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2010年中考数学压轴题及解答5


2010 年中考数学压轴题及解答 5
113、 (2010 年山东省滨州市)25.如图,四边形 ABCD 是菱形,点 D 的坐标是(0, 3 ),以点 C 为顶点的 抛物线 y = ax + bx + c 恰好经过 x 轴上 A、B 两点
2

(1)求 A、B、C 三点的坐标; (2)求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式; (3)若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过 D 点, 求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位? 【解答】 解答】 25.(1)A、B、C 的坐标分别为(1,0),(3,0),(2,3) (2) y = ? 3( x ? 2) 2 + 3 (3)设抛物线的解析式为 y = ? 3( x ? 2) 2 + k ,代入 D (0,3) ,可得 k = 5 3 , ∴平移后的抛物线的解析式为 y = ? 3( x ? 2) 2 + 5 3 。 ∴平移了 5 3 ? 3 = 4 3 个单位。 114、 (2010 年山东省德州市)22. (本题满分 10 分) ●探究 (1) 在图 1 中,已知线段 AB,CD,其中点分别为 E,F. 探究 ①若 A (-1,0), B (3,0),则 E 点坐标为__________; ②若 C (-2,2), D (-2,-1),则 F 点坐标为__________; (2)在图 2 中,已知线段 AB 的端点坐标为 A(a,b) ,B(c,d), 求出图中 AB 中点 D 的坐标(用含 a,b,c,d 的 代数式表示) ,并给出求解过程. ●归纳 无论线段 AB 处于直角坐标系中的哪个位置, 归纳 D 当其端点坐标为 A(a,b),B(c,d), AB 中点为 D(x,y) 时, x=_________,y=___________. (不必证明) ●运用 在图 2 中,一次函数 y = x ? 2 与反比例函数 运用 A O 第 22 题图 2 y= x y C D A O B x

第 22 题图 1 y B

y=

3 的图象交点为 A,B. x

y O

3 x
B x

①求出交点 A,B 的坐标; ②若以 A,O,B,P 为顶点的四边形是平行四边形, y=x-2 请利用上面的结论求出顶点 P 的坐标. A

第 22 题图 3

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【解答】 解答】 22. 本题满分 10 分) . ( 解: 探究 (1)①(1,0);②(-2,

1 );-------------------------------2 分 2

a+c .------------------4 分 2 b+d 同理可得 D 点的纵坐标是 . 2 a+c b+d , ).--------5 分 ∴AB 中点 D 的坐标为( 2 2 a+c b+d 归纳: , .-------------------------------6 分 归纳: 2 2 ?y = x ? 2 , ? 运用 ①由题意得 ? 3 . ?y = x ? ? x = 3 , ? x = ?1 , 解得 ? 或? . ? y = 1 . ? y = ?3 .
即 D 点的横坐标是

(2)过点 A,D,B 三点分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 A′ , D′ , B′ ,则 AA′ ∥ BB′ ∥ CC ′ .-------------------------------3 分 ∵D 为 AB 中点,由平行线分线段成比例定理得 y A′ D′ = D′ B′ . B c?a a+c D = . ∴O D′ = a + A 2 2 O A′ D ′ B′ x y y= 3

x

B O A y=x-2 P x

∴即交点的坐标为 A(-1,-3),B(3,1) .-------------8 分 ②以 AB 为对角线时, 由上面的结论知 AB 中点 M 的坐标为(1,-1) . ∵平行四边形对角线互相平分, ∴OM=OP,即 M 为 OP 的中点. ∴P 点坐标为(2,-2) .---------------------------------9 分 同理可得分别以 OA,OB 为对角线时, 点 P 坐标分别为(4,4) ,(-4,-4) . ∴满足条件的点 P 有三个,坐标分别是(2,-2) ,(4,4) ,(-4,-4) .------10 分
115、 (2010 年山东省德州市)23. (本题满分 11 分) 已知二次函数 y = ax + bx + c 的图象经过点 A(3,0),B(2,-3),C(0,-3).
2

(1)求此函数的解析式及图象的对称轴; (2)点 P 从 B 点出发以每秒 0.1 个单位的速度沿线段 BC 向 C 点运动,
点 Q 从 O 点出发以相同的速度沿线段 OA 向 A 点运动,其中一个动点到 达端点时,另一个也随之停止运动.设运动时间为 t 秒.

y

Q O M P B N A

x

①当 t 为何值时,四边形 ABPQ 为等腰梯形; ②设 PQ 与对称轴的交点为 M, M 点作 x 轴的平行线交 AB 于点 N, 过
设四边形 ANPQ 的面积为 S,求面积 S 关于时间 t 的函数解析式,并指出

C

t 的取值范围;当 t 为何值时,S 有最大值或最小值.
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第 23 题图

【解答】 解答】 23. 本题满分 11 分) (本题满分 . ( 解:(1)∵二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象经过点 C(0,-3), ∴c =-3. 将点 A(3,0),B(2,-3)代入 y = ax + bx + c 得
2

y

?0 = 9a + 3b ? 3, ? ?? 3 = 4a + 2b ? 3.
解得:a=1,b=-2. ∴ y = x 2 ? 2 x ? 3 .-------------------2 分
2 配方得: y = x ? 1) ? 4 ,所以对称轴为 x=1.-------------------3 分 (

Q O M

ED G N

A

x

C

F P B

(2) 由题意可知:BP= OQ=0.1t. ∵点 B,点 C 的纵坐标相等, ∴BC∥OA. 过点 B,点 P 作 BD⊥OA,PE⊥OA,垂足分别为 D,E. 要使四边形 ABPQ 为等腰梯形,只需 PQ=AB. 即 QE=AD=1. 又 QE=OE-OQ=(2-0.1t)-0.1t=2-0.2t, ∴2-0.2t=1. 解得 t=5. 即 t=5 秒时,四边形 ABPQ 为等腰梯形.-------------------6 分 ②设对称轴与 BC,x 轴的交点分别为 F,G. ∵对称轴 x=1 是线段 BC 的垂直平分线, ∴BF=CF=OG=1. 又∵BP=OQ,∴PF=QG. 又∵∠PMF=∠QMG,∴△MFP≌△MGQ. ∴MF=MG.∴点 M 为 FG 的中点 -------------------8 分 ∴S= S四边形 ABPQ - S ?BPN , = S四边形 ABFG - S ?BPN . 由 S四边形 ABFG =

1 9 ( BF + AG ) FG = . 2 2 1 1 3 S ?BPN = BP ? FG = t . 2 2 40 9 3 ∴S= ? t .-------------------10 分 2 40

又 BC=2,OA=3, ∴点 P 运动到点 C 时停止运动,需要 20 秒. ∴0<t≤20. ∴当 t=20 秒时,面积 S 有最小值 3.------------------11 分

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y 116、 (2010 年山东省东营市)23. (本题满分 10 分) (-1, 0) 如图, 已知二次函数 y = ax 2 ? 4 x + c 的图象与坐标轴交于点 A 和点 B(0,-5) . (1)求该二次函数的解析式; (2)已知该函数图象的对称轴上存在一点 P,使得△ABP 的周长最 小.请求出点 P 的坐标. 【解答】 解答】 23. (本题满分 10 分) . 本题满分
(第 23 题图)

A

O

x

B

?0 = a × (?1) 2 ? 4 × (?1) + c, ? 解: (1)根据题意,得 ? …2 分 ?? 5 = a × 0 2 ? 4 × 0 + c. ? ?a = 1, ……………………3 分 解得 ? ?c = ?5. ∴二次函数的表达式为 y = x 2 ? 4 x ? 5 .……4 分

y A
O

x=2 C x

(2)令 y=0,得二次函数 y = x 2 ? 4 x ? 5 的图象与 x 轴 的另一个交点坐标 C(5, 0).……………5 分 由于 P 是对称轴 x = 2 上一点, 连结 AB,由于 AB = OA2 + OB 2 = 26 , 要使△ABP 的周长最小,只要 PA + PB 最小.……………6 分 由于点 A 与点 C 关于对称轴 x = 2 对称,连结 BC 交对称轴于点 P, 则 PA + PB = BP+PC =BC,根据两点之间,线段最短,可得 PA + PB 的 最小值为 BC. 因而 BC 与对称轴 x = 2 的交点 P 就是所求的点.………………8 分 设直线 BC 的解析式为 y = kx + b ,根据题意,可得 ?

