= . 5 7 ∴sin(3π+α)· ?α-2π? tan? ? 7 ? =sin(π+α)·-tan?2π-α?? ? ? ?? π =sin α· ?2-α? tan? ? π sin?2-α? ? ? =sin α· π cos?2-α? ? ? cos α 3 =sin α· =cos α= . sin α 5 探究提高 熟练运用诱导公式和基本关系式,并确定相应三角函数值的符号是解题的关 键.另外,切化弦是常用的规律技巧. 3π tan?π+α?cos?2π+α?sin?α- 2 ? ? ? (1)化简: ; cos?-α-3π?sin?-3π-α? sin?π-x?cos?2π-x?tan?-x+π? 31π (2)已知 f(x)= ,求 f?- 3 ?的值. ? ? π ? cos?-2+x? ? π tan αcos αsin?-2π+?α+2?? ? ? ?? 解 (1)原式= cos?3π+α?[-sin?3π+α?] π tan αcos αsin?2+α? ? ? tan αcos αcos α = = ?-cos α?sin α ?-cos α?sin α tan αcos α sin α cos α =- =- · =-1. sin α cos α sin α sin x· x· cos ?-tan x? (2)∵f(x)= sin x =-cos x· x=-sin x, tan 31π? 31π 31π ∴f?- 3 ?=-sin?- 3 ?=sin ? ? ? 3 π π 3 =sin?10π+3?=sin = . ? ? 3 2

题型三 三角函数式的化简与求值 1 1 例 3 (1)已知 tan α= ,求 的值; 3 2sin αcos α+cos2α 3π tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ? (2)化简: . cos?-α-π?sin?-π-α? 思维启迪:三角函数式的化简与求值,都是按照从繁到简的形式进行转化,要认真观察 式子的规律,使用恰当的公式. 1 解 (1)因为 tan α= , 3 sin2α+cos2α 1 所以 2 = 2sin αcos α+cos α 2sin αcos α+cos2α tan2α+1 2 = = . 2tan α+1 3 π -tan α· cos?-α?· ?-α-2? sin? ? (2)原式= cos?π-α?· sin?π-α? π? sin α cos tan α· α· ?α+2? cos α· α cos sin? = = =-1. -cos α· α sin -sin α 探究提高 在三角变换中,要注意寻找式子中的角,函数式子的特点和联系,可以切化 弦,约分或抵消,减少函数种类,对式子进行化简. π 5 已知 sin?α+2?=- ,α∈(0,π), ? ? 5 π α π α cos2?4+2?-cos2?4-2? ? ? ? ? 求 的值. sin?π-α?+cos?3π+α? π 5 解 ∵sin?α+2?=- , ? ? 5 5 2 5 ∴cos α=- ,又 α∈(0,π),∴sin α= . 5 5 π α π α cos2?4+2?-cos2?4-2? ? ? ? ? sin?π-α?+cos?3π+α? π α π α cos2?4+2?-sin2?4+2? ? ? ? ? = sin α-cos α



π cos?2+α? ? ?

sin α-cos α -sin α 2 = =- . 3 sin α-cos α

分类讨论思想在三角函数化简中的应用

典例:(14 分)化简:sin?

4n-1 ? ?4n+1 ? ? 4 π-α?+cos? 4 π-α? (n∈Z).

审题视角 (1)角中含有变量 n,因而需对 n 的奇偶分类讨论. (2)利用诱导公式,需将角写成符合公式的某种形式,这就需要将角中的某一部分作为一 个整体来看. 规范解答 解 当 n 为偶数时,设 n=2k (k∈Z),则[1 分] 8k-1 ? ?8k+1 ? 原式=sin? ? 4 π-α?+cos? 4 π-α? π π =sin?2kπ+?-4-α??+cos?2kπ+?4-α?? ? ? ?? ? ? ?? π π ? =sin?-4-α?+cos?4-α? ? ? ? π π π =-sin?4+α?+cos?2-?4+α?? ?? ? ? ? ? π π =-sin?4+α?+sin?4+α?=0.[6 分] ? ? ? ? 当 n 为奇数时,设 n=2k+1 (k∈Z),则[7 分] 8k+3 8k+5 ? 原式=sin? π-α?+cos? ? 4 ? ? 4 π-α? 3π 5π =sin?2kπ+? 4 -α??+cos?2kπ+? 4 -α?? ? ? ?? ? ? ?? 3π ? 5π ? =sin? 4 -α?+cos? 4 -α? ? ? π π =sin?π-?4+α??+cos?π+?4-α?? ? ? ?? ? ? ?? π ? π =sin?4+α?-cos?4-α? ? ? ? π ? π ?π =sin?4+α?-cos?2-?4+α?? ?? ? ? π ? π ? =sin?4+α?-sin?4+α?=0.[12 分] ? ? 4n-1 ? ?4n+1 ? 故 sin? ? 4 π-α?+cos? 4 π-α?=0.[14 分] 温馨提醒 (1)本题的化简过程,突出体现了分类讨论的思想,当然除了运用分类讨论的 思想将 n 分两类情况来讨论外,在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想. (2)在转化过程中,缺乏整体意识是出错的主要原 因.

