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第一讲 直线与方程



第一讲
一、直线的倾斜角

直线与方程
。特别地,

定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的 当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 值范围是 二、直线的斜率 ①定义:倾斜角不是 90°的直线,它的倾斜角的 。

。因此,倾斜角的取

叫做这条直线的斜率。<

br />
直线的斜率常用 k 表示。即 k ? tan ? 。斜率反映直线与轴的倾斜程度。 当 ? ? 0? ,90? 时,k
k 不存在。

?

?

0;

当 ? ? 90? ,180? 时,k

?

?

0; 当 ? ? 90? 时,

②过两点的直线的斜率公式: k ? 注意下面四点:

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

(1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可通过 ,也可由直线上两点的坐标直接求得;



(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 三、直线方程 ①点斜式: ,直线斜率 k,且过点 ?x1, y1 ? 。 。 。

注意:当直线的倾斜角为 0°时,k=0,直线的方程是

当直线的倾斜角为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程是 ②斜截式: ③两点式: ④截矩式: ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b。 , ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? 。

,其中直线 l 与 x 轴交于点 (a , 0) , 与 y 轴交于点

(0,b ) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C ? 0 (A,B 不全为 0)

1

四、典例解析 1、已知直线 l 的倾斜角为 ? ,且
2 sin ? ? cos ? 3 ? ,求直线 l 的斜率及倾斜角。 5 cos ? ? 3 sin ? 11

2、过点 P(-2, m ) ,Q( m ,4)的直线的倾斜角为 45°,求 m 的值。

3 、直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的斜率为 k ,在 y 轴上的截距为 b ,则 k =
b=



。 ; (2)若

4、经过点(2,1) ,求: (1)斜率为-2 的直线方程是 它的倾斜角为 0°,则它的方程为 则它的倾斜角为 ;此时直线斜率

; (3)若它的方程为 x ? 2 , 。 。纵截距

5 、已知直线方程为 9 x ? 4 y ? 36 ,则直线的横截距为 为 。

6、已知直线在 y 轴上的截距为-3,且过点 P(-2,1) ,求直线的方程。

7、一条直线 l 过点 P(-1,2) ,倾斜角为 135°,求直线 l 方程。

8、过 p1 (-1,-3) , p 2 (2,4)两点的直线的方程是 9、 过点 A (0, 1) 作一直线 l , 使它夹在直线 l1 :x ? 3 y ? 10 ? 0 和 l 2 :2 x ? y ? 8 ? 0 间的线段被 A 点平分,试求直线 l 的方程。

2

五、练习巩固 1、直线 3x ? y ? 1 ? 0 的倾斜角为( A ) C
2? 3

? 6

B

? 3

D

5? 6

2、经过点(-3,2) ,倾斜角为 60°的直线方程为( A. y ? 2 ? 3( x ? 3) B. y ? 2 ?
3 ( x ? 3) 3 3 ( x ? 3) 3



C. y ? 2 ? 3( x ? 3)

D. y ? 2 ?

3、在 x 轴上的截距是 2,在 y 轴上的截距是-2 的直线方程是 (用一般式表示) 4、经过两点(3,9)和(-1,1)的直线在 x 轴上的截距为

3? ,且和两条平行直线 l1: 3x ? 4 y ? 7 ? 0,l 2: 3x ? 4 y ? 8 ? 0 分 5、已知直线 l 过 P?2,
别相交于 A、B 两点,如果

AB ? 3 2

,求直线 l 的方程。

3



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