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必修4第一章


勤志数学

第一章 三角函数
§ 1.1 任意角和弧度制
班级 一、选择题 1.若 α 是第一象限角,则下列各角中一定为第四象限角的是 (A) 90° -α (B) 90° +α (C)360° -α (D)180° +α ( (B){α|α=k· 180° +90° ,k∈ Z} (D){α|α=k· 90° ,k∈ Z} ( ) ) ( ) 姓名 学号 得分

2.终边与坐标轴重合的角 α 的集合是 (A){α|α=k· 360° ,k∈ Z} (C){α|α=k· 180° ,k∈ Z}

3.若角 α、β 的终边关于 y 轴对称,则 α、β 的关系一定是(其中 k∈ Z) (A) α+β=π (B) α-β=
? 2

(C) α-β=(2k+1)π

(D) α+β=(2k+1)π ( )

4.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为 (A)
? 3

(B)

2? 3

(C) 3

(D)2 ( )

5.将分针拨快 10 分钟,则分针转过的弧度数是 (A)
*

? 3

(B)-

? 3

(C)

? 6

(D)-

? 6

6.已知集合 A={第一象限角},B={锐角},C={小于 90° 的角},下列四个命题: ① A=B=C (A)0 个 ② A?C ③ C?A (B)2 个 ④ A∩C=B,其中正确的命题个数为 (C)3 个 (D)4 个 ( )

二.填空题 7.终边落在 x 轴负半轴的角 α 的集合为 是 8. .
23 πrad 化为角度应为 12

,终边在一、三象限的角平分线上的角 β 的集合

. 倍.

9.圆的半径变为原来的 3 倍,而所对弧长不变,则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的
*

10.若角 α 是第三象限角,则

? 角的终边在 2

,2α 角的终边在

.

三.解答题 11.试写出所有终边在直线 y ? ? 3x 上的角的集合,并指出上述集合中介于-1800 和 1800 之间的角.

- 1 -

勤志数学

12.已知 0° <θ<360° ,且 θ 角的 7 倍角的终边和 θ 角终边重合,求 θ.

13.已知扇形的周长为 20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时,才能使扇形的面积最大?最大面积是多 少?

*

14.如下图,圆周上点 A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知 A 点 1 分钟转过 θ(0<θ<π)角,2 分钟到达第 y

三象限,14 分钟后回到原来的位置,求 θ.

A O x

- 2 -

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§ 1.2.1.任意角的三角函数
班级 一.选择题 1.函数 y=
| sin x | cos x | tan x | + + 的值域是 sin x | cos x | tan x

姓名

学号

得分

( (C) {-1,3} (D){1,3} ( (D) 不确定 ( (C) 第三象限角 (D) 第四象限角 (

)

(A){-1,1}

(B){-1,1,3}

2.已知角 θ 的终边上有一点 P(-4a,3a)(a≠0),则 2sinθ+cosθ 的值是 (A)
2 5

)

(B) -

2 5

(C)

2 2 或 5 5

3.设 A 是第三象限角,且|sin (A) 第一象限角 4. sin2cos3tan4 的值 (A)大于 0

A A A |= -sin ,则 是 2 2 2

)

(B) 第二象限角

)

(B)小于 0

(C)等于 0

(D)不确定 ( )

5.在△ ABC 中,若 cosAcosBcosC<0,则△ ABC 是 (A)锐角三角形
*

(B)直角三角形
? 的终边在 2

(C)钝角三角形

(D)锐角或钝角三角形 ( )

6.已知|cosθ|=cosθ, |tanθ|= -tanθ,则 (A)第二、四象限 (C)第一、三象限或 x 轴上

(B)第一、三象限 (D)第二、四象限或 x 轴上

二.填空题 7.若 sinθ· cosθ>0, 则 θ 是第 8.求值:sin(象限的角; ; ;

23 13 13 π)+cos π· tan4π -cos π= 6 7 3

9.角 θ(0<θ<2π)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同,则 θ 的值为
*

10.设 M=sinθ+cosθ, -1<M<1,则角 θ 是第

象限角.

三.解答题 11.求函数 y=lg(2cosx+1)+ sin x 的定义域

- 3 -

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13 ?) 3 12.求: 的值. 19 cos(? ? ) ? cos 690? 6 sin 330?? tan(?