P B

(第 23 题图)

?b = ?5, ?k = 1, 解得 ? ?0 = 5k + b. ?b = ?5.

所以直线 BC 的解析式为 y = x ? 5 .……………………9 分 因此直线 BC 与对称轴 x = 2 的交点坐标是方程组 ?
? x = 2, ? x = 2, 的解,解得 ? ?y = x ? 5 ? y = ?3.

所求的点 P 的坐标为(2,-3).…………………10 分 117、 (2010 年山东省东营市)24. (本题满分 10 分) 如图,在锐角三角形 ABC 中, BC = 12 ,△ABC 的面积为 48,D,E 分别是边 AB,AC 上的两个动 点(D 不与 A , B 重合) ,且保持 DE∥BC,以 DE 为边,在点 A 的异侧作正方形 DEFG. (1)当正方形 DEFG 的边 GF 在 BC 上时,求正方形 DEFG 的边长; (2)设 DE = x,△ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为 y ,试求 y 关于 x 的函数关系式,写出 x 的取值范围,并求出 y 的最大值. A D G B E F C B (备用图(1) ) C B (备用图(2) ) C A A

(第 24 题图)

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【解答】 解答】 24. (本题满分 10 分) 解: (1)当正方形 DEFG 的边 GF 在 BC 上时,如图 (1) ,过点 A 作 BC 边上的高 AM,交 DE 于 N,垂足为 M. ∵S△ABC=48,BC=12,∴AM=8. ∵DE∥BC,△ADE∽△ABC, ………1 分 ∴

A D N E

DE AN = , BC AM

B

G

M F

C

而 AN=AM-MN=AM-DE,∴

解之得 DE = 4.8 . ∴当正方形 DEFG 的边 GF 在 BC 上时,正方形 DEFG 的边长为 4.8.…3 分 (2)分两种情况: ①当正方形 DEFG 在△ABC 的内部时,如图(2) ,△ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为正方形 DEFG 的面积, ∵DE=x,∴ y = x 2 ,此时 x 的范围是 0 < x ≤4.8…4 分 ②当正方形 DEFG 的一部分在△ABC 的外部时, 如图(2) ,设 DG 与 BC 交于点 Q,EF 与 BC 交于点 P, △ABC 的高 AM 交 DE 于 N, ∵DE=x,DE∥BC,∴△ADE∽△ABC, …………5 分 B

DE 8 ? DE = . ………2 分 12 8

(第 24 题图(1))

A D G E F C

(第 24 题图 (2) ) A

DE AN = ,而 AN=AM-MN=AM-EP, BC AM x 8 ? EP 2 ∴ = ,解得 EP = 8 ? x .………6 分 12 8 3 2 2 2 所以 y = x(8 ? x) , 即 y = ? x + 8 x .………7 分 3 3 由题意,x>4.8,x<12,所以 4.8 < x < 12 .
即 因此△ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积为

D B Q

N M P

E C

F G (第 24 题图(3))

?x2 (0< x≤4.8) ? y=? 2 2 ?? x + 8 x (4.8 < x < 12) ? 3

……………………8 分

当 0 < x ≤4.8 时,△ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积的最大值为 4.82=23.04 当 4.8 < x < 12 时,因为 y = ?

2 2 x + 8 x ,所以当 x = ? 3

8 2 2 × (? ) 3

= 6 时,

2 4 × (? ) × 0 ? 8 2 3 △ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积的最大值为 = 24 . 2 4 × (? ) 3
因为 24>23.04, 所以△ABC 与正方形 DEFG 重叠部分的面积的最大值为 24. …10 分

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118、 (2010 年山东省济南市)23.(本小题满分 9 分) 已知:△ABC 是任意三角形. ⑴如图 1 所示,点 M、P、N 分别是边 AB、BC、CA 的中点.求证:∠MPN=∠A. AM 1 AN 1 ⑵如图 2 所示,点 M、N 分别在边 AB、AC 上,且 = , = ,点 P1、P2 是边 BC 的三等分 AB 3 AC 3 点,你认为∠MP1N+∠MP2N=∠A 是否正确?请说明你的理由. ⑶如图 3 所示,点 M、N 分别在边 AB、AC 上,且
AM 1 AN 1 , ,点 P1、P2、……、P2009 = = AB 2010 AC 2010

是边 BC 的 2010 等分点,则∠MP1N+∠MP2N+……+∠MP2009N=____________. (请直接将该小问的答案写在横线上. ) A M M N C C B …… P1 P2 …… P2009 C
第 23 题图 3

A M N

A N

B

P
第 23 题图 1

B

P1

P2

第 23 题图 2

解答】 【解答】 23. ⑴证明:∵点 M、P、N 分别是 AB、BC、CA 的中点, ∴线段 MP、PN 是△ABC 的中位线, ∴MP∥AN,PN∥AM, ··················· 1 分 ∴四边形 AMPN 是平行四边形, ····· 2 分 ∴∠MPN=∠A. ···························· 3 分 ⑵∠MP1N+∠MP2N=∠A 正确. ··················· 4 分 如图所示,连接 MN, ···························· 5 分 ∵
AM AN 1 = = ,∠A=∠A, AB AC 3

A M 1 2 N

B

P1

P2

C

∴△AMN∽△ABC, MN 1 ∴∠AMN=∠B, = , BC 3
1 ∴MN∥BC,MN= BC, 3 ······················· 6 分

第 23 题图

∵点 P1、P2 是边 BC 的三等分点, ∴MN 与 BP1 平行且相等,MN 与 P1P2 平行且相等,MN 与 P2C 平行且相等, ∴四边形 MBP1N、MP1P2N、MP2CN 都是平行四边形, ∴MB∥NP1,MP1∥NP2,MP2∥AC, ······································································ 7 分 ∴∠MP1N=∠1,∠MP2N=∠2,∠BMP2=∠A, ∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A. ····································································· 8 分 ⑶∠A. ···················································· 9 分

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119、 (2010 年山东省济南市)24.(本小题满分 9 分) 如图所示,抛物线 y = ? x 2 + 2 x + 3 与 x 轴交于 A、B 两点,直线
BD 的函数表达式为 y = ? 3x + 3 3 ,抛物线的对称轴 l 与直线 BD 交

