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高中数学必修五 数列的通项与求和



数列的通项与求和
一、数列的通项
练习:求下列数列的通项公式:
2 2 ,an ? 0 ; ① an ?1 ? an ? 4 ,且 a1 ? 1

② an?1 ?

an ? 2 ,且 a1 ? 1 ;

③ ? n ?1? an?1 ? nan ,且 a1 ? 1 ; ④ ? an?1

?1? ? 2 ? an ?1? ,且 a1 ? 1 . 1.叠加法

an?1 ? an ? f (n) ,且 f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) 比较好求.
【例题】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? n ,求数列 ?an ? 的通项公式.

★练习已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n ,求数列 ?an ? 的通项公式.

2.叠乘法

an?1 ? f (n)an ,且 f (1) ? f (2) ??? f (n) 比较好求.
【例题】在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , ? n ?1? an?1 ? nan ,则 ?an ? 的通项公式为.
n ★练习在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2 ? an ,则 ?an ? 的通项公式为.

3.待定系数法 形如 an ?1 ? qan ? p (q、p 为常数,q≠1 且 p≠0)的递推公式,可化为 an ?1 ? ? ? q(an ? ? ) , 构造出一个以 q 为公比的等比数列 ?an ? ?? ,然后化简用待定系数法求 λ,从而求出 a n .

,an?1 ? 2an ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式. 【例题】已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1

,an?1 ? 3an ? 4 ,求数列 ?an ? 的通项公式. ★练习已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1

二、数列的求和
1.错位相减法 主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 【例题】已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n ? 3 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .
n

★练习已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ?

2n ? 1 ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn . 2n

2.裂项相消法 (1) an ?
1 1 1 ? ? ; n(n ? 1) n n ? 1

(2) an ?

1 1?1 1 ? ? ? ? ; ? (k 为常数) n( n ? k ) k ? n n ? k ?

(3) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ]; n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) 1 n ? n ?1 ? n ?1 ? n .

(4) an ?

【例题】求数列 an ?

1 的前 n 项和 Sn . n?n ? 2?

★练习求数列 a n ? ln

n ?1 的前 n 项和 Sn . n

3.分组法 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个 等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 【例题】求数列 a n ?

1 2 n ?1

? 3n ? 2 的前 n 项和 Sn .

★练习求数列 ?n ? n ? 1?? 的前 n 项和 Sn .



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