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2013级高二数学综合测试题(九)(选修2--3整册)


2013 级高二数学综合测试题(九)
(选修 2--3 整册) 姓名___________ 班级编号___________ 总分_______________

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求) 1.某学校教学大楼共 6 层,每层均有两个楼梯,则由一楼到 6 楼的不同走法有( D ) A.7 种 B.10 种 C.25 种 D.32 种 1 2.设随机变量 ξ~B(6, ),则 P(ξ=3)的值为( B ) 2 3 5 7 5 A. B. C. D. 16 16 16 8 1 n 2 3. 如果(x - ) 的展开式中, 只有第 4 项的二项式系数最大, 那么展开式中所有项的系数和是(B ) 2x 1 A.0 B. C.64 D.256 64 4.只用 1,2,3 三个数字组成一个四位数,规定这三个数字必须同时使用,且同一个数字不能相邻 出现,这样的四位数有( C ) A.6 个 B.9 个 C.18 个 D.36 个 5.下列说法: ①将一组数据中的每一个数都加上或都减去同一个常数后,方差不变; ^ ②设有一个回归方程y=3-5x,变量 x 增加一个单位时,y 平均增加 5 个单位; ③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系; ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K2=10.079,则其两个变量间有关系的可能性是 90%. 其中错误的个数是( C ) A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知随机变量 X 服从正态分布 N(3,1),且 P(2≤x≤4)=0.6826,则 P(X>4)=( B ) A.0.1588 B.0.1587 C.0.1586 D.0.1585 1 7.已知随机变量 X 的分布列 P(X=k)= k,k=1,2,3,?,则 P(2<X≤4)=( A ) 2 3 1 3 5 A. B. C. D. 16 16 32 42 8.设离散型随机变量 X 满足 E(X)=6,则 E[3(X-2)]=( A ) A.12 B.18 C.20 D.36 9.现有 10 张奖券,8 张 2 元的,2 张 5 元的,某人从中随机地、无放回地抽取 3 张,则此人得奖 金额的均值是( B ) A.6 B.7.8 C.9 D.12 a a a 1 2 2009 10.若(1-2x)2009=a0+a1x+?+a2009x2009(x∈R),则 + 2+?+ 2009的值为( C ) 2 2 2 A.2 B.0 C.-1 D.-2 选择题答题卡 题号 答案 二、 填空题: 本大题共 5 小题, 每小题 5 分, 共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号 的位置上. 答 ....... 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11. 5 个人站成一排,其中甲、乙两人不相邻的排法有________种(用数字作答).72 4 12.在(x+ 3y)20 的展开式中,系数为有理数的项共有________项.6 13.某射手射击一次,击中目标的概率是 0.8,他连续射击 3 次,且各次射击是否击中目标相互之 间没有影响,有下列结论: ①他第 3 次击中目标的概率是 0.8; ②他恰好击中目标 2 次的概率是 0.82×0.2; ③他至少击中 1 次目标的概率是 1-0.23. 其中正确结论的序号是________.①③ 14.某学校要从 5 名男生和 2 名女生中选出 2 人作为上海世博会志愿者.若用随机变量 ξ 表示选 4 出的志愿者中女生的人数,则数学期望 E(ξ)=________(结果用最简分数表示). 7 1 2 15.若随机变量 ξ~N(μ,σ ),其中正态分布曲线最高点的坐标为(10, ),则该随机变量方差为 2 2 ______. π 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 75 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(12 分)一个盒子里装有标号为 1,2,3,?,n 的 n(n>3,且 n∈N*)张标签,现随机地从盒子里无 1 放回地抽取两张标签,记 X 为这两张标签上的数字之和,若 X=3 的概率为 . 10 (1)求 n 的值; (2)求 X 的分布列. 2 解 (1)P(X=3)= , n?n-1? 2 1 ∴ = (n∈N*), n?n-1? 10 ∴n=5. (2)X 的值可以是 3,4,5,6,7,8,9. 1 2 1 P(X=3)= ,P(X=4)= = , 10 5×4 10 4 1 P(X=5)= = , 5×4 5 4 1 P(X=6)= = , 5×4 5 4 1 P(X=7)= = , 5×4 5 2 1 P(X=8)= = , 10 5×4 2 1 P(X=9)= = . 5×4 10 X 的分布列为 X 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 P 10 10 5 5 5 10 10 17. (12 分)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:吨)的频率分布直方图.

(1)求直方图中 x 的值; (2)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取 3 位居民(看作有放回的抽样),求月均用水量在 3 至 4 吨的居民数 X 的分布列和数学期望. 解 (1)依题意及频率分布直方图知,0.02+0.1+0.37+0.39+x=1,

解得 x=0.12. (2)由题意知,X~B(3,0.1),
3 因此 P(X=0)=C0 3×0.9 =0.729, 2 P(X=1)=C1 30.1×0.9 =0.243, 2 P(X=2)=C2 30.1 ×0.9=0.027, 3 P(X=3)=C3 30.1 =0.001.