于点 C、与 x 轴交于点 E. ⑴求 A、B、C 三个点的坐标. ⑵点 P 为线段 AB 上的一个动点(与点 A、点 B 不重合) ,以点 A 为圆心、以 AP 为半径的圆弧与线段 AC 交于点 M,以点 B 为圆心、 以 BP 为半径的圆弧与线段 BC 交于点 N,分别连接 AN、BM、MN. ①求证:AN=BM. ②在点 P 运动的过程中, 四边形 AMNB 的面积有最大值还是有最 小值?并求出该最大值或最小值. 【解答】 解答】 24.解:⑴令 ? x 2 + 2 x + 3 = 0 , 解得: x1 = ?1, x2 = 3 , ∴A(-1,0),B(3,0) ······························· 2 分 ∵ y = ? x 2 + 2 x + 3 = ?( x ? 1) 2 + 4 , ∴抛物线的对称轴为直线 x=1, 将 x=1 代入 y = ? 3x + 3 3 ,得 y=2 3 , ∴C(1,2 3 ).
··································· 3 分

y

D

l

C F M x N

⑵①在 Rt△ACE 中,tan∠CAE=

CE = 3, AE

E P A O B ∴∠CAE=60?, 由抛物线的对称性可知 l 是线段 AB 的垂直平分线, ∴AC=BC, 第 24 题图 ∴△ABC 为等边三角形, ·································································· 4 分 ∴AB= BC =AC = 4,∠ABC=∠ACB= 60?, 又∵AM=AP,BN=BP, ∴BN = CM, ∴△ABN≌△BCM, ∴AN=BM. ···························································································· 5 分 ②四边形 AMNB 的面积有最小值. ··················································· 6 分 设 AP=m,四边形 AMNB 的面积为 S, 由①可知 AB= BC= 4,BN = CM=BP,S△ABC= ∴CM=BN= BP=4-m,CN=m, 过 M 作 MF⊥BC,垂足为 F, 则 MF=MC?sin60?=
3 (4 ? m) , 2 3 × 4 2= 4 3 , 4

x

1 1 3 3 2 ∴S△CMN= CN MF = m ? (4 ? m) = ? m + 3m , ························· 7 分 2 2 2 4 ∴S=S△ABC-S△CMN
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= 4 3 -( ?
=

3 2 m + 3m ) 4 ············································································· 8 分 ·························································· 9 分

3 (m ? 2) 2 + 3 3 4

∴m=2 时,S 取得最小值 3 3 .

120、 (2010 年山东省济宁市)22. 8 分) ( 数学课上,李老师出示了这样一道题目:如图 1 ,正方形 ABCD 的边长为

12 , 为边 BC 延长线上的一点, 为 DP 的中点, 的垂直平分线交边 DC P E DP
于 M ,交边 AB 的延长线于 N .当 CP = 6 时, EM 与 EN 的比值是多少? 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:过 E 作直线平行于 BC 交

DF DE = ,因为 DE = EP ,所 FC EP 以 DF = FC .可求出 EF 和 EG 的值,进而可求得 EM 与 EN 的比值.
DC , AB 分别于 F , G ,如图 2 ,则可得:
(1) 请按照小明的思路写出求解过程. (2) 小东又对此题作了进一步探究,得出了 DP = MN 的结论.你认为小 东的这个结论正确吗?如果正确,请给予证明;如果不正确,请说明理由.
(第 22 题)

【解答】 解答】
22. 1)解:过 E 作直线平行于 BC 交 DC , AB 分别于点 F , G , (



DF DE EM EF = = , , GF = BC = 12 . FC EP EN EG

∵ DE = EP ,∴ DF = FC . ·············································································2 分

1 1 × 6 = 3 , EG = GF + EF = 12 + 3 = 15 . 2 2 EM EF 3 1 = = = . ···················································································4 分 ∴ EN EG 15 5
∴ EF = CP = (2)证明:作 MH ∥ BC 交 AB 于点 H ,………5 分 则 MH = CB = CD , ∠MHN = 90° . ∵ ∠DCP = 180° ? 90° = 90° , ∴ ∠DCP = ∠MHN . ∵ ∠MNH = ∠CMN = ∠DME = 90° ? ∠CDP ,

A

D

E H
(第 22 题)

M

∠DPC = 90° ? ∠CDP ,
∴ ∠DPC = ∠MNH .∴ ?DPC ? ?MNH .………7 分 ∴ DP = MN .………8 分

B
C N

P

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121、 (2010 年山东省济宁市)23. (10 分) 如图,在平面直角坐标系中,顶点为( 4 , ?1 )的抛物线交 y 轴于 A 点,交 x 轴于 B ,C 两点(点 B 在点 C 的左侧). 已知 A 点坐标为( 0 , 3 ). (1)求此抛物线的解析式; (2) 过点 B 作线段 AB 的垂线交抛物线于点 D , 如果以点 C 为 圆心的圆与直线 BD 相切,请判断抛物线的对称轴 l 与⊙ C 有怎样的 位置关系,并给出证明; (3)已知点 P 是抛物线上的一个动点,且位于 A ,C 两点之间, 问: 当点 P 运动到什么位置时,?PAC 的面积最大?并求出此时 P 点 的坐标和 ?PAC 的最大面积. 【解答】 解答】 23. (1)解:设抛物线为 y = a ( x ? 4) 2 ? 1 . ∵抛物线经过点 A (0,3) ,∴ 3 = a (0 ? 4) 2 ? 1 .∴ a = ∴抛物线为 y =
(第 23 题)

y

D A
O C

B

x

1 . 4

1 1 ( x ? 4) 2 ? 1 = x 2 ? 2 x + 3 . ……………………………3 分 4 4

(2) 答: l 与⊙ C 相交. …………………………………………………………………4 分 证明:当

1 ( x ? 4) 2 ? 1 = 0 时, x1 = 2 , x2 = 6 . 4
2 2

∴ B 为(2,0) C 为(6,0).∴ AB = 3 + 2 = 13 . , 设⊙ C 与 BD 相切于点 E ,连接 CE ,则 ∠BEC = 90° = ∠AOB . ∵ ∠ABD = 90° ,∴ ∠CBE = 90° ? ∠ABO . 又∵ ∠BAO = 90° ? ∠ABO , ∠BAO = ∠CBE . ∴ ∴ ?AOB ∽ ?BEC . ∴

y

CE 6 ? 2 8 CE BC .∴ = .∴ CE = > 2 .……6 分 = OB AB 2 13 13
A Q E B
C

D

∵抛物线的对称轴 l 为 x = 4 ,∴ C 点到 l 的距离为 2. ∴抛物线的对称轴 l 与⊙ C 相交. ………………7 分 (3) 解:如图,过点 P 作平行于 y 轴的直线交 AC 于点 Q .

O

x

P

1 可求出 AC 的解析式为 y = ? x + 3 .………8 分 2 1 1 ,则 Q 点的坐标为( m , ? m + 3 ). 设 P 点的坐标为( m , m 2 ? 2m + 3 ) 4 2
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(第 23 题)

1 1 1 3 m + 3 ? ( m 2 ? 2m + 3) = ? m 2 + m . 2 4 4 2 1 1 2 3 3 27 , ∵ S ?PAC = S ?PAQ + S ?PCQ = × (? m + m) × 6 = ? ( m ? 3) 2 + 2 4 2 4 4 27 ∴当 m = 3 时, ?PAC 的面积最大为 . 4 3 此时, P 点的坐标为(3, ? ). …………………………………………10 分 4
∴ PQ = ? 122、 (2010 年山东省莱芜市)23.(本题满分 10 分) 在 ABCD 中,AC、BD 交于点 O,过点 O 作直线 EF、GH,分别交平行四边形的四条边于 E、G、F、H 四点,连结 EG、GF、FH、HE. (1)如图①,试判断四边形 EGFH 的形状,并说明理由; (2)如图②,当 EF⊥GH 时,四边形 EGFH 的形状是 ; ; (3)如图③,在(2)的条件下,若 AC=BD,四边形 EGFH 的形状是

(4)如图④,在(3)的条件下,若 AC⊥BD,试判断四边形 EGFH 的形状,并说明理由.

