9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2008--2009(10)解三角形及其应用



高中数学第一轮复习学案

三 角 函 数

第 04 讲

解三角形及应用问题

广东高考考试大纲说明的具体要求:
(1)掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题; (2)能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 (一)基础知识梳理: 1

.解三角形的主要依据: (1)勾股定理:在 RT△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,则 c2=_________________; (2)三角形的内角和定理:在△ABC 中,A+B+C=__________, 其中 A,B,C∈___________; (3)三角形的面积公式:S△=________=_________=_________; (4)正弦定理:在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,则_______________________; (5)余弦定理:在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,则 a2=___________________, b2=_____________ _________, c2=________________________; 2.解三角形的主要题型: 在△ABC 的六个边、角元素中,已知其中任意三个(至少有一个是边) ,就可以求出其他元素。 (1)已知两角一边:用________定理求解; (2)已知两边及一边的对角,求角:用________定理求解; (3)已知两边及一边的对角,求第三边:用________定理求解; (4)已知两边及其夹角,求第三边:用________定理求解; (5)已知三边:用________定理求解;

(二)典型例题分析:
题型一:基本题型, 知三求三 例 1: (2005 北京文)在△ABC 中,AC= 3 ,∠A=45° (1) ,∠C=75° ,则 BC 的长为 (2)(2008 陕西文) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 c ? 则a? . (3)在△ABC 中, a : b : c ? 3 : 5 : 7 ,则△ABC 的最大角是_________。 .

2,b ? 6,B ? 120? ,

基础训练(一) :
1.Δ ABC 中, a=2 , b=2 3 , ∠A=30°,则∠B 等于( ) A.60° B.60°或 120° C.30°或 150° D.120° 2.符合下列条件的三角形有且只有一个的是( A.a=1,b=2 ,c=3 C.a=1,b=2,∠A=100°
2 2 2



B.a=1,b= 2 ,∠A=30° D.b=c=1, ∠B=45° )
o o

3.在△ABC 中, a ? c ? b ? ab ,则角 C 为 ( (A) 30
o

(B) 60

o

(C) 120

o

(D) 45 或 135

4. (2006 江苏)在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= 5. (2006 全国Ⅱ卷理)已知△ABC 的三个内角 A、B、C 成等差数列,且 AB=1,BC=4,则边 BC 上的中 线 AD 的长为 .

北大附中广州实验学校

王生

Email: wangsheng@bdfzgz.net

高中数学第一轮复习学案

三 角 函 数

题型二:解三角形的综合应用:
例 2. 如图,在四边形 ABCD 中,已知 AD?CD, AD=10, AB=14, ?BDA=60?, ?BCD=135? 求 BC 的长.

基础训练(二) :
1. 在△ABC 中,bcosA=acosB,则△ABC 的形状是 ( ) (A)直角三角形 (B)锐角三角形 (C)等腰三角形 (D)等边三角形

2.(2008 四川文) ?ABC 的三内角 A, B, C 的对边边长分别为 a, b, c ,若 a ? (A)

5 b, A ? 2 B ,则 cos B ? ( ) 2

3.(2006 上海春招) 在△ ABC 中,已知 BC ? 8,

5 3

(B)

5 4

(C)

5 5

(D)

AC ? 5 ,三角形面积为 12,则 cos 2C ?

5 6

.

4. 在△ABC 中,三个内角成等差数列,相对应的三边成等比数列,判断这个三角形的形状,并证明你 的结论。

5.(2007 上海文、理) 在 △ABC 中, a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边.若 a ? 2,

C?

π, 4

cos

B 2 5 ? ,求 △ABC 的面积 S . 2 5

6.(2008 全国Ⅰ卷文)设 △ABC 的内角 A B,C 所对的边长分别为 a,b,c ,且 a cos B ? 3 , , b sin A ? 4 . (Ⅰ)求边长 a ; (Ⅱ)若 △ABC 的面积 S ? 10 ,求 △ABC 的周长 l .

