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三角函数


第一章 三角函数

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.

? ? 第二象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 90 ? k ? 360 ? 180 , k ? ?? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ?? 终边在 x 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 , k ? ?? 终边在 y 轴上的角的集合为 ?? ? ? k ?180 ? 90 , k ? ?? 终边在坐标轴上的角的集合为 ?? ? ? k ? 90 , k ? ?? 3、与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
第一象限角的集合为 ? k ? 360 ? ? ? k ? 360 ? 90 , k ? ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 5、半径为 r 的圆的圆心角 ? 所对弧的长为 l ,则角 ? 的弧度数的绝对值是 ? ?

l . r

? 180 ? 6、弧度制与角度制的换算公式: 2? ? 360 , 1 ? ,1 ? ? ? 57.3? . ? 180 ? ? ?
?

?

?

?

7、 若扇形的圆心角为 ?

半径为 r , 弧长为 l , 周长为 C , 面积为 S , 则l ? r ? , ??为弧度制? ,

1 1 C ? 2r ? l , S ? lr ? ? r 2 . 2 2
8、设 ? 是一个任意大小的角, ? 的终边上任意一点 ? 的坐标是 ? x, y ? ,它与原点的距离是

r r ? x2 ? y 2 ? 0 ,则 sin ? ?

?

?

y x y , cos ? ? , tan ? ? ? x ? 0 ? . r r x

y P T v O M A x

9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正.
sin?>0 cos?<0 tan?<0 cot?<0 sin?<0 cos?<0 tan?>0 cot?>0 sin?>0 cos?>0 tan?>0 cot?>0 sin?<0 cos?>0 tan?<0 cot?<0

10、三角函数线: sin ? ? ?? , cos ? ? ?? , tan ? ? ?? . 任意角的三角函数就包含锐角三角函数, 实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的 定义是一致的,锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例. 所不同的是,锐角三角函数是 以边的比来定义的,任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定 义的. 即正弦函数值是纵坐标比距离,余弦函数值是横坐标比距离, 正切函数值是纵坐标 比横坐标 例1

⑴ 已知角?的终边经过 P(4,?3),求 2sin?+cos?的值 ⑵已知角?的终边经过 P(4a,?3a),(a?0)求 2sin?+cos?的值

4 2 3 cos?= ∴2sin?+cos?=? 5 5 5 4 2 3 ⑵若 a ? 0 r ? 5a 则 sin?=? cos?= ∴2sin?+cos?=? 5 5 5 4 2 3 若 a ? 0 r ? ?5a 则 sin?= cos?=? ∴2sin?+cos?= 5 5 5 2 1. 若点 P( - 3 , y ) 是角 ? 终边上一点,且 sin ? ? ? ,则 y 的值 3

解:⑴由定义 : r ? 5

sin?=?



.答案: ?

6 5 5

2.角 ? 的终边上一个点 P 的坐标为(5a,-12a)(a≠0), 求 sin ? +2cos ? 的值. 解:依题意得:x=5a,y=-12a, ∴r ?

x 2 ? y 2 ? (5a) 2 ? (?12 a) 2 ? 13 | a |

(1)当 a>0 时,角α 是第四象限角,则

sin ? ?

y ? 12 a 12 x 5 ? ?? , cos ? ? ? , r 13a 13 r 13
2 ; 13

∴sin ? +2cos ? =-

(2)当 a<0 时,角 ? 是第二象限角,则

sin ? ?

y ? 12 a 12 x 5 ? ? , cos ? ? ? ? . r ? 13a 13 r 13
2 . 13

∴cos ? +2cos ? =

3. 若三角形的两内角?, ?满足 sin?cos? ? 0, 则此三角形必为?? (B) A 锐角三角形 况都可能 4. 若是第三象限角, 则下列各式中不成立的是?????? (B) A:sin?+cos? ? 0 C:cos??cot? ? 0 B:tan??sin? ? 0 D:cot?csc? ? 0 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 以上三种情

5.确定下列三角函数值的符号? (1)cos250° (2) sin( ? )
4

?