13.已知:P(-2,y)是角 θ 终边上一点,且 sinθ= -

5 ,求 cosθ 的值. 5

*

14.如果角 α∈(0,

? ),利用三角函数线,求证:sinα<α<tanα. 2

- 4 -

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§ 1.2.2 同角三角函数的基本关系式
班级 一、选择题
4 1.已知 sinα= ,且 α 为第二象限角,那么 tanα 的值等于 5

姓名

学号

得分

( (D) ?



(A)

4 3

(B) ?

4 3

(C)

3 4

3 4
( )

2.已知 sinαcosα= (A)
3 2

1 ? ? ,且 <α< ,则 cosα-sinα 的值为 4 2 8
(B)
3 4

(C) ?

3 2

(D)±

3 2

3.设是第二象限角,则 (A) 1 4.若 tanθ=
3 (A)± 10

sin ? 1 ? ?1 = cos ? sin 2 ?
(B)tan2α (C) - tan2α (D) ? 1

(

)

1 3 ,π<θ< π,则 sinθ· cosθ 的值为 2 3
(B)
3 10

( (C)
3 10



(D)±

3 10

5.已知

1 sin ? ? cos ? = ,则 tanα 的值是 2sin ? ? 3cos ? 5 8 8 (A)± (B) 3 3

( (C) ?
8 3



(D)无法确定 ( (D)等腰三角形 )

*

6.若 α 是三角形的一个内角,且 sinα+cosα= (A)钝角三角形 (B)锐角三角形

2 ,则三角形为 3
(C)直角三角形

二.填空题
1 7.已知 sinθ-cosθ= ,则 sin3θ-cos3θ= 2

; ; ; .

8.已知 tanα=2,则 2sin2α-3sinαcosα-2cos2α= 9.化简
*

1 ? cos ? 1 ? cos ? ? (α 为第四象限角)= 1 ? cos ? 1 ? cos ?

10.已知 cos (α+

? ? ? 1 )= ,0<α< ,则 sin(α+ )= 4 2 4 3

三.解答题 11.若 sinx=

? m?3 4 ? 2m ,cosx= ,x∈ ( ,π),求 tanx 2 m?5 m?5

- 5 -

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12.化简:

sin 2 x sin x ? cos x ? . sin x ? cos x tan 2 x ?1

13.求证:tan2θ-sin2θ=tan2θ· sin2θ.

*

14.已知:sinα=m(|m|≤1),求 cosα 和 tanα 的值.

- 6 -

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§ 1.3 三角函数的诱导公式
班级 一.选择题
4 1.已知 sin(π+α)= ,且 α 是第四象限角,则 cos(α-2π)的值是 5

姓名

学号

得分

( (D)



(A)-

3 5
1? k k
2

(B)

3 5
1? k k
2

(C)±

3 5
1? k k
2

4 5
( )
1? k k
2

2.若 cos100° = k,则 tan ( -80° )的值为 (A)- (B) (C) (D)-

3.在△ ABC 中,若最大角的正弦值是

(A)等边三角形 4.已知角 α 终边上有一点 P(3a,4a)(a≠0) ,则 sin(450° -α)的值是 (A)-
4 5

2 ,则△ ABC 必是 2 (B)直角三角形 (C)钝角三角形
3 5 3 (C)± 5

( (D)锐角三角形 ( (D)±
4 5





(B)-

5.设 A,B,C 是三角形的三个内角,下列关系恒等成立的是 (A)cos(A+B)=cosC
*

( (D)sin



(B)sin(A+B)=sinC

(C)tan(A+B)=tanC

C A? B =sin 2 2

? ? ? 4 6.下列三角函数:① sin(nπ+ π) ② cos(2nπ+ ) ③ sin(2nπ+ ) ④ cos[(2n+1)π- ] 6 3 6 3
⑤ sin[(2n+1)π-

?
3

](n∈ Z)其中函数值与 sin (B)① ③ ④

(A)① ② 二.填空题 7.

? 的值相同的是 3 (C)② ③ ⑤
.

( (D)① ③ ⑤



tan(?150?) ? cos(?570?) ? cos(?1140?) = tan(?210?) ? sin( ?690?)

8.sin2(

? ? -x)+sin2( +x)= 3 6
1 ? 2sin10? cos10? cos10? ? 1 ? cos 2 170?

.

9.化简
*

=

.

10.已知 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中 α、β、a、b 均为非零常数,且列命题:
15 ,则 f(2007) = 16

f(2006) = ? 三.解答题

.

tan(? ? ? ) ? sin 2(? ? ) ?cos(2 ? ? ?) 2 11.化简 . cos 3 ( ?? ? ? ) ? tan(? ? 2? )

?