北大附中广州实验学校

王生

Email: wangsheng@bdfzgz.net

高中数学第一轮复习学案

三 角 函 数

题型三:解三角形的实际应用:
例 3.(2007 海南、宁夏文、理)如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两 个侧点 C 与 D .现测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔 高 AB .

例 4.如图,当甲船位于 A 处时获悉,在其正东方向相距 20 海里的 B 处有一艘渔船遇险等待营救.甲船 立即前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西 15 ,相距 10 2 海里 C 处的乙船。试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往 B 处救援?
?

(说明:此题是依据 2006 上海文、理试题改编)

基础训练(三) :
1. 两灯塔 A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km), 灯塔 A 在 C 北偏东 30°,B 在 C 南偏东 60°,则 A,B 之间的相距 ( ) A.a (km) B. 3 a(km) C. 2 a(km) D.2a (km)

2.从某电视塔的正东方向的 A 点处,测得电视塔顶的仰角是 60°;从电视塔的正西偏南 30°的 B 处, 测得电视塔顶的仰角为 45°,A、B 间距离是 35m,则此电视塔的高度是_________米. 3.(2007 山东理)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航 行.当甲船位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105°方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120°方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里,问乙船每 小时航行多少海里?

北大附中广州实验学校

王生

Email: wangsheng@bdfzgz.net

高中数学第一轮复习学案 三 角 函 数 4.(2008 上海文、理)如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AOC.小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处, 小区里有两条笔直的小路 AD,DC ,且拐弯处的转角为 120 .已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用了 10 分 钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形的半径 OA 的长(精 确到 1 米) .
?

C

A
1200

O

5.如图,港口 B 在港口 O 正东方向 120 海里处,小岛 C 在港口 O 北偏东 60 、港口 B 北偏西 30 方向 上.一艘科学考察船从港口 O 出发,沿北偏东 30 的 OA 方向以 20 海里/小时的速度驶离港口 O.一艘 快船从港口 B 出发,以 60 海里/小时的速度驶向小岛 C,在 C 岛装运补给物资后给考察船送去,现两船 同时出发, 补给物资的装船时间要 1 小时, 问快艇驶离港口 B 后最少要经过多少时间才能和考察船相遇? 北
?

?

?

A

C

O

B



6..某观测站 C 在目标 A 的南偏西 25 方向,从 A 出发有一条南偏东 35 走向的公路,在 C 处测得与 C 相距 31km 的公路上 B 有一人正沿着此公路向 A 走去,走 20km 到达 D,此时测得 CD 距离为 21km, 求此人在 D 处距 A 还有多远?

o

o

北大附中广州实验学校

王生

Email: wangsheng@bdfzgz.net

高中数学第一轮复习学案

三 角 函 数

参考答案 第 04 讲 解三角形及应用问题

(二)典型例题分析:
题型一:基本题型, 知三求三 例 1: (1) 2 . (2) 2 . (3)__120°__。

基础训练(一) :
1. B. 2.D. 3.B. 4. 4 6 . 5. 3 .

题型二:解三角形的综合应用:
例 2. 解:在△ABD 中,设 BD=x , 则 BA ? BD ? AD ? 2BD ? AD ? cos ?BDA
2 2 2

即 14 ? x ? 10 ? 2 ? 10 x ? cos60
2 2 2

?

整理得: x ? 10 x ? 96 ? 0 解之: x1 ? 16 x 2 ? ?6 (舍去)
2

由余弦定理:

BC BD ? sin ?CDB sin ?BCD 16 BC ? ? sin 30 ? ? 8 2 ? sin135



基础训练(二) :
1.C. 2.B. 3.