方法与技巧 同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础,主要是变名、变式. 1. 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响, 尤其是利用平方关系在求 三角函数值时,进行开方时要根据角的象限或范围,判断符号后,正确取舍. 2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求值与化简时,常用方法有:(1)弦切互化法: sin x 主要利用公式 tan x= 化成正弦、 余弦函数; (2)和积转换法: 如利用(sin θ± θ)2=1± cos 2sin cos x θcos θ 的关系进行变形、转化;(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)= 1 π sin2θ?1+tan2θ?=tan =?. ? ? 4

失误与防范 1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数,其 步骤:去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定. 2.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号. 3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:62 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 35 分) π 1.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- ,则 sin α=________. 3 1 答案 2 π π 解析 因为 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,所以 α+β=2kπ+ (k∈Z).又 β=- , 2 3 5π 1 所以 α=2kπ+ (k∈Z),即得 sin α= . 6 2 2.cos(-2 013π)的值为________. 答案 -1 解析 cos(-2 013π)=cos(-2 014π+π)=cos π=-1. sin?π-α?· cos?2π-α? 25π 3.已知 f(α)= ,则 f?- 3 ?的值为________. ? ? cos?-π-α?· tan?π-α? 1 答案 2 sin αcos α 解析 ∵f(α)= =cos α, -cos α· ?-tan α? 25π 25π ∴f?- 3 ?=cos?- 3 ? ? ? ? ? π? π 1 =cos?8π+3?=cos = . ? 3 2 1 4.已知 α 为第二象限角,则 cos α 1+tan2α+sin α 1+ 2 =________. tan α 答案 0 sin2α cos2α 解析 原式=cos α 1+ 2 +sin α 1+ 2 cos α sin α 1 1 =cos α +sin α cos2α sin2α 1 1 =cos α× +sin α× =0. sin α -cos α 3π 1 5.如果 sin α= ,且 α 为第二象限角,则 sin? 2 +α?=________. ? ? 5 2 6 答案 5 1 解析 ∵sin α= ,且 α 为第二象限角, 5

∴cos α=- 1-sin2α=-

1 2 6 1- =- , 25 5

3π 2 6 ∴sin? 2 +α?=-cos α= . ? ? 5 π 7π 1 6.已知 sin?α+12?= ,则 cos?α+12?的值为________. ? ? 3 ? ? 1 答案 - 3 π 7π π 解析 cos?α+12?=cos??α+12?+2? ? ? ? ? ?? π 1 =-sin?α+12?=- . ? ? 3 3π? sin?α+ 2 ?· tan?α+π? ? 7. =________. sin?π-α? 答案 -1 cos α· α tan sin α 解析 原式=- =- =-1. sin α sin α 二、解答题(共 27 分) 2 8.(13 分)已知 sin θ+cos θ= (0<θ<π),求 tan θ 的值. 3 7 解 将已知等式两边平方,得 sin θcos θ=- , 18 π ∴ <θ<π, 2 4 ∴sin θ-cos θ= ?sin θ-cos θ?2= 1-2sin θcos θ= . 3

?sin θ+cos θ= 32, 解方程组? 4 ?sin θ-cos θ=3,
sin θ -9-4 2 ∴tan θ= = . cos θ 7

?sin θ= ? 得? ?cos θ= ?

2+4 , 6 2-4 , 6

cos?π+θ? cos?θ-2π? 1 9. 分)已知 sin(3π+θ)= , (14 求 + 的 3 3π? 3π cos θ[cos?π-θ?-1] sin?θ- 2 ?cos?θ-π?-sin? 2 +θ? ? ? ? 值. 1 1 ∵sin(3π+θ)=-sin θ= ,∴sin θ=- , 3 3 -cos θ ∴原式= cos θ?-cos θ-1? cos?2π-θ? + 3π ? -sin? 2 -θ?cos?π-θ?+cos θ ? 1 cos θ 1 1 = + = + 1+cos θ -cos2θ+cos θ 1+cos θ 1-cos θ 2 2 2 = = =18. 2 = sin2θ ? 1?2 1-cos θ - ? 3? 解 B 组 专项能力提升