A G B A E O F 图① C H D G B A E O F 图② (第 23 题图) 【解答】 解答】 23.(本小题满分 10 分) 解: (1)四边形 EGFH 是平行四边形. 证明:∵ ∴点 O 是 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O. ABCD 的对称中心. ∴四边形 EGFH 是平行四边形. (2)菱形. (3)菱形. (4)四边形 EGFH 是正方形. 证明:∵AC=BD,∴ ∴ ABCD 是矩形. 又∵AC⊥BD, ∴ ABCD 是正方形,∴∠BOC=90°,∠GBO=∠FCO=45°.OB=OC. ∴△BOG≌△COF.∴OG=OF,∴GH=EF. 由(1)知四边形 EGFH 是平行四边形,又∵EF⊥GH,EF=GH. ∴四边形 EGFH 是正方形.
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E

D H

D H C

A G B

E O F 图③

D G H C B O C F 图④

…………………………1 分

∴EO=FO,GO=HO. …………………………4 分 …………………………5 分 …………………………6 分 …………………………7 分 ABCD 是菱形.

∵EF⊥GH ,∴∠GOF=90°.∴∠BOG=∠COF. …………………………9 分

…………………………10 分

123、 (2010 年山东省莱芜市)24.(本题满分 12 分) 如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线 y = ax 2 + bx + c 交 x 轴 E 于 A( 2,0), B (6,0) 两点,交 y 轴于点 C (0,2 3 ) . (1)求此抛物线的解析式; (2)若此抛物线的对称轴与直线 y = 2 x 交于点 D,作⊙D 与 x 轴 相切,⊙D 交 y 轴于点 E、F 两点,求劣弧 EF 的长; (3)P 为此抛物线在第二象限图像上的一点,PG 垂直于 x 轴,垂 足为点 G,试确定 P 点的位置,使得△PGA 的面积被直线 AC 分为 1︰2 两部分. 【解答】 解答】 24. (本小题满分 12 分)
2 2 解: (1)∵抛物线 y = ax + bx + c 经过点 A( 2,0) , B (6,0) , C (0, 3 ) .

y

D C F O A B x

(第 24 题图)

? 3 ?a = ?4a + 2b + c = 0 6 ? ? ? ∴ ?36a + 6b + c = 0 , 解得 b = ? 4 3 . ? 3 ? ? ?c = 2 3 ?c = 2 3 ? ?
∴抛物线的解析式为: y =

3 2 4 x ? 3x + 2 3 . 6 3

…………………………3 分

(2)易知抛物线的对称轴是 x = 4 .把 x=4 代入 y=2x 得 y=8,∴点 D 的坐标为(4,8) . ∵⊙D 与 x 轴相切,∴⊙D 的半径为 8. …………………………4 分 连结 DE、DF,作 DM⊥y 轴,垂足为点 M. 在 Rt△MFD 中,FD=8,MD=4.∴cos∠MDF=

1 . 2
…………………………6 分 …………………………7 分

∴∠MDF=60°,∴∠EDF=120°. ∴劣弧 EF 的长为:

120 16 × π×8 = π . 180 3

(3)设直线 AC 的解析式为 y=kx+b. ∵直线 AC 经过点 A( 2,0), C (0,2 3 ) . ∴?

?2 k + b = 0 ?b = 2 3

,解得 ?

?k = ? 3 ? .∴直线 AC 的解析式为: y = ? 3 x + 2 3 . ………8 分 ?b = 2 3 ?

设点 P ( m,

3 2 4 m ? 3m + 2 3 )(m < 0) ,PG 交直线 AC 于 N, 6 3

则点 N 坐标为 (m,? 3m + 2 3 ) .∵ S ?PNA : S ?GNA = PN : GN .

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y ∴①若 PN︰GN=1︰2,则 PG︰GN=3︰2,PG=

3 GN. 2

P

E



3 2 4 3 m ? 3m + 2 3 = ( ? 3m + 2 3) . 6 3 2

N M C F O A

D

解得:m1=-3, m2=2(舍去).

3 2 4 15 当 m=-3 时, m ? 3m + 2 3 = 3. 6 3 2
∴此时点 P 的坐标为 ( ?3,

G

B

x

15 3) . 2

…………………………10 分

②若 PN︰GN=2︰1,则 PG︰GN=3︰1, PG=3GN. 即

3 2 4 m ? 3m + 2 3 = ( ? 3m + 2 3) 3 . 6 3

解得: m1 = ?12 , m2 = 2 (舍去).当 m1 = ?12 时, ∴此时点 P 的坐标为 (?12,42 3 ) . 综上所述,当点 P 坐标为 (?3, 分.

3 2 4 m ? 3m + 2 3 = 42 3 . 6 3

15 3 ) 或 (?12,42 3 ) 时,△PGA 的面积被直线 AC 分成 1︰2 两部 2
…………………12 分

124、 (2010 年山东省临沂市)25. (本小题满分 11 分) 如图 1,已知矩形 ABED,点 C 是边 DE 的中点,且 AB = 2AD. (1)判断△ABC 的形状,并说明理由; (2)保持图 1 中 ABC 固定不变,绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 2 中(当垂线段 AD、BE 在直 线 MN 的同侧) ,试探究线段 AD、BE、DE 长度之间有什么关系?并给予证明; (3)保持图 2 中△ABC 固定不变,继续绕点 C 旋转 DE 所在的直线 MN 到图 3 中的位置(当垂线段 AD、BE 在直线 MN 的异侧) .试探究线段 AD、BE、DE 长度之间有什么关系?并给予证明.

图1

图2 图3 第 25 题图

【解答】 解答】 25. [解] (1) △ABC 为等腰直角三角形。 如图 1,在矩形 ABED 中,∵点 C 是边 DE 的中点, 且 AB=2AD,∴AD=DC=CE=EB,∠D=∠E=90°, ∴Rt△ADC?Rt△BEC。∴AC=BC,∠1=∠2=45°, ∴∠ACB=90°,∴△ABC 为等腰直角三角形。
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(2) DE=AD+BE; 如图 2,在 Rt△ADC 和 Rt△CEB 中,∵∠1+∠CAD=90°,∠1+∠2=90°, ∴∠CAD=∠2。又∵AC=CB,∠ADC=∠CEB=90°,∴Rt△ADC?Rt△CEB。 ∴DC=BE,CE=AD,∴DC+CE=BE+AD,即 DE=AD+BE。 (3) DE=BE?AD。 如图 3,Rt△ADC 和 Rt△CEB 中,∵∠1+∠CAD=90°,∠1+∠2=90°, ∴∠CAD=∠2,又∵∠ADC=∠CEB=90°,AC=CB, ∴Rt△ADC?Rt△CEB,∴DC=BE,CE=AD,∴DC?CE=BE?AD, 即 DE=BE?AD。 E
D C 1 2 E M A 图1 B D 1 C N 2 E A 图2 B A M D C 1 2

N

B 图3

125、 (2010 年山东省临沂市)26. (本小题满分 13 分) 如图: 二次函数 y=﹣x2 + ax + b 的图象与 x 轴交于 A (1 , 2

0) ,B(2,0)两点,且与 y 轴交于点 C. (1)求该抛物线的解析式,并判断△ABC 的形状; (2)在 x 轴上方的抛物线上有一点 D,且 A、C、D、B 四点为顶点的四边形是等腰梯形,请直接写出 D 点的坐标; (3)在此抛物线上是否存在点 P,使得以 A、C、B、P 四点为顶点的四边形是直角梯形?若存在, 求出 P 点的坐标; 若不存在,说明理由.