- 7 -

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12. 设 f(θ)=

2 cos3 ? ? sin 2 (2? ? ? ) ? cos( ?? ) ? 3 ? , 求 f( )的值. 2 ? 2 cos 2 (? ? ? ) ? cos(2? ? ? ) 3

1 13.已知 cosα= ,cos(α+β)=1 求 cos(2α+β)的值. 3

*

14.是否存在角 α、β,α∈(-

? ? ? , ),β∈(0,π),使等式 sin(3π-α)= 2 cos( -β), 2 2 2

3 cos (-α)=

- 2 cos(π+β)同时成立?若存在,求出 α、β 的值;若不存在,请说明理由.

- 8 -

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§ 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象和性质
班级 一、选择题 1.下列说法只不正确的是 (A) 正弦函数、余弦函数的定义域是 R,值域是[-1,1]; (B) 余弦函数当且仅当 x=2kπ( k∈ Z) 时,取得最大值 1; (C) 余弦函数在[2kπ+ ( ) 姓名 学号 得分

? 3? ,2kπ+ ]( k∈ Z)上都是减函数; 2 2

(D) 余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k∈ Z)上都是减函数 2.函数 f(x)=sinx-|sinx|的值域为 (A) {0} (B) [-1,1] (C) [0,1] 3.若 a=sin460,b=cos460,c=cos360,则 a、b、c 的大小关系是 (A) c> a > b (B) a > b> c (C) a >c> b 4. 对于函数 y=sin(
13 π-x) ,下面说法中正确的是 2

( (D) [-2,0]

) ( )

(D) b> c> a ( )

(A) 函数是周期为 π 的奇函数 (C) 函数是周期为 2π 的奇函数

(B) 函数是周期为 π 的偶函数 (D) 函数是周期为 2π 的偶函数

5. 函 数 y=2cosx(0≤x≤2π) 的 图 象 和 直 线 y=2 围 成 一 个 封 闭 的 平 面 图 形 , 则 这 个 封 闭 图 形 的 面 积 是 ( (A) 4
*

) (B)8 (C)2π (D)4π ( )

6.为了使函数 y= sinωx(ω>0)在区间[0,1]是至少出现 50 次最大值,则的最小值是 (A)98π (B)
197 π 2

(C)

199 π 2

(D) 100π

二. 填空题 7.函数值 sin1,sin2,sin3,sin4 的大小顺序是 8.函数 y=cos(sinx)的奇偶性是 9. 函数 f(x)=lg(2sinx+1)+
*

. . ; .

2cos x ? 1 的定义域是

10.关于 x 的方程 cos2x+sinx-a=0 有实数解,则实数 a 的最小值是

三. 解答题
1 11.用“五点法”画出函数 y= sinx+2, x∈ [0,2π]的简图. 2

- 9 -

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12.已知函数 y= f(x)的定义域是[0,

1 ],求函数 y=f(sin2x) 的定义域. 4

13. 已知函数 f(x) =sin(2x+φ)为奇函数,求 φ 的值.

*

1 3 14.已知 y=a-bcos3x 的最大值为 ,最小值为 ? ,求实数 a 与 b 的值. 2 2

- 10 -

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§ 1.4.2 正切函数的性质和图象
班级 一、选择题 1.函数 y=tan (2x+ (A) π
? )的周期是 6

姓名

学号

得分

( (C) (D)

)

? 2 2.已知 a=tan1,b=tan2,c=tan3,则 a、b、c 的大小关系是 (A) a<b<c (B) c<b<a (C) b<c<a
(B)2π 3.在下列函数中,同时满足(1)在(0, (A) y=|tanx| 4.函数 y=lgtan

? 4
( )

(D) b<a<c ( )

? )上递增;(2)以 2π 为周期;(3)是奇函数的是 2
(C) y=tan

(B) y=cosx
x 的定义域是 2

1 x 2

(D) y=-tanx ( )

? ,k∈ Z} 4 (C) {x|2kπ<x<2kπ+π,k∈ Z}
(A){x|kπ<x<kπ+ 5.已知函数 y=tanωx 在((A)0<ω≤ 1
*

(B) {x|4kπ<x<4kπ+ (D)第一、三象限

? ,k∈ Z} 2

? ? , )内是单调减函数,则 ω 的取值范围是 2 2 (B) -1≤ω<0 (C) ω ≥1

( (D) ω≤ -1 (

)