(时间:35 分钟,满分:58 分) 一、填空题(每小题 5 分,共 30 分) π 2π 1 1.若 sin?6-α?= ,则 cos? 3 +2α?=________. ? ? 3 ? ? 7 答案 - 9 π π π 解析 ∵?3+α?+?6-α?= , ? ? ? ? 2 π ? π ?π ∴sin?6-α?=sin?2-?3+α?? ?? ? ? π 1 =cos?3+α?= . ? ? 3 2π π 7 则 cos? 3 +2α?=2cos2?3+α?-1=- . ? ? ? ? 9 1+sin α 1 cos α 2.已知 =- ,则 的值是________. cos α 2 sin α-1 1 答案 2 解析 由同角三角函数关系式 1-sin2α=cos2α 及题意可得 cos α≠0 且 1-sin α≠0, 1+sin α cos α cos α 1 ∴ = ,∴ =- , cos α 2 1-sin α 1-sin α cos α 1 即 = . sin α-1 2 3.若 cos α+2sin α=- 5,则 tan α=________. 答案 2 解析 由 cos α+2sin α=- 5可知,cos α≠0,两边同时除以 cos α 得 1+2tan α= 5 平方得(1+2tan α)2= 2 =5(1+tan2α), cos α ∴tan2α-4tan α+4=0,解得 tan α=2. π 1 4.若 sin(π+α)=- ,α∈?2,π?,则 cos α=________. ? ? 2 3 答案 - 2 1 解析 ∵sin(π+α)=-sin α,∴sin α= . 2 π ? 3 又 α∈?2,π?,∴cos α=- 1-sin2α=- . ? 2 5.已知 tan θ=2,则 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ=________. 4 答案 5 解析 sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ = 1 2 sin θ+sin θcos θ-2cos2θ = sin2θ+cos2θ 2 tan θ+tan θ-2 = tan2θ+1 4+2-2 4 = = . 5 4+1 - 5 , cos α

π 5π 2π 6.已知 cos?6-θ?=a (|a|≤1),则 cos? 6 +θ?+sin? 3 -θ?的值是________. ? ? ? ? ? ? 答案 0 5π π 解析 cos? 6 +θ?=cos?π-?6-θ?? ? ? ? ? ?? π ? =-cos?6-θ?=-a. ? 2π ? π π π sin? 3 -θ?=sin?2+?6-θ??=cos?6-θ?=a, ?? ? ? ? ? ? 5π ? 2π ? ∴cos? 6 +θ?+sin? 3 -θ?=0. ? ? 二、解答题(共 28 分) 7.(14 分)已知 A、B、C 是三角形的内角, 3sin A,-cos A 是方程 x2-x+2a=0 的两 根. (1)求角 A. 1+2sin Bcos B (2)若 =-3,求 tan B. cos2B-sin2B 解 (1)由已知可得, 3sin A-cos A=1① 又 sin2A+cos2A=1, ∴sin2A+( 3sin A-1)2=1, 即 4sin2A-2 3sin A=0, 3 π 2π 得 sin A=0(舍去)或 sin A= ,∴A= 或 , 2 3 3 π 2π 2 π 将 A= 或 代入①知 A= π 时不成立,∴A= . 3 3 3 3 1+2sin Bcos B (2)由 =-3, cos2B-sin2B 2 得 sin B-sin Bcos B-2cos2B=0, ∵cos B≠0,∴tan2B-tan B-2=0, ∴tan B=2 或 tan B=-1. ∵tan B=-1 使 cos2B-sin2B=0,舍去, 故 tan B=2. 3π 8. 分)已知 sin(3π-α)= 2cos? 2 +β?, 3cos(-α)=- 2cos(π+β), 0<α<π, (14 且 0<β<π, ? ? 求 α 和 β 的值. ① ?sin α= 2sin β, 由已知得? ? 3cos α= 2cos β. ② 2 2 ① +② 得 sin2α+3cos2α=2(sin2β+cos2β), 1 2 即 sin2α+3(1-sin2α)=2,得 sin2α= ,∴sin α=± . 2 2 2 π 3π ∵0<α<π,∴sin α= ,∴α= 或 α= . 2 4 4 π 3π 3 3 将 α= ,α= 代入②得 cos β= 或 cos β=- . 4 4 2 2 π 5π 又∵0<β<π,∴β= 或 β= . 6 6 π π 3π 5π ∴α= ,β= 或 α= ,β= . 4 6 4 6 解


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