C A B

第 26 题图

【解答】 解答】
26. [解] (1) 根据题意,将 A(?

? 1 1 1 ?? ? a + b = 0 ,0),B(2,0)代入 y= ?x2+ax+b 中,得 ? 4 2 ,解这个 2 ? ? 4 + 2a + b = 0 ? 3 3 方程,得 a= ,b=1,∴该拋物线的解析式为 y= ?x2+ x+1,当 x=0 时,y=1, 2 2 1 5 ∴点 C 的坐标为(0,1)。∴在△AOC 中,AC= OA2 + OC 2 = ( ) 2 + 12 = 。 2 2

在△BOC 中,BC= OB 2 + OC 2 = 2 2 + 12 = 5 。 1 5 5 25 AB=OA+OB= +2= ,∵AC 2+BC 2= +5= =AB 2,∴△ABC 是直角三角形。 2 2 4 4 3 (2) 点 D 的坐标为( ,1)。 2 y (3) 存在。由(1)知,AC⊥BC。 C 1 若以 BC 为底边,则 BC//AP,如图 1 所示,可求得直线 A 1 BC 的解析式为 y= ? x+1,直线 AP 可以看作是由直线 O 2 1 BC 平移得到的,所以设直线 AP 的解析式为 y= ? x+b, 2 1 1 把点 A(? ,0)代入直线 AP 的解析式,求得 b= ? , 2 4
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B x

P

1 1 x? 。∵点 P 既在拋物线上,又在直线 AP 上, 2 4 3 1 1 5 ∴点 P 的纵坐标相等,即?x2+ x+1= ? x? ,解得 x1= , y 2 2 4 2 C 1 5 3 5 3 x2= ? (舍去)。当 x= 时,y= ? ,∴点 P( ,? )。 A 2 2 2 2 2 O 2 若以 AC 为底边,则 BP//AC,如图 2 所示。 可求得直线 AC 的解析式为 y=2x+1。 直线 BP 可以看作是由直线 AC 平移得到的, 所以设直线 BP 的解析式为 y=2x+b,把点 B(2,0)代 入直线 BP 的解析式,求得 b= ?4, ∴直线 BP 的解析式为 y=2x?4。∵点 P 既在拋物线 上,又在直线 BP 上,∴点 P 的纵坐标相等, 3 5 即?x2+ x+1=2x?4,解得 x1= ? ,x2=2(舍去)。 2 2 5 5 当 x= ? 时,y= ?9,∴点 P 的坐标为(? ,?9)。 2 2 P 5 3 5 综上所述,满足题目条件的点 P 为( ,? )或(? ,?9)。 2 2 2
∴直线 AP 的解析式为 y= ?

Bx

126、 (2010 年山东省青岛市)23.(本题满分 10 分) 问题再现: 问题再现:现实生活中,镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见.在八年级课题学习 “平面图形的镶嵌”中,对于单种多边形的镶嵌,主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题.今 天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点,提出其中几个问题,共同来探究. .... 我们知道,可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面.如右图中,用正方形镶嵌 O 平面,可以发现在一个顶点 O 周围围绕着 4 个正方形的内角. 试想:如果用正六边形来镶嵌平面,在一个顶点周围应该围绕着 个 正六边形的内角. 问题提出: 问题提出: 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面,可能设计出几种不同的组合方案? 问题解决: 问题解决: 猜想 1:是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌? 分析:我们可以将此问题转化为数学问题来解决.从平面图形的镶嵌中可以发现,解决问题的关键在 于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点.具体地说,就是在镶嵌平面时,一个顶点周 围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角. 验证 1:在镶嵌平面时,设围绕某一点有 x 个正方形和 y 个正八边形的内角可以拼成一个周角.根据 题意,可得方程: (8 ? 2 ) × 180 y = 360 ,整理得: 2 x + 3 y = 8 , 90 x + 8 ? x =1 我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 ? . ?y = 2 结论 1:镶嵌平面时,在一个顶点周围围绕着 1 个正方形和 2 个正八边形的内角可以拼成一个周角, 所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌. 猜想 2:是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌?若能,请按照上述方 法进行验证,并写出所有可能的方案;若不能,请说明理由. 验证 2: 结论 2:
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. 上面, 我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况, 仅仅得到了一部分组合方案, 相信同学们用同样的方法,一定会找到其它可能的组合方案. 问题拓广 请你仿照上面的研究方式,探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案,并写出 验证过程. 猜想 3: . 验证 3: 结论 3: . 【解答】 解答】 23. (本小题满分 10 分) 解:3 个; ······· 1 分 验证 2:在镶嵌平面时,设围绕某一点有 a 个正三角形和 b 个正六边形的内角可以拼 成一个周角.根据题意,可得方程: 60a + 120b = 360 . 整理得: a + 2b = 6 , ?a = 2 ?a = 4 可以找到两组适合方程的正整数解为 ? 和? . ······ 3 分 ?b = 2 ? b = 1 结论 2:镶嵌平面时,在一个顶点周围围绕着 2 个正三角形和 2 个正六边形的内角或 者围绕着 4 个正三角形和 1 个正六边形的内角可以拼成一个周角,所以同时 用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌. ··· 5 分 猜想 3:是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶 嵌? ······· 6 分 验证 3:在镶嵌平面时,设围绕某一点有 m 个正三角形、n 个正方形和 c 个正六边形 的内角可以拼成一个周角. 根据题意,可得方程: 60m + 90n + 120c = 360 , 整理得: 2m + 3n + 4c = 12 , ?m = 1 ? 可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 ? n = 2 . ······· 8 分 ?c = 1 ? 结论 3:镶嵌平面时,在一个顶点周围围绕着 1 个正三角形、2 个正方形和 1 个正六边形的内角可 以拼成一个周角, 所以同时用正三角形、 正方形和正六边形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. (说明: 本题答案不惟一,符合要求即可.) ······· 10 分

127、 (2010 年山东省青岛市)24.(本题满分 12 分)已知:把 Rt△ABC 和 Rt△DEF 按如图(1)摆放(点 C 与点 E 重合) ,点 B、C(E) F 在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = 8 cm, 、 BC = 6 cm,EF = 9 cm. 如图(2) DEF 从图(1)的位置出发,以 1 cm/s 的速度沿 CB 向△ABC 匀速移动,在△DEF 移动的 ,△ 同时,点 P 从△ABC 的顶点 B 出发,以 2 cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移动.当△DEF 的顶点 D 移动到 AC 边上时,△DEF 停止移动,点 P 也随之停止移动.DE 与 AC 相交于点 Q,连接 PQ,设移动时间为 t(s) (0 <t<4.5) .解答下列问题: (1)当 t 为何值时,点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上? 2 (2)连接 PE,设四边形 APEC 的面积为 y(cm ) ,求 y 与 t 之间的函数关系式;是否存在某一时刻 t,
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使面积 y 最小?若存在,求出 y 的最小值;若不存在,说明理由. (3)是否存在某一时刻 t,使 P、Q、F 三点在同一条直线上?若存在,求出此时 t 的值;若不存在, 说明理由. (图(3)供同学们做题使用) A A D P Q B 解: (1) (2) (3) ( C E)
图(1)

D

F

B

E

C

F

图(2)

A

B
图(3)