故随机变量 X 的分布列为 X P 0 0.729 1 0.243 2 0.027 3 0.001

X 的数学期望为 E(X)=3×0.1=0.3. 32 33 318 18. (12 分)设 an(n=2,3,4,?)是(3- x) 的展开式中 x 的一次项的系数,求 + +?+ 的值. a2 a3 a18 r 2 r - n-r 解 令 Tr+1=Cr (- x)r=(-1)r· 3n r· Cr ,令 =1,得 r=2,∴(3- x)n 的展开式中 x 的 n3 nx 2 n?n-1? - n-2 2 一次项的系数为 an=(-1)23n 2· C2 · Cn,又 C2 , n=3 n= 2 1 1 1 32 33 318 + 2+?+ 2 ? ∴ + +?+ =32×? C18? ?C2 a2 a3 a18 2 C3 2 2 2 =9×?2×1+3×2+?+18×17? ? ? 1 1 1 1 1 ?? ? ? ? ? ? =18×? ??1-2?+?2-3?+?+?17-18??
n

17 =18× =17. 18 19.(12 分) 若随机事件 A 在一次试验中,发生的概率为 P(0<P<1),用随机变量 ξ 表示 A 在一次 试验中发生的次数. (1)求方差 D(ξ)的最大值; 解 2D?ξ?-1 (2)求 的最大值. E?ξ?

随机变量 ξ 的所有可能取值为 0,1,并且有 P(ξ=1)=P,P(ξ=0)=1-P,

∴E(ξ)=1×P+(1-P)×0=P, D(ξ)=(0-P)2×(1-P)+(1-P)2×P=P-P2. 1 1 (1)D(ξ)=P-P2=-(P- )2+ , 2 4 1 1 ∴当 P= 时,D(ξ)取得最大值是 . 2 4 2D?ξ?-1 2?P-P2?-1 1 1 (2) = =2-2P- =2-(2P+ ), P P P E?ξ? ∵0<P<1, 1 ∴2P+ ≥2 2, P 1 2 当且仅当 2P= ,即 P= 时, P 2 1 2P+ 取得最小值 2 2. P 1 ∴2-(2P+ )≤2-2 2. 10 故,当 P= 2 时,取得最大值 2-2 2. 2

20.(13 分)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了 两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮料,另外 4 杯为 B 饮料,公 司要求此员工一一品尝后, 从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料. 若 4 杯都选对, 则月工资定为 3500 元;若 4 杯选 3 杯,则月工定为 2800 元;否则月工资为 2100 元.令 X 表示此人选对 A 饮料 的杯数.假设此人对 A 和 B 两种饮料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望. 解 (1)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4. 4-i Ci4C4 P(X=i)= 4 (i=0,1,2,3,4)即 C8 X 0 1 2 3 4 1 16 36 16 1 P 70 70 70 70 70 (2)令 y 表示此员工的月工资,则 y 的所有可能值为 2100,2800,3500. 1 则 P(y=3500)=P(X=4)= , 70

16 P(y=2800)=P(X=3)= , 70 53 P(y=2100)=P(X≤2)= , 70 1 16 53 Ey=3500× +2800× +2100× =2280. 70 70 70 所以此员工月工资的期望为 2280 元. 2 21.(14 分)某射手每次射击击中目标的概率是 ,且各次射击的结果互不影响. 3 (1)假设这名射手射击 5 次,求恰有 2 次击中目标的概率; (2)假设这名射手射击 5 次,求有 3 次连续击中目标,另外 2 次未击中目标的概率; (3)假设这名射手射击 3 次,每次射击击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分.在 3 次射击中, 若 2 次连续击中,而另外 1 次未击中,则额外加 1 分;若 3 次全击中,则额外加 3 分.记 ξ 为射 手射击 3 次后的总得分数,求 ξ 的分布列. 解 (1)设 X 为射手在 5 次射击中击中目标的次数,则 2 2 2 40 2 X~B(5, ),在 5 次射击中,恰有 2 次击中目标的概率 P(X=2)=C5 ×( )2(1- )3= . 3 3 3 243 (2)设“第 i 次射击击中目标”为事件 Ai(i=1,2,3,4,5);“射手在 5 次射击中,有 3 次连续击中 目标,另外 2 次未击中目标”为事件 A,则 P(A)=P(A1A2A3 A 4 A 5)+P( A 1A2A3A4 A 5)+P( A 2 1 1 2 1 1 2 8 =( )3×( )2+ ×( )3× +( )2×( )3= . 3 3 3 3 3 3 3 81 (3)由题意可知,ξ 的所有可能取值为 0,1,2,3,6. 1 1 P(ξ=0)=P( A 1 A 2 A 3)=( )3= ; 3 27 P(ξ=1)=P(A1 A 2 A 3)+P( A 1A2 A 3)+P( A 2 1 1 2 1 1 2 2 = ×( )2+ × × +( )2× = ; 3 3 3 3 3 3 3 9 2 1 2 4 P(ξ=2)=P(A1 A 2A3)= × × = ; 3 3 3 27 P(ξ=3)=P(A1A2 A 3)+P( A 1A2A3) 2 1 1 2 8 =( )2× + ×( )2= ; 3 3 3 3 27 P(ξ=6)=P(A1A2A3) 2 8 =( )3= . 3 27 所以 ξ 的分布列是 ξ 0 1 p 27
1 1

A 2A3A4A5)

A 2A3)

1 2 9

2 4 27

3 8 27

6 8 27


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