解:(1)∵250°是第三象限角
?

∴cos250°<0
?
4

(2)∵ ? 是第四象限角,∴ sin( ? ) ? 0
4

6.已知α 是第一象限的角,且 cos ? 分析:∵α 是第一象限的角.?

?

4 ? ? ? ,则 是第几象限的角. 2 5 2

2 2 4 ? ∴ 在第一象限或第三象限? 2 ? 4 又 cos ? ? ? 0. .? 2 5 ? ∴ 在第二象限或第三象限? 2 ? 故 只能是第三象限的角? 2 ? 注意:α 是第一象限角时, 不一定也是第一象限角.? 2

∴ 2k? ? ? ? 2k? ? , k? ?

?

?

? k? ?

?

练习

1. 2.

已知?是第三象限角且
?1? ? ? 已知 ? 2 ?
sin 2?

cos

?
2

?0

? ,问 2 是第几象限角

?1

,则?为第几象限角?
?
2

1 解:∵ (2k ? 1)? ? ? ? (2k ? 1)? ? ∴ k? ? 又∵ cos
? 2

(k ? Z )

?
?
2

?

?
2

? k? ?

3? 4

(k ? Z )

则 是第二或第四象限角

2

?0

则 是第二或第三象限角

? 2

? 2

∴ 必为第二象限角

?1? 2 解: 由 ? ? ?2?

sin 2?

?1

∴sin2? ? 0
(k ? Z )

∴2k? ? 2? ? 2k?+?

∴k? ? ? ? k?+

? 2

∴?为第一或第三象限角
11、角三角函数的基本关系:

?1? sin2 ? ? cos2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? cos 2 ? , cos 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? ;
? 2?
sin ? ? tan ? cos ?

sin ? ? ? ? sin ? ? tan ? cos ? , cos ? ? ?. tan ? ? ?

12、函数的诱导公式:

?1? sin ? 2k? ? ? ? ? sin ? , cos ? 2k? ? ? ? ? cos? , tan ? 2k? ? ? ? ? tan ? ? k ??? . ? 2? sin ?? ? ? ? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? tan ? . ?3? sin ? ?? ? ? ? sin ? , cos ? ?? ? ? cos? , tan ? ?? ? ? ? tan ? . ? 4? sin ?? ?? ? ? sin ? , cos ?? ? ? ? ? ? cos? , tan ?? ? ? ? ? ? tan ? .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

? 5? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? cos ? ? ? ? ? sin ? ?2 ?



? 6 ? sin ? ?

? ? ? ? ? cos ? ?2 ?

?



?? ? cos ? ? ? ? ? ? sin ? . ?2 ?
口诀:正弦与余弦互换,符号看象限.

1.确定下列三角函数值的符号? (1)tan(-672°) 解: (1)tan(-672°)=tan(48°-2×360°)=tan48° 而 48°是第一象限角,∴tan(-672°)>0 ?
11? 5? 5? ? tan( ? 2? ) ? tan 3 3 3 5? 11? ? 0 .? 而 是第四象限角,∴ tan 3 3

(2) tan(

11? ) 3

(2) tan

2

求 值 : sin(-1320 ° )cos1110 ° +cos(-1020 ° )sin750 °

+tg4950°. 解:原式=sin(-4×360°+120°)·cos(3×360°+30°) +cos(-3 × 360 ° +60 ° )sin(2 × 360 ° +30 ° )+tg(360 ° +135°). =sin120°·cos30°+cos60°·sin30°+tg135° =
3 3 1 1 ? ? ? -1=0 2 2 2 2

平方关系得应用 例 1、 sin x ? cos x ?