C

(用圆珠笔或钢笔画图) 【解答】 解答】 24. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上, ∴AP = AQ. ∵∠DEF = 45°,∠ACB = 90°,∠DEF+∠ACB+∠EQC = 180°, ∴∠EQC = 45°. ∴∠DEF =∠EQC. ∴CE = CQ. 由题意知:CE = t,BP =2 t, ∴CQ = t. ∴AQ = 8-t. 在 Rt△ABC 中,由勾股定理得:AB = 10 cm . 则 AP = 10-2 t. ∴10-2 t = 8-t. 解得:t = 2. ····· 4 分 答:当 t = 2 s 时,点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上. A (2)过 P 作 PM ⊥ BE ,交 BE 于 M, ∴ ∠BMP = 90° . AC PM D 在 Rt△ABC 和 Rt△BPM 中, sin B = = , P AB BP PM 8 8 Q ∴ = . ∴PM = t . 2t 10 5 B F M E C ∵BC = 6 cm,CE = t, ∴ BE = 6-t. 图(2) 1 1 1 1 8 ∴y = S△ABC-S△BPE = BC ? AC - BE ? PM = × 6 × 8 - × ( 6 ? t ) × t 2 2 2 2 5 4 24 4 84 2 = t 2 ? t + 24 = ( t ? 3) + . 5 5 5 5 4 ∵ a = > 0 ,∴抛物线开口向上. 5
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∴当 t = 3 时,y 最小=

84 . 5

84 2 cm . ··· 8 分 5 (3)假设存在某一时刻 t,使点 P、Q、F 三点在同一条直线上. 过 P 作 PN ⊥ AC ,交 AC 于 N, ∴ ∠ANP = ∠ACB = ∠PNQ = 90° . A ∵ ∠PAN = ∠BAC ,∴△PAN ∽△BAC. PN AP AN ∴ = = . D BC AB AC PN 10 ? 2t AN ∴ = = . P NQ 6 10 8 6 8 B ∴ PN = 6 ? t , AN = 8 ? t . F E C 5 5 图(3) ∵NQ = AQ-AN, 8 3 ∴NQ = 8-t-( 8 ? t ) = t . 5 5 、 ∵∠ACB = 90°,B、C(E) F 在同一条直线上, ∴∠QCF = 90°,∠QCF = ∠PNQ. ∵∠FQC = ∠PQN, ∴△QCF∽△QNP . 6 3 6? t t PN NQ 5 =5 . ∴ = . ∴ FC CQ 9?t t 6 6? t 5 =3 ∵ 0 < t < 4.5 ∴ 9?t 5 解得:t = 1. 答:当 t = 1s,点 P、Q、F 三点在同一条直线上. 12 分

答:当 t = 3s 时,四边形 APEC 的面积最小,最小面积为

128、 (2010 年山东省日照市)23.(本题满分 10 分) 如图,小明在一次高尔夫球争霸赛中,从山坡下 O 点打出一球向球洞 A 点飞去,球的飞行路线为抛物 线,如果不考虑空气阻力,当球达到最大水平高度 12 米时,球移动的水平距离为 9 米 .已知山坡 OA 与 水平方向 OC 的夹角为 30o,O、A 两点相距 8 3 米. (1)求出点 A 的坐标及直线 OA 的解析式; (2)求出球的飞行路线所在抛物线的解析式; (3)判断小明这一杆能否把高尔夫球从 O 点直接打入球洞 A 点 .

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【解答】 解答】 23. (本题满分 10 分) . 解: (1)在 Rt△AOC 中, ∵∠AOC=30 o ,OA=8 3 , ∴AC=OA·sin30o=8 3 ×

1 =4 3 , 2 3 =12. OC=OA·cos30o=8 3 × 2
…………………………………2 分

∴点 A 的坐标为(12, 4 3 ) .

设 OA 的解析式为 y=kx,把点 A(12, 4 3 )的坐标代入得:

4 3 =12k ,
∴k=

3 , 3 3 x; …………………… ……………………4 分 3

∴OA 的解析式为 y=

(2) ∵顶点 B 的坐标是(9,12), 点 O 的坐标是(0,0) ∴设抛物线的解析式为 y=a(x-9) 2 +12,…………………………………6 分 把点 O 的坐标代入得: 0=a(0-9) 2 +12,解得 a= ? ∴抛物线的解析式为 y= ? 及 y= ?

4 , 27

4 (x-9) 2 +12 27

4 2 8 x + x; …………………………………………………8 分 27 3 32 (3) ∵当 x=12 时,y= ≠ 4 3, 3
∴小明这一杆不能把高尔夫球从 O 点直接打入球洞 A 点. …………10 分 129、 (2010 年山东省日照市)24.(本题满分 10 分) 如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 交 AC 与 E,交 BC 与 D. 求证: (1)D 是 BC 的中点; (2)△BEC∽△ADC; (3)BC2=2AB·CE.

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【解答】 解答】 24. (本题满分 10 分) (1)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ADB=90° , 即 AD 是底边 BC 上的高. ………………………………………1 分 又∵AB=AC,∴△ABC 是等腰三角形, ∴D 是 BC 的中点;………… ……………………………………………3 分 (2) 证明:∵∠CBE 与∠CAD 是同弧所对的圆周角, ∴ ∠CBE=∠CAD.…………………………………………………5 分 又∵ ∠BCE=∠ACD, ∴△BEC∽△ADC;…………………………………………………6 分 (3)证明:由△BEC∽△ADC,知

CD CE = , AC BC

即 CD·BC=AC·CE. …………………………………………………8 分 ∵D 是 BC 的中点,∴CD=

1 BC. 2 1 BC ·BC=AB·CE 2

又 ∵AB=AC,∴CD·BC=AC·CE=

即 BC 2 =2AB·CE.……………………………………………………10 分

130、 (2010 年山东省泰安市)25. (本小题满分 10 分) 如图,△ABC 是等腰直角三角形,∠A=90°,点 P、Q 分别 是 AB、AC 上的一动点,且满足 BP=AQ,D 是 BC 的中点. (1)求证:△PDQ 是等腰直角三角形; (2)当点 P 运动到什么位置时,四边形 APDQ 是正方形,并说明 理由。 【解答】 解答】 25. (本小题满分 10 分) 解: (1)证明:连结 AD ∵△ABC 是等腰直角三角形,D 是 BC 的中点 ∴AD⊥BC,AD=BD=DC,∠DAQ=∠B 又∵BP=AQ ∴△BPD≌△AQD ∴PD=QD,∠ADQ=∠BDP ∵∠BDP+∠ADP=90° ∴∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90° ∴△PDQ 为等腰直角三角形 (6 分) (4 分) (2 分)

(2)当 P 点运动到 AB 的中点时,四边形 APDQ 是正方形
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由(1)知△ABD 为等腰直角三角形 当 P 为 AB 的中点时,DP⊥AB,即∠APD=90° 又∵∠A=9 0°,∠PDQ=90° ∴四边形 APDQ 为矩形 又∵DP=AP= (8 分)

1 AB 2
(10 分)

∴四边形 APDQ 为正方形

131、 (2010 年山东省泰安市)26. (本小题满分 10 分) 如图,△ABC 是等腰三角形,AB=AC,以 AC 为直径的⊙O 与 BC 交于点 D,DE⊥AB,垂足为 E,ED 的延长线与 AC 的延长线交 于点 F。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为 2,BE=1,求 cosA 的值. 【解答】 26. (本小题满分 10 分) 解: (1)证明:连结 AD、OD ∵AC 是直径 ∴AD⊥BC ∵AB=AC, (2 分)[来源:Z,xx,k.Com] [∴D 是 BC 的中点,

又∵O 是 AC 的中点 ∴OD//AB ∵DE⊥AB, (4 分) ∴OD⊥DE (6 分)