6.如果 α、β∈( (A) α<β

? ,π)且 tanα<tanβ,那么必有 2
(B) α>β (C) α+β>
3? 2

)

(D) α+β<

3? 2

二.填空题 7.函数 y=2tan(

? x - )的定义域是 3 2

,周期是 ; ;

;

8.函数 y=tan2x-2tanx+3 的最小值是 9.函数 y=tan(
*

x ? + )的递增区间是 2 3

10.下列关于函数 y=tan2x 的叙述:① 直线 y=a(a∈ R)与曲线相邻两支交于 A、B 两点,则线段 AB 长为 π;②

直线 x=kπ+

k? ? ,(k∈ Z)都是曲线的对称轴;③ 曲线的对称中心是( ,0),(k∈ Z),正确的命题序号为 4 2

.

三. 解答题 11.不通过求值,比较下列各式的大小 (1)tan(-

? 3? )与 tan() 5 7

(2)tan(

7? ? )与 tan ( ) 8 16

- 11 -

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12.求函数 y=

tan x ? 1 的值域. tan x ? 1

x ? 13.求下列函数 y ? tan( ? ) 的周期和单调区间 2 3

*

14.已知 α、β∈ (

5? 3? ? ,π),且 tan(π+α)<tan( -β),求证: α+β< . 2 2 2

- 12 -

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§ 1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
班级 一、选择题 1.为了得到函数 y=cos(x+ (A) 向左平移 姓名 学号 得分

? ),x∈ R 的图象,只需把余弦曲线 y=cosx 上的所有的点 3
(B) 向右平移

(

)

? 个单位长度 3

? 个单位长度 3

1 (C) 向左平移 个单位长度 3

1 (D) 向右平移 个单位长度 3

2.函数 y=5sin(2x+θ)的图象关于 y 轴对称,则 θ= (A) 2kπ+

(

)

? (k∈Z) 6

(B) 2kπ+ π(k∈Z)

(C) kπ+

? (k∈Z) 2
2 1

(D) kπ+ π(k∈Z) y (
11? 12

3. 函数 y=2sin(ωx+φ),|φ|<
10 ? (A) ω= ,φ= 11 6

? 的图象如图所示,则 2
10 ? (B) ω= ,φ= 11 6

)

o -2

? (C) ω=2,φ= 6

? (D) ω=2,φ= 6

x

x

4.函数 y=cosx 的图象向左平移 图象解析式为
1 ? (A) y=3cos( x+ ) 2 3

1 ? 个单位,横坐标缩小到原来的 ,纵坐标扩大到原来的 3 倍,所得的函数 2 3

( (B) y=3cos(2x+

)

? ) 3

(C) y=3cos(2x+

2? ) 3

1 ? 1 (D) y= cos( x+ ) 2 6 3 7? 时,,ymin=-2.那么函数的解析 12

5.已知函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在同一周期内 ,当 x= 式为 (A) y=2sin(2x+
*

?
12

时,ymax=2;当 x= ( )

? ) 3

(B) y=2sin(

x ? - ) 2 6

(C) y=2sin(2x+

? ) 6

(D) y=2sin(2x-

? ) 3

6. 把函数 f(x) 的图象沿着直线 x+y=0 的方向向右下方平移 2 2 个单位 , 得到函数 y=sin3x 的图象,则 ) (A) f(x)=sin(3x+6)+2 (B) f(x)=sin(3x-6)-2 (C) f(x)=sin(3x+2)+2 (D) f(x)=sin(3x-2)-2

(

二. 填空题 7.函数 y=3sin(2x-5)的对称中心的坐标为 8.函数 y=cos( ; ; ;

? 2? x+ )的最小正周期是 4 3

9.函数 y=2sin(2x+
*

? )(x∈ [-π,0])的单调递减区间是 6

10.函数 y=sin2x 的图象向右平移 φ(φ>0)个单位,得到的图象恰好关于直线 x= .

? 对称,则 φ 的最小值 6



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三. 解答题 11.写出函数 y=4sin2x (x∈ R)的图像可以由函数 y=cosx 通过怎样的变换而得到.(至少写出两个顺序不同的变 换)

12.已知函数 log0.5(2sinx-1), (1)写出它的值域. (2)写出函数的单调区间. (3)判断它是否为周期函数?如果它是一个周期函数,写出它的最小正周期.