1 2

求 sin 3 x ? cos 3 x的值

说 明 : 通 过 平 方 关 系 得 到 重 要 关 系 式 :

(sin x ? cos x) 2 ? 1 ? 2 sin x cos x
练习 1、求证:

1 ? 2 sin x cos x 1 ? tan x ? cos 2 x ? sin 2 x 1 ? tan x

sin 2 x ? cos2 x ? 2 sin x cos x (cos x ? sin x) 2 证明:左边 ? ? (cos x ? sin x)(cosx ? sin x) cos2 x ? sin 2 x cos x ? sin x 1 ? tan x ? ? cos x ? sin x 1 ? tan x

说明: 利用平方关系得到“1”的妙用,即 1 ? sin 2 x ? cos2 x 2、化简 1 ? 2 sin

?
2

cos

?
2

? 1 ? 2 sin

?
2

cos

?
2

(0 ? ? ?

?
2

)

解:原式 ? (cos ? sin ) 2 ? (cos ? sin ) 2 ? cos ? sin ? cos ? sin 2 2 2 2 2 2 2 2

?

?

?

?

?

?

?

?

由0 ? ? ?

?
2

,0 ?

?
2

?

? ?
2

即 cos ? cos

?
2

? sin ? sin

?
2

?0 ? 2 sin

故原式 ? cos

?
2

? sin

?

?

?
2

2

2

2

说明: 本题利用平方关系,和三角函数的大小关系进行化简 商数关系的应用 例 1、已知 tan ? ? 2



sin ? ? cos ? 的值 sin ? ? cos ?

sin ? ?1 sin ? ? cos? t an? ? 1 cos ? ? ? 解: sin ? ? cos? sin ? t an? ? 1 ?1 cos?
由 tan ? ? 2故原式 ? 2 ?1 ?3 2 ?1

已知某一角的三角函数值,求其它三角函数的值 例 1、已知tan? ? m
求sin ? , cos?

解:( 1 )m ? 0, 则?的终边在x轴上 当? ? 2k? .(k ? z )时, sin ? ? 0, cos? ? 1 当? ? 2k? ? ? (k ? z )时, sin ? ? 0, cos? ? ?1 (2)当m ? 0时 当?在第一、四象限时 cos2 ? 1 则 cos? ? cos ? ? ? ? 2 2 sin ? ? cos ? 1 ? tan2 ?
2

1 m2 ?1

? sin ? ? cos? ? tan? ? r
当?在第二、三象限时 cos? ? ? cos 2? ? ? sin ? ? tan? cos? ?

m ? 0时

1 m2 ? 1

?m ?

m m2 ? 1

1 1 ? ? 1 ? tan2 ? m2 ? 1 ?m m2 ?1

c 为 ? 没 的


m ? 0或m ? 0作 ,


o 分 有 符

进行分类,主要是为了计算开放符号容易确定。

13、①的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象; 再将函数 y ? sin ? x ? ? ? 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不

变) ,得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐 标伸长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. ②数 y ? sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的

1

?

倍(纵坐标不变) ,得

到函数

y ? sin ? x 的图象;再将函数 y ? sin ? x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度, ?

得到函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;再将函数 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象上所有点的纵坐标伸 长(缩短)到原来的 ? 倍(横坐标不变) ,得到函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? 的图象. 14、函数 y ? ? sin ?? x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的性质: ①振幅: ? ;②周期: ? ?

2?

?

;③频率: f ?

1 ? ? ;④相位:? x ? ? ;⑤初相:? . ? 2?

函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 x ? x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x ? x2 时,取得最大值 为 ymax ,则 ? ?

1 1 ? ? ymax ? ymin ? , ? ? ? ymax ? ymin ? , ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2 2 2

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: 性 函 质 数

y ? sin x

y ? cos x

y ? tan x

图 象

定 义 域 值 域 当

R

R

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?

??1,1?
x ? 2 k? ?

??1,1?
?
2
当 x ? 2k? ? k ??? 时,

R

? k ??? 时, ymax ? 1 ;当
最 值

ymax ? 1
x ? 2 k? ? ?



当 既无最大值也无最小 值

x ? 2 k? ?

?
2
时 ,

? k ???
ymin ? ?1.
周 期

? k ??? 时, ymin ? ?1.