∴DE 是⊙O 的切线 (2)由( 1 )知 OD//AE

FO OD = (8 分) FA AE FC + OC OD FC + 2 2 ∴ = , ∴ = ,解得 FC=2 ,∴AF=6 FC + AC AB ? BE FC + 4 4 ? 1 AE AB ? BE 4 ? 1 1 ∴cosA= = = = (10 分) AF AF 6 2


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132、 (2010 年山东省威海市)24. (11 分) 如图①,将一张矩形纸片对折,然后沿虚线剪切,得到两个(不等边)三角形纸片△ABC,△A1B1C1.
A A1

C

C1

B (图①)

B1

﹙1﹚将△ABC,△A1B1C1 如图②摆放,使点 A1 与 B 重合,点 B1 在 AC 边的延长线上,连接 CC1 交 BB1 于点 E.求证:∠B1C1C=∠B1BC.
C1 E B(A1)

B1





C

A

﹙2﹚若将△ABC, 1B1C1 如图③摆放, △A 使点 B1 与 B 重合, A1 在 AC 边的延长线上, 点 连接 CC1 交 A1B 于点 F.试判断∠A1C1C 与∠A1BC 是否相等,并说明理由.
B(B1) C1 F A1 C A





﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC 相似的三角形 【解答】 解答】 24. (本小题满分 11 分) (1)证明:由题意,知△ABC≌△A1B1C1, ∴ AB= A1B1,BC1=AC,∠2=∠7,∠A=∠1. ∴ ∠3=∠A=∠1. ……………………………1 分 ∴ BC1∥AC. ∴ 四边形 ABC1C 是平行四边形. ………………2 分 ∴ AB∥CC1. ∴ ∠4=∠7=∠2. …………………………………3 分 ∵ ∠5=∠6, ∴ ∠B1C1C=∠B1BC.……………………………4 分 ﹙2﹚∠A1C1C =∠A1BC. …………………………5 分 理由如下:由题意,知△ABC≌△A1B1C1, ∴ AB= A1B1,BC1=BC,∠1=∠8,∠A=∠2. ∴ ∠3=∠A,∠4=∠7. ………………………6 分 ∵ ∠1+∠FBC=∠8+∠FBC, ∴ ∠C1BC=∠A1BA. …………………………7 分
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C1 1 5 2 3 B1 图 ② 6 E

B(A1) 7 4 C A

B(B1) C1 2 3 A1 图 ③ 7 5 1 F 6 4 C A 8

1 1 2 (180°-∠C1BC),∠A= 2 (180°-∠A1BA). ∵ ∠4= ∴ ∠4=∠A. …………………………………8 分 ∴ ∠4=∠2. ∵ ∠5=∠6, ∴ ∠A1C1C=∠A1BC.……………………………………………………………………9 分 ﹙3﹚△C1FB,…………10 分; △A1C1B,△ACB.…………11 分﹙写对一个不得分)
133、 (2010 年山东省威海市)25.(12 分) (1)探究新知: ①如图,已知 AD∥BC,AD=BC,点 M,N 是直线 CD 上任意两点. 求证:△ABM 与△ABN 的面积相等.
M D N C

A 图 ①

B

②如图, 已知 AD∥BE, AD=BE, AB∥CD∥EF, M 是直线 CD 上任一点, G 是直线 EF 上任一点. 点 点 试 判断△ABM 与△ABG 的面积是否相等,并说明理由.
M D C

A

B

F

G 图 ②

E

(2)结论应用:
2

如图③,抛物线 y = ax + bx + c 的顶点为 C(1,4) ,交 x 轴于点 A(3,0) ,交 y 轴于点 D.试探究 在抛物线 y = ax + bx + c 上是否存在除点 C 以外的点 E,使得△ADE 与△ACD 的面积相等? 若存在,请 求出此时点 E 的坐标,若不存在,请说明理由. ﹙友情提示:解答本问题过程中,可以直接使用“探究新知”中的结论.﹚
2

y D

C

y D

C

B

O 图 ③

A

x

B

O 备用图

A

x

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【解答】 解答】 25. (本小题满分 12 分) ﹙1﹚①证明:分别过点 M,N 作 ME⊥AB,NF⊥AB,垂足分别为点 E,F. ∵ AD∥BC,AD=BC, D N C M ∴ 四边形 ABCD 为平行四边形. ∴ AB∥CD. ∴ ME= NF. 1 1 E A F B AB ? ME AB ? NF 图 ① 2 2 ∵ S△ABM= ,S△ABN= , ∴ S△ABM= S△ABN. ……………………………………………………………………1 分 ②相等.理由如下:分别过点 D,E 作 DH⊥AB,EK⊥AB,垂足分别为 H,K. 则∠DHA=∠EKB=90°. M D C ∵ AD∥BE, ∴ ∠DAH=∠EBK. ∵ AD=BE, K B A ∴ △DAH≌△EBK. H ∴ DH=EK. ……………………………2 分 ∵ CD∥AB∥EF, F G E 1 1 图 ② AB ? DH AB ? EK ,S△ABG= 2 , ∴ S△ABM= 2 ∴ S△ABM= S△ABG. …………………………………………………………………3 分 ﹙2﹚答:存在. …………………………………………………………………………4 分
2 解:因为抛物线的顶点坐标是 C(1,4),所以,可设抛物线的表达式为 y = a( x ? 1) + 4 .

又因为抛物线经过点 A(3,0),将其坐标代入上式,得 0 = a(3 ? 1) + 4 ,解得 a = ?1 .
2
2 2 ∴ 该抛物线的表达式为 y = ?( x ? 1) + 4 ,即 y = ? x + 2 x + 3 . ………………………5 分 ∴ D 点坐标为(0,3) . 设直线 AD 的表达式为 y = kx + 3 ,代入点 A 的坐标,得 0 = 3k + 3 ,解得 k = ?1 .

∴ 直线 AD 的表达式为 y = ? x + 3 . 过 C 点作 CG⊥x 轴,垂足为 G,交 AD 于点 H.则 H 点的纵坐标为 ?1 + 3 = 2 . ∴ CH=CG-HG=4-2=2. …………………………………………………………6 分
2 设点 E 的横坐标为 m,则点 E 的纵坐标为 ? m + 2m + 3 .

过 E 点作 EF⊥x 轴,垂足为 F,交 AD 于点 P,则点 P 的纵坐标为 3 ? m ,EF∥CG. 由﹙1﹚可知:若 EP=CH,则△ADE 与△ADC 的面积相等. y C ①若 E 点在直线 AD 的上方﹙如图③-1﹚,
2 则 PF= 3 ? m ,EF= ? m + 2m + 3 .
2 2 ∴ EP=EF-PF= ? m + 2m + 3 ? (3 ? m) = ? m + 3m .

E D H P B O G F A x

2 ∴ ? m + 3m = 2 . 解得 m1 = 2 , m2 = 1. ……………………………7 分

当 m = 2 时,PF=3-2=1,EF=1+2=3. 图 ③-1 ∴ E 点坐标为(2,3) . 同理 当 m=1 时,E 点坐标为(1,4) ,与 C 点重合. ………………………………8 分 ②若 E 点在直线 AD 的下方﹙如图③-2,③-3﹚, 2 2 则 PE = (3 ? m) ? (? m + 2m + 3) = m ? 3m . ……………………………………………9 分 ∴ m ? 3m = 2 .解得
2

m3 =

3 + 17 3 ? 17 m4 = 2 2 , .