13.已知函数 y=2sin(

k x+5)周期不大于 1,求正整数 k 的最小值. 3

*

14. 已知 N(2, 2 )是函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的最高点,N 到相邻最低点的图象曲线与 x 轴交

于 A、B,其中 B 点的坐标(6,0),求此函数的解析表达式 .

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§ 1.6 三角函数模型的简单应用
班级 一、选择题 1.已知 A ,B ,C 是△ ABC 的三个内角, 且 sinA>sinB>sinC,则 (A) A>B>C (B) A<B<C
0

姓名

学号

得分 (
2
0 0

)

(C) A+B > ?
0

(D) B+C > ?

2

2.在平面直角坐标系中,已知两点 A(cos80 ,sin80 ),B(cos20 ,sin20 ),则|AB|的值是 (A) 1
2

(

)

(B)

2 2

(C)

3 2

(D) 1

3. 02 年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小 正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的锐角为 θ,大正方形的 面积为 1,小正方形的面积是 1 ,则 sin2θ-cos2θ 的值是
25

(

) (D) - 7

(A) 1

(B) 24

25

(C) 7

25

25

4.D、C、B 三点在地面同一直线上,DC=a,从 C、D 两点测得 A 点的仰角 分别是 α、 β(α>β),则 A 点离地面的高度等于 (A) a tan ? tan ? (B) a tan ? tan ?
tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

A

(

)
β

(C)

a tan ? a (D) tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? C

D

α

B

5.甲、 乙两人从直径为 2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙速 的两倍,乙绕池一周为止,若以 θ 表示乙在某时刻旋转角的弧度数, l 表示甲、乙两人的直线距离,则 l=f(θ)的 图象大致是 l
2r
? 2

2r

l

2r

l

(

)
2r

l

o π 2π θ o 2π 4π θ o π 2π θ -2r A B C D π I -2 I (安培)随时间 t(秒)变化的函数 I=Asin(ωt+φ)的图象如图 6.电流强度 o 所示,则当 t= 7 秒时的电流强度
120

π

θ

( (D)5

)

10
4 300

(A)0 二.填空题

(B)10

(C)-10

o1 -10 ; ;
300

x

t

7.三角形的内角 x 满足 2cos2x+1=0 则角 x=

8. 一个扇形的弧长和面积的数值都是 5,则这个扇形中心角的度数是 时记录的时间 t 与水深 y 的关系: t y 0 12 3 15.1 6 12.1 9 9.1 12 11.9 15 14.9 18 11.9 21 8.9 24 12.1

9. 设 y=f(t)是某港口水的深度 y(米)关于时间 t(小时)的函数,其中 0≤t≤24.下表是该港口某一天从 0 时至 24

经长期观察,函数 y=f(t)的图象可以近似地看成函数 y=k+Asin(ωt+φ)的图象.则一个能近似表示表中数 据间对应关系的函数是 钟后点 P 经过的弧长是 . . 10.直径为 10cm 的轮子有一长为 6cm 的弦,P 是该弦的中点,轮子以 5 弧度/秒的角速度旋转,则经过 5 秒

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三.解答题 11.以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现: 该商品的出厂价格是在 6 元基 础上按月份随正弦曲线波动的,已知 3 月份出厂价格最高为 8 元,7 月份出厂价格最低为 4 元;而该商品在商 店的销售价格是在 8 元基础上按月份也是随正弦曲线波动的.并已知 5 月份销售价最高为 10 元.9 月份销售 价最低为 6 元.假设某商店每月购进这种商品 m 件,且当月能售完,请估计哪个月盈利最大?并说明理由.

12.一个大风车的半径为 8 米,12 分钟旋转一周,它的最低点 离地面 2 米,求风车翼片的一个端点离地面距离 h(米)与时间 t(分钟)之间的函数关系式.
2m

8m

P
h

13.一铁棒欲通过如图所示的直角走廊,试回答下列问题: (1)证明棒长 L (θ)=
9 6 ; ? 5sin ? 5cos ?

1.2m

(2)当 θ∈(0, ? )时,作出上述函数的图象(可用计算器或计算机) ; 2

θ

1.8m (3)由(2)中的图象求 L (θ)的最小值; (4)解释(3)中所求得的 L 是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.