7 . 25

4. 解:△ABC 为等边三角形。 O O 证明:由 A,B,C 成等差数列,得 A+C=2B,A+B+C=180 ,解得,B=60 , 2 又三边 a、b、c 成等比数列,所以 b =ac, 2 2 2 O 2 2 2 由余弦定理,得 b =a +c -2accos60 ,即 ac=a +c -ac, (a-c) =0,所以 a=c, 所以,△ABC 为等边三角形。

4 3 5. 解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5
? 3π ? 7 2 sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ?B?? , 10 ? 4 ? 10 1 1 10 4 8 由正弦定理得 c ? ,? S ? ac? B ? ? 2 ? ? ? . sin 2 2 7 5 7 7
6. 解: (1)由 b sin A ? 4 与 a cos B ? 3 两式相除,有:

4 b sin A sin A b sin B b sin B 2 2 ,又 sin B ? cos B ? 1 ? ? ? ? ? ? 3 a cos B a cos B b cos B cos B 3 4 由 a cos B ? 3 知: cos B ? 0 , 所以 cos B ? , sin B ? , 5 5 3 所以 a ? 3 ,解得 a ? 5 . 5
北大附中广州实验学校

王生

Email: wangsheng@bdfzgz.net

高中数学第一轮复习学案 (2)由 S ?

三 角 函 数

1 1 4 ac sin B = ? 5c ? =10,得到 c ? 5 . 2 2 5
3 ? 20 ,解得: b ? 2 5 , 5

由余弦定理,得 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ? 25 ? 25 ? 2 ? 5 ? 5 ? 所以, △ABC 的周长 l ? 10 ? 2 5 .

题型三:解三角形的实际应用:
例 3.解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? .

BC CD . ? sin ?BDC sin ?CBD CD sin ?BDC s sin ? · 所以 BC ? . ? sin ?CBD sin(? ? ? ) s tan ? sin ? · 在 Rt△ABC 中, AB ? BC tan ?ACB ? . sin(? ? ? )
由正弦定理得 例 4.解:连接 BC,在 ?ABC 中,∠BAC=105° 而 cos 105° cos (60° 45° = + )= 由余弦定理得 BC2=202+( 10 2 )2-2× 10 2 cos 105° 20× =400+200 3 . 于是 BC=10 ( 3 ? 1) . 由正弦定理,得

2? 6 , sin105° = 4

6? 2 , 4

sin ?ACB sin 105 ? 2 ? , ∴sin∠ACB= , 20 2 10( 3 ? 1)

∵∠ACB<90° ∴∠ACB=45° 答:乙船应朝北偏东 60° 方向沿直线前往 B 处救援.

基础训练(三) :
1.C. 2. 5 21 .

3.解: 如图, 连结 A1 B2 ,A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ? 在 ?A1 B2 B1 中,由余弦定理得
2 2 B1 B2 ? A1 B12 ? A1 B2 ? 2 A1 B1 ? A1 B2 cos 45?

20 ? 30 2 ? 10 2 , 60 ?A1 A2 B2 是等边三角形, ?B1 A1B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,

? 202 ? (10 2) 2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?
B1 B2 ? 10 2.

, 2 ? 200 2

10 2 ? 60 ? 30 2. 20 答:乙船每小时航行 30 2 海里.
因此乙船的速度的大小为

北大附中广州实验学校

王生

Email: wangsheng@bdfzgz.net

高中数学第一轮复习学案

三 角 函 数

4. 设该扇形的半径为 r 米. 由题意, CD=500 米)DA=300 米)∠CDO= 600 解: 得 ( , ( , 在 ?CDO 中, CD ? OD ? 2 ? CD ? OD ? cos 60 ? OC ,
2 2 0 2

D
C

1 即 500 ? ? r ? 300 ? ? 2 ? 500 ? ? r ? 300 ? ? ? r 2 , 2 4900 解得 r ? ? 445 (米). 11
2 2

A
1200

O

5.解:设快艇驶离港口 B 后,最少要经过 x 小时,在 OA 上点 D 处与考察船相遇,连接 CD ,则快艇 沿线段 BC , CD 航行.在 ?OBC 中, ?BOC ? 30 , ?CBO ? 60 ,∴ ?BCO ? 90 .
? ? ?