2?

2?

?

性 奇 偶 性 在 奇函数 偶函数 奇函数

? ?? ? 2k? ? , 2k? ? ? ? 2 2? ?
单 调 在 性



? k ??? 上是增函数; ?2k? ? ? ,2k? ?? k ??? 上是
3? ? ? 2 k ? ? , 2 k ? ? ? 2 2? ? ?



?

增函数;在 ?2k? ,2k? ? ? ?

? ?? ? ? k? ? , k? ? ? 2 2? ?

? k ??? 上是减函数.

? k ??? 上是增函数.

? k ??? 上是减函数.
对 称 中 心 对 称 中 心

? k? ,0?? k ??? 对
称 性 对 称 轴

? ? ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? 2 ? ?
对称轴 x ? k? ? k ???









x ? k? ?

?
2

? k? ? , 0 ? ? k ? ?? ? ? 2 ?
无对称轴

?k ? ??

例 1 已知函数 y ? 3sin(2 x ? (1)求出它的周期;

?
3

)

(2)用“五点法”作出一个周期的简图; (3)指出该函数的单调区间. 【分析】考虑抓住哪五点?取“ 2 x ? 【解】 (1) T ? (2)列表

?
3

”为整体,对应的值分别为 0,

?
2

,? ,

2?

3? , 2? 。 2

?

??

2x ?

?
3

0

? 2

?

3? 2

2?

x

?
0

?
6

? 12
3

? 3
0

7? 12
-3

5? 6
0

y

描点连线

(例 1)

5? ? ? k? , ? k? ](k ? Z ) 12 12 12 1 ? 例 2 用两种方法将函数 y ? sin x 的图象变换为函数 y ? sin( x ? ) 的图象 2 4
减区间: [

?

? k? ,

7? ? k? ](k ? Z ) 12

增区间: [?

【分析】分清楚先平移变换还是先伸缩变换。

x 1 ? 1 ? ? ( x ? ) ? x ? )将函数 y ? sin x 的图象横坐标伸长为原 2 2 2 2 4 x x ? 来的 2 倍(纵坐标不变) ,得到 y ? sin ,再将 y ? sin 的图象向右平移 个单位,就得 2 2 2 1 ? 到 y ? sin( x ? ) 的图象 2 4 ? 1 ? ? 方法 2: ( x ?x ? ? x ? )将函数 y ? sin x 的图象向右平移 个单位,得到 4 2 4 4
【解】方法 1: (x?

y ? sin( x ?

?

4

) 的图象, 再将 y ? sin( x ? 1 2

?

就得到 y ? sin( x ? 练习已知函数 y ?

?
4

4

) 的图象横坐标伸长为原来的 2 倍 (纵坐标不变) ,

) 的图象

1 ? 5 sin(2 x ? ) ? , x ? R 2 6 4

(1)求函数 y 的最大值及相应的 x 的值; (2)该函数图象可由 y ? sin x ( x ? R )的图象经怎样的平移和伸缩变换得到? 【分析】 (1)利用正弦函数取最大值的条件; (2)掌握三角函数图象的综合变换,搞清先平 移还是先伸缩. 【解】 (1) 2 x ? 所以当 x ? k? ?

?
?
6

? 2 k? ?

?
2

得 x ? k? ?

?
6

(k ? Z )

6

(k ? Z ) 时, ymax ?

7 4

? ? 个单位,得到 y ? sin( x ? ) ;再纵坐标不变,横坐标缩 6 6 ? 小 为 原 来 的 一 半 得 y ? sin(2 x ? ) ; 再 横 坐 标 不 变 , 纵 坐 标 缩 小 为 原 来 的 一 半 得 6 1 ? 5 1 ? 5 y ? sin(2 x ? ) ; 最后图象上移 个单位得到 y ? sin(2 x ? ) ? 的图象. (可调整顺 2 6 4 2 6 4
(2)把 y ? sin x 图象向左平移 序) 【拓展创新】 若将函数 y ? f ( x) 的图象向右平移

? 个单位得到图象 C1,再将图象 C1 上的每一点的横坐标 8

变为原来的 2 倍得到图象 C2, 再将图象 C2 上的每一点的纵坐标变为原来的 3 倍得到图象 C3, 若 C3 是函数 y ? cos x 的图象,试求 y ? f ( x) 的表达式. 【分析】逆向思维解决本题. 【解】 y ? cos x ? y ? ( C3 化简得 y ?