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数学必修(4)同步练习参考答案 §1.1 任意角和弧度制
一、CDDCBA 二、7.{x|x=k· 3600+1800, k∈ Z}, {x|x=k· 1800+450,k∈ Z} ; 8.-345° ; 9.
1 ; 3

10.第二或第四象限, 第一或第二象限或终边在 y 轴的正半轴上 三、11.{ α|α=k· 3600+1200 或 α=k· 3600+3000, k∈ Z} -60° 120° 12.由 7θ=θ+k· 360° ,得 θ=k· 60° (k∈ Z)∴ θ=60° ,120° ,180° ,240° ,300° 13.∵ l=20-2r,∴ S= lr= (20-2r)· r=-r2+10r=-(r-5)2+25 ∴ 当半径 r=5 cm 时,扇形的面积最大为 25 cm2,此时,α= =
3 2 l r 1 2 1 2

20 ? 2 ? 5 =2(rad) 5

14.A 点 2 分钟转过 2θ,且 π<2θ< π,14 分钟后回到原位,∴ 14θ=2kπ,
4 ? 3 2k? 5 ,且 <θ< π,∴θ= π 或 π 2 4 7 7 7

θ=

§ 1.2.1 任意角的三角函数
一、CCDBCD 二、7.一、三; 三、11.[2kπ, 2kπ,+ 13.∵sinθ= 8. 0 ; 9.
2? Z) ) ( k∈ 3
5 ? 或 π; 4 4

10.二、四
2 3 3

12. ?

2 5 5 5 ,∴ 角 θ 终边与单位圆的交点(cosθ,sinθ)=( ? ,) 5 5 5
2 5
5.

又∵P(-2, y)是角 θ 终边上一点, ∴ cosθ<0,∴ cosθ= -

14.略.

§ 1.2.2 同角三角函数的基本关系式
一、BCDBBA 二、7.
11 ; 16

8.0;

9. ?

2 2 2 ; 10. 3 sin?

三、11. ?

5 12
sin 2 x (sin x ? cos x) cos2 x sin 2 x(sin x ? cos x) ? (sin x ? cos x) ? cos2 x - = sin x ? cos x sin 2 x ? cos2 x sin 2 x ? cos2 x

12.原式=

=sinx+cosx 13.左边=tan2θ-sin2θ=
sin 2 ? cos2 ?

-sin2θ=sin2θ·

1 ? cos2 ? cos2 ?

=sin2θ·

sin 2 ?

cos2 ?

=sin2θ· tan2θ=右边

14.(1)当 m=0 时, α =kπ , k∈Z ,cosα =±1, tanα =0 (2)当|m|=1 时, α =kπ +

? , k∈Z ,cosα =0, tanα =0 不存在 2
m 1 ? m2

(3)当 0<|m|<1 时,若 α 在第一或第四象限,则 cosα = 1 ? m2 , tanα = 若 α 在第二或第三象限,则 cosα =- 1 ? m2 , tanα =m 1 ? m2

;

.

§ 1.3 三角函数的诱导公式

- 17 -

勤志数学

一、BBCCBC 二、7.
3 ; 2

8.1 ;

9.1 ;

10.

15 16

三、11. 1 12. f(θ)= ∴f(
(cos? ? 1)(2cos2 ? ? cos? ? 2) 2cos3 ? ? 1 ? cos2 ? ? cos? ? 3 = =cosθ-1 2cos2 ? ? cos? ? 2 2 ? 2cos2 ? ? cos?

1 ? ? )=cos -1=2 3 3

1 13.∵cos(α+β)=1, ∴α+β=2kπ, k∈Z. ∴cos(2α+β)= cos(α+α+β)= cos(π+α)=- cosα= - . 3

? ? 2 ,因为 α∈(- , ), 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? 所以 α= 或- ;回代②,注意到 β∈(0,π),均解出 β= ,于是存在 α= ,β= 或 α=- ,β= ,使两 4 4 4 4 6 6 6
14. 由已知条件得:sinα= 2 sinβ①,
3 cos α=- 2 cosβ②,两式推出 sinα= ?

等式同时成立。

§ 1.4.1 正弦函数、余弦函数的图象和性质
一、CDADDB 二、7.sin2>sin1>sin3>sin4; 三、11.略
1 1 1 ? ? 12.解 sin2x≤ ,即- ≤sinx≤ 得:kπ- ≤α≤kπ+ ( k∈ Z) 4 2 2 6 6

8.偶函数;

9. 2kπ-

? ? <α≤2kπ+ ,( k∈ Z); 10.-1. 6 3

13. φ= kπ ( k∈ Z)
? ?a ? | b |? 14.解:∵ 最大值为 a+|b|,最小值为 a-|b|∴? ? ?a ? | b |? ? ? 3 1 2∴ a= ,b=± 1 2 1 2

§ 1.4.2 正切函数的性质和图象
一、CCACBA.

