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两条直线的


9.2 两条直线的位置关系
——两条直线的平行、交点 与垂直

1.解方程组:
3 x+4 y -2=0 , 2x+ y +2=0.
(1) (2)

并画出图象.

由 (1) ? (2) ? 4 得:? 5x ? 10 ? 0 解:

(2) 得 y?2 即 x ? ?2 将它代入

l2
M

y

?x ? ?2 ? 方程组的解是 ? ?y ? 2 .

l1
O

说明: 几何意义 : 直线 l1 : 3x ? 4 y ? 2 ? 0 与

x

直线 l2 : 2x ? y ? 2 ? 0 相交于点M (?2 , 2) .

2. 交点
设两条直线的方程是 l1: A1x+B1 y +C1=0,

l2: A2x+B2 y +C2=0.
这两条直线是否有交点

方程组

A1x+B1 y +C1=0,
A2x+B2 y +C2=0. 是否有唯一解。

若方程组 有唯一解,则直线l1 与 l2 相交 ; 说明: 若方程组有无数解,则直线l1 与 l2 重合 ;

若方程组无解,则直线l1 与 l2 平行 。

3.两条直线的平行
设两条直线的方程是

l1: A1x+B1 y +C1=0, (A1B1 C1 ≠0) l2: A2x+B2 y +C2=0. (A2B2 C2≠0), A1 B1 l1与l2 相交 ? ? 则 方程组有唯一解 ? A2 B2
方程组有无数多解

?

l1与l2的重合

A1 B1 C1 ? ? ? A2 B2 C2 方程组无解 ? l1∥l2 ? A1 ? B1 ? C1 A2 B2 C2

例1 求经过原点且经过以下两条直线交点的直线方程: l1: x-2 y +2=0 , l2: 2x- y -2=0.

解:解方程组 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 , ? ?2x ? y ? 2 ? 0 ,
得 ?x ? 2 , ? l1 与 l2 的交点是 (2 , 2) . ? ?y ? 2 .

由已知可设经过原点的 直线方程为 y ? kx
把交点(2 , 2) 代入此方程, 得 k ? 1

故所求直线方程为 y ? x .

3.两条直线垂直
什么叫直线的法向量?两条直线垂 直则他们的法向量也垂直。
两个非零向量互相垂直的充要条件是什么? 内积等于零,即对应坐标之积的代数和等于 零。
即A1 A2 ? B1B2 ? 0

直 线l 1、l 2的 方 程 分 别 为1A x ? B1y ? C1 ? 0, A2x ? B2y ? C2 ? 0

结论:

l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0

例7 判断下列各对直线是否垂直: (1)2x-4y-7=0 与2x+y-5=0 (2)2x=7与3y-5=0
依据结论:

l1 ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0

重要结论: 与已知直线Ax+By+C=0 平行的 直线可设为:Ax+By+D=0,其中D 为待定系数。 与已知直线Ax+By+C=0 垂直的 直线可设为:Bx-Ay+D=0,其中D 为待定系数。

例3 求过点 A(1,-4) ,且与直线2x+3y+5=0 平行的直线方程。
解:设与已知直线平行的直线方程为 2x+3y+D=0,将A(1,-4)代入得,D=10 因此,所求直线方程为2x+3y+10=0

例9 求过点A(1,2)且与直线2x+y-10=0 垂直的直线方程 。 解:设与已知直线垂直的直线方程为 x-2y+D=0, 将A(1,2)代入得,D=3 因此,所求直线方程为x-2y+3=0 。

例 2 判定下列各对直线的位置关系, 若相交 ,则求交点 .
(1) l1 : 7x ? 2 y ? 1 ? 0

l2 : 14x ? 4 y ? 2 ? 0
(3)

(2) l1 : ( 3 ? 2)x ? y ? 7

l2 : x ? ( 3 ? 2) y ? 6 ? 0

l1 : 3x ? 5y ? 1 ? 0 l2 : 4x ? 3y ? 5
14x ? 4 y ? 2 ? 0 7x ? 2 y ? ? 1l?与 0 l 重合 1 2 7x ? 2 y ? 1 ? 0

7x ? 2 y ? 1 ? 0有无数解 解: (1) ?
(2)

?

3? 2 1 ?7 ? ? 1 3 ? 2 ?6

? l1 与 l2 平行 .

(3)

l1 : 3x ? 5y ? 1 ? 0 l2 : 4x ? 3y ? 5

3 5 解: ? ? 4 3

? l1 与 l2 相交 .
3x ? 5 y ? 1 ? 0
4x ? 3y ? 5

?x ? 2 , ? ? ? y ? ?1 .

? l1 与 l2 的交点是 (2 , ? 1) .

与l2: x+ y -3=0的交点,且与直线 2x-y =0平行的直线的方程.

例6 求经过两条直线l1: x- y -1=0

解:1.解方程组,求交点
求出交点坐标为(2,1)。 2.设所求直线的方程为2x-y +D=0, (2,1)代入上式,得D=-3 所以,所求直线方程为2x-y-3=0

练习、求经过直线2 x ? 3 y ? 1 ? 0和x ? 3 y ? 4 ? 0的交点, 并且垂直于3x ? 4 y ? 7 ? 0的直线方程。
解: 5 ? x?? ? 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 ? ? 3 方程组? 的解为 ? ?x ? 3 y ? 4 ? 0 ?y ? 7 ? 9 ?

设所求方程为 4x ? 3 y ? m ? 0
5 7 点(? , )在直线上得 m ? 9 3 9
所以所求直线方程为 : 4x ? 3 y ? 9 ? 0

作业:
1. P94 练 习:1,2(书上) 2. P94 4, 6


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