1 1 1 ? cos x ? y ? cos 2 x ? y ? cos 2( x ? ) 3 3 3 8
C1

C2

y ? f ( x)



1 ? cos(2 x ? ) 3 4

例 1 如下图,它是函数 y ? A sin(? x ? 据,写出该函数解析式

?
3

) ( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ? )的图象,根据图中的数

【分析】观察图象,发现它的最大.最小值,找出它的周期.

T 5? 3? ? ?? ? , 2 2 2 2? 2 2 ? ? ,所以 y ? 5sin( x ? ) , 得 T ? 3? , 则 ? ? T 3 3 3 2 ? 所求的表达式为 y ? 5sin( x ? ) 3 3
【解】由图得 A=5,

7? , ?5) , 练习 1. 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? b 在同一个周期内有最高点 ( , 3) , 最低点 ( 12 12
求它的解析式. 【分析】根据最高点和最低点,得到 A、b 及周期. 【解】∵2A=3-(-5)=8,∴A=4。∵2b=3+(-5)=-2,∴b=-1 ∵

?

(例 1)

T 7? ? ? 2? ? ? ? ∴ T ? ? ,?? ? ?2 2 12 12 2 T

? y ? 4sin(2 x ? ? ) ?1 , 又图象过 (
故? y ? 4sin(2 x ?

?
3

, 3) ,从而? 3 ? 4sin( ? ? ) ? 1 ,得 ? ? 12 6 3

?

?

?

) ?1

(注:答案不唯一)

2.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, ?? ? ? ? ? )图象的最高点为 (2, 2) ,由 这个最高点到相邻最低点间的曲线与 x 轴交于点(6,0) 。 (1)求这个函数的表达式,并指出该函数的周期、频率、初相; (2)求该函数的单调递减区间. 【分析】读懂题意,转换成图象,发现它的振幅和周期. 【解】 (1)由题意,得 A= 2 , 则y?

4 1 1 ? 所以 y ? 2 sin( x ? ) 周期 T ? 16 ,频率 f ? ? ,初相 ? ? . 8 4 T 16 4 ? ? ? 3? ? 2k? ,解得 2 ? 16k ? x ? 10 ? 16k (2)由 ? 2k? ? x ? ? 2 8 4 2

2 sin(

?
8

T 2? ? ? 6 ? 2 ? 4,? T ? 16,? ? ? ? 4 T 8

x ? ? ) ,又图象经过 (2, 2) ,得 2 ? 2 sin(

?

? ? ) ,得 ? ?

?
4

?

?

所以该函数的递减区间为 [2 ? 16k ,10 ? 16k ] . 【拓展创新】 已知下图是函数 y ? 2sin(? x ? ? ) ( | ? |? (1)求 ? , ? 的值 (2)求函数图象的对称轴方程,对称中心坐标。 【分析】通过特殊点,利用待定系数法确定函数中的的 ? 、 ?

?
2

)的图象

? ?0 ?? ?
【解】 (1)由图象得

?
6
解得 ? ? 2, ? ?

?
6

11? ?? ? ? ? 2? 12
)



所以 y ? 2sin(2 x ?

?
6

k? ? ? (k ? Z ) 6 2 2 6 ? k? ? k? ? ? , ? , 0)(k ? Z ) 对称中心 (x0, 0) , 则 2 x0 ? ? k? , 得 x0 ? 所以对称中心坐标为 ( 6 2 1 2 2 12
(2)函数图象的对称轴方程为 2 x ?

?

? k? ?

?

,即 x ?


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