5? ? ? 5? ,2kπ+ )(k∈ Z), 2π; 8. 2; 9.( 2kπ ? , 2kπ ? ) (k∈ Z); 3 3 3 3 三、11.(1)> (2) < 12. {y|y∈ R 且 y≠1};
二、7.(2kπ? 13. T= =2π; ?

10. ③ .

? ? x ? ? ? ? tan( ? ) ? 0 k? ? ? ? k? ? , k ? Z ? ? ? ? 2 3 2 3 2 由? 可得 ? ? k? ? ? ? x ? ? ? k ? ? ? , k ? Z ? k? ? ? ? x ? ? ? k ? ? ? , k ? Z ? ? 2 2 3 2 2 2 3 2 ? ?

? 2 x ? ∴ 可得函数 y= cot( ? ) 的递减区间为[2kπ- π,2kπ+ ) (k∈ Z) 3 2 3 3
14.∵ tan(π+α)<tan(
3 2

5? -β) 2

∴ tanα<tan( π-β),又∵ <α<π,
3 2 3 2

3 2

? 2

? 3 < π-β<π 2 2

∴ α 与 π-β 落在同一单调区间,∴ α< π-β,即 α+β< π

§ 1.5 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
一、ACABAB

- 18 -

勤志数学

二、(

k? 5 + ,0) ( k∈ Z); 2 2

8. 3;

9.[ ?

5? ? , ? ]; 6 3

10.

5? 12

三、11. (一)① 先由函数 y=cosx 的图象向右平移 变,纵坐标扩大到原来的 4 倍.

1 ? 个单位;② 纵坐标不变横坐标缩小到原来的 ;③ 横坐标不 2 2

(二)① 先由函数 y=cosx 的图象纵坐标不变横坐标缩小到原来的 1 ;② 向右平移 ? 个单位; ③ 横坐标不
2
4

变,纵坐标扩大到原来的 4 倍. 12.(1) (0,+ ∞); (2) ( 2k? ? 函数; 最小正周期 2? . 13.解:∵
2? ≤1,∴ k≥6π,最小正整数值为 19. k 3

?

? ? 5? Z)减区间; [2k? ? , 2k? ? ) ( k∈ Z)增区间; , 2k? ? ] ( k∈ 6 2 2 6

(3) 是周期

14.解:∵ N(2, 2 )是函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的一个最高点 ∴ A= 2 . ∵ N 到相邻最低点的图象曲线与 x 轴相交于 A、B,B 点坐标为(6,0) ∴ =|xB-xN|=4,∴ T=16.又∵ T=
7 4

2?

?

,∴ ω=

x x 2? ? = ∵ xN= A ? B T 2 8

∴ xA=2xN-xB=-2∴ A(-2,0)∴ y= 2 sin

? (x+2) 8

§ 1.6 三角函数模型的简单应用
一、ADDABA 二、7.

?
3



2? ; 3

8.

5 rad; 2

9. y=12+3sin

? x; 6

10.100cm;

三、11.解:设 y1 为进价, y 2 为售价,则 y1 ? 6 ? 2 sin( x ?

?

?

4

? 3? ) , y2 ? 8 ? 2 sin( x ? ) , 4 4 4

利润 y ? m { 8 ? 2 sin( x ?

?

4

3? ? ? ? ) ? [6 ? 2 sin( x ? )] }= 2m(1 ? 2 sin x) 4 4 4 4
y

所以当 x ? 6 时取到最大值 2m(1 ? 2 ) 即估计是六月份月盈利最大.. 12. 以最低点的切线为 x 轴,最低点为原点,建立直角坐标系。设 P(x(t), y(t))则 h(t)= y(t)+2,又设 P 的初始位置在最低点,即 y(0)=0, 在 Rt△O1PQ 中,∠OO1P=θ,cosθ= 而
8 ? y(t ) ,∴y(t)= -8cosθ+8, 8

O1 Q O P x

2? ? ? ? ? = ,∴θ= t ,∴y(t)= -8cos t +8, ∴h (t)= -8cos t +10 12 t 6 6 6

13. 略.

- 19 -


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