又 BO ? 120 ,∴ BC ? 60 , OC ? 60 3 . ∴快艇从港口 B 到小岛 C 需要 1 小时.
? 2 2 2



A D C

在 ?OCD 中, ?COD ? 30 , OD ? 20x , CD ? 60 ? x ? 2 ? , 由余弦定理,得 CD ? OD ? OC ? 2OD ? OC ? cos ?COD . ∴ ?60 ? x ? 2 ?? ? ? 20 x ? ? 60 3 ? ?
2 2

?

?

2

? 2 ? 20 x ? 60 3 ? cos30 .
?

解得 x ? 3 或 x ?

3 .∵ x ? 1 ,∴ x ? 3 . 8

O

B



答:快艇驶离港口 B 后最少要经过 3 小时才能和考察船相遇.

212 ? 20 2 ? 312 1 ?? , 6..解:如图,在△BCD 中,由余弦定理,得 cos ?CDB ? 2 ? 21 ? 20 7
在△ACD 中,∠A=60O, cos ?ADC ? ? cos ?CDB ?

1 , 7

sin ?ADC ?
所以 sin ?ACD ? sin 180

?

4 3 , 7

o

? (?ADC ? 60 o )
o

?

= sin(?ADC ? 60 ) ? 由正弦定理,得

5 3 , 14

AD CD , ? sin ?ACD sin ?A
21 ? 5 3 14 ? 15 。 3 2

所以 AD ?

答:此人在 D 处距 A 还有 15km.

北大附中广州实验学校

王生

Email: wangsheng@bdfzgz.net



更多相关文章:
2008年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(09解三角形)
10页 免费 2011年全国各地高考数学... 4页 2下载券 2009年全国各地高考数学....数学试题及解答分类汇编大全 (09 解三角形)一、选择题: 1. (2008 安徽文)...
中考总复习(十)——代数综合题(2008-2009年中考数学模拟试题)
这是一道统计图表与数据的分析的应用,看懂图形是关键. 分析: (1)如图 解: ...从题目结构看是把方程的知识,三角形边角关系“串联”起来,知识衔接关系清 楚,...
07-09年高考理科数学真题演练及分类解析:解三角形
解三角形 6. (2009 上海春,8)在 ?ABC 中,若 AB = 3 , 1. (2008 福建,10)在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 的 对边分别为 a 、 b 、 c 若 (a...
2008-2009学年八年级(下)数学期中调研试卷
2008-2009学年八年级第一学... 10页 免费 2008-2009学年八年级数学上... ...问题的方法.综合运用等腰三角形的三线合一,勾股定理.能够根据 面积求等腰三角形...
2008、2009、2010年大联盟数学试卷及答案
20082009、2010年大联盟数学试卷及答案_六年级数学...(7 分) 6 附加题: (每题 10 分,共 20 分)...2、锐角三角形的两个锐角之和一定小于 90°。 3...
2008-2009学年九年级(上)数学第二次月考卷(全册内容)
[试卷]2008--2009学年度九... 9页 2财富值 2008...(2008?江西)下列四个三角形中,与图中的三角形相似...30°或 150° 10、 (2006?邵阳) 将一副三角板...
2008-2009计算机图形学试卷A答案
c 10.A 1分 (2)将坐标系平移至 P1 (-1,-1)点 ?1 0 0? T A = ...求变换后的三角形 ABC 各顶点的坐标 A’、B’、C’ 3 分 四、算法应用题...
2009年中考试题专题之8-一元二次方程解法及应用试题及答案
2008 年年收入增加到 7.2 万元,则平均每 年的...一天出售该种文具盒的总利润 y 10.(2009 年本溪)...(2009 年黄石市)三角形两边的长是 3 和 4,第三...
2008-2009学年第一学期《理论力学A》考试试题及答案
三角形棱柱 ABC 的 A 边置于光滑水平面上,如图示,无初速释放后, 试问图形中...(a) 10.(b) ;; 三、计算题(15 分)解: 3分 先取 CB 杆 ∑F x =0...
更多相关标签:
解三角形应用举例    解三角形应用题    解三角形的实际应用    解三角形应用举例ppt    解三角形的应用    解三角形实际应用    解三角形应用    解三角形的综合应用    

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图