………………………………10 分

第 23 页 共 27 页



m= m=

3 + 17 3 + 17 1 + 17 3? ?2=? 2 2 2 时,E 点的纵坐标为 ;

3 ? 17 3 ? 17 ? 1 + 17 3? ?2= 2 2 2 当 时,E 点的纵坐标为 . ∴ 在抛物线上存在除点 C 以外的点 E,使得△ADE 与△ACD 的面积相等,E 点的坐标为 E1(2,3) ; 3 + 17 1 + 17 3 ? 17 ? 1 + 17 ,? ) E3 ( , ) 2 2 2 2 ; . ﹙其他解法可酌情处理﹚ E2 (
y P D E B FO H D H F G A x B O G A P E x C

………………12 分

y

C

图③-2

图③-3

134、2010 年山东省潍坊市) (本题满分 11 分) ( 23. 如图, 已知正方形 OABC 在直角坐标系 xOy 中, A、C 点 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上,点 O 在坐标原点.等腰直 角 三 角 板 OEF 的 直 角 顶 点 O 在 原 点 , E、F 分 别 在 OA、OC 上,且 OA = 4,OE = 2. 将三角板 OEF 绕 O 点逆时针旋转至 OE1 F1 的位置,连结 CF1,AE1. (1)求证: △OAE1 ≌△OCF1. (2) 若三角板 OEF 绕 O 点逆时针旋转一周, 是否存在某 请求出此时 E 点的坐标; 一位置, 使得 OE ∥ CF . 若存在, 若不存在,请说明理由. 【解答】 解答】 23. (本小题满分 11 分) (1)证明:∵四边形 OABC 为正方形,∴ OC = OA, ∵三角板 OEF 是等腰直角三角形,∴ OE1 = OF1 又三角板 OEF 绕 O 点逆时针旋转至 OE1 F1 的位置时,

∠AOE1 = ∠COF1
∴ △OAE1 ≌△OCF1. …………3 分

第 24 页 共 27 页

(2)存在. …………4 分 ∵ OE ⊥ OF, ∴过点 F 与 OE 平行的直线有且只有一条,并与 OF 垂直, 又当三角板 OEF 绕 O 点逆时针旋转一周时,则点 F 在以 O 为圆心,以 OF 为半径的圆上, ·····························································································5 分 ∴过点 F 与 OF 垂直的直线必是圆 O 的切线,又点 C 是圆 O 外一点,过点 C 与圆 O 相切的直线有且只有 2 条,不妨设为 CF1 和 CF2, 此时, E 点分别在 E1 点和 E2 点,满足

CF1 ∥ OE1,CF2 ∥ OE2, ······································································································7 分
当切点 F1 在第二象限时,点 E1 在第一象限, 在直角三角形 CF1O 中, OC = 4,OF1 = 2, ∠COF1 = cos

OF1 1 = , OC 2

∴ ∠COF1 = 60° ∠AOE1 = 60° , ∴ ,∴点 E1 的横坐标为: xE1 = 2 cos 60° 1, = 点 E1 的纵坐标为: yE1 = 2 sin 60° =

3,

∴点 E1 的坐标为 1,3 . ·······································································································9 分 当切点 F2 在第一象限时,点 E2 在第四象限, 同理可求:点 E2 的坐标为 1, 3 . ? 综上所述,三角板 OEF 绕 O 点逆时针旋转一周,存在两个位置,使得 OE ∥ CF, 此时点 E 的坐标为

(

)

(

)

E1 1,3 或 E2 1, 3 . ···································································································· 11 分 ?

(

)

(

)

135、 (2010 年山东省潍坊市)24. (本题满分 12 分)如图所示, 抛物线与 x 轴交于点 A ( ?1,) 、B ( 3,) 两点,与 y 轴交于点 0 0

C ( 0, 3) . 以 AB 为直径作 ⊙M , ? 过抛物线上一点 P 作 ⊙M 的
切 线 PD, 点 为 D, 与 ⊙M 的 切 线 AE 相 交 于 点 E, 结 切 并 连 DM 并延长交 ⊙M 于点 N, AN、AD. 连结 (1)求抛物线所对应的函数关系式及抛物线的顶点坐标; (2)若四边形 EAMD 的面积为 4 3, 求直线 PD 的函数关系式; (3)抛物线上是否存在点 P ,使得四边形 EAMD 的面积等于 △DAN 的面积?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理 由.

第 25 页 共 27 页

【解答】 解答】 24. (本题满分 12 分)

0 0 解 : 1 ) 因 为 抛 物 线 与 x 轴 交 于 点 A ( ?1,) 、B ( 3,) 两 点 , 设 抛 物 线 的 函 数 关 系 式 为 : ( y = a ( x + 1)( x ? 3),
∵抛物线与 y 轴交于点 C ( 0, 3 ), ? ∴ ?3 = a ( 0 + 1)( 0 ? 3), ∴ a = 1. 所以,抛物线的函数关系式为: y = x 2 ? 2 x ? 3, ·································································2 分 又 y = ( x ? 1) ? 4,
2

? ·····················································································3 分 因此,抛物线的顶点坐标为 (1, 4 ).
(2)连结 EM , EA、ED 是 ⊙M , ∵ 的两条切线, ∴ EA = ED,EA ⊥ AM ,ED ⊥ MN, △EAM ≌△EDM ∴ ∴ ∴ 又四边形 EAMD 的面积为 4 3, S△ EAM = 2 3, 又 AM = 2, AE = 2 3. ∴ 因此,点 E 的坐标为 E1 ?1 2 3 或 E2 ?1 ? 2 3 . ·························································5 分 , , 当 E 点在第二象限时,切点 D 在第一象限. 在直角三角形 EAM 中, tan ∠EMA = ∴ ∠EMA = 60°∴ ∠DMB = 60° , 过切点 D 作 DF ⊥ AB, 垂足为点 F, ∴ MF = 1,DF =

1 AM· = 2 3, AE 2

(

)

(

)

EA 2 3 = = 3, AM 2

3

因此,切点 D 的坐标为 2,3 . ····························································································6 分 设直线 PD 的函数关系式为 y = kx + b, E ?1, 3 、D 2,3 的坐标代入得 将 2

(

)

(

)

(

)

? 3 ?k = ? ? 3 = 2k + b ? ? 3 解之,得 ? ? ?2 3 = ?k + b ?b = 5 3 ? ? 3 ?
所以,直线 PD 的函数关系式为 y = ?

3 5 3 x+ . ···························································7 分 3 3

当 E 点在第三象限时,切点 D 在第四象限.
第 26 页 共 27 页

同理可求:切点 D 的坐标为 2,- 3 , 直线 PD 的函数关系式为 y = 因此,直线 PD 的函数关系式为

(

)

3 5 3 x? . 3 3

y=?

3 5 3 3 5 3 x+ 或y= x? . ················································································8 分 3 3 3 3

(3)若四边形 EAMD 的面积等于 △DAN 的面积 又 S四边形EAMD = 2 S△ EAM ,S△ DAN = 2 S△ AMD ∴ S△ AMD = S△ EAM ∴ E、D 两点到 x 轴的距离相等, ∵ PD 与 ⊙M 相切,∴点 D 与点 E 在 x 轴同侧, ∴切线 PD 与 x 轴平行, 此时切线 PD 的函数关系式为 y = 2 或 y = ?2. ······················································································· 9 分 当 y = 2 时,由 y = x 2 ? 2 x ? 3 得, x = 1 ± 6; 当 y = ?2 时,由 y = x 2 ? 2 x ? 3 得, x = 1 ± 2 . ····························································· 11 分 故满足条件的点 P 的位置有 4 个,分别是 P 1 + 6, 、P2 1 ? 6, 、P 1 + 2, 2 、 2 2 ? 1 3

(

)

(

)

(

)

P4 1 ? 2, 2 . ··················································································································· 12 分 ?

(

)

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