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陕西省西安市第六十六中学2011届高三高考数学基础知识训练(10)



备考 2011 高考数学基础知识训练(10) 班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______ 一、填空题(每题 5 分,共 70 分) 1.幂函数 y ? f ( x) 的图象经过点 (?2, ? 1 ) ,则满足 f ( x) =27 的 x 的值是__________. 8

2.若复数 z(1 ? i) ? 2i, 其中i 是虚数单位,则复数 z=__________.

3.若 ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x 的值是__________.

4.在 ?ABC 中, a ? 5, b ? 8, C ? 60? ,则 BC ? CA 的值为__________.

5.已知向量 a ? ? 2,1? , b ? ? 3, ? ?? ? ? 0 ? ,若 2a ? b ? b ,则 ? =__________.

?

?

?

? ?

?

?

6.已知 0 ? ? ?

3 ? 3 ? , cos( ? ? ) ? ,则 tan ? ? __________. 4 4 5

7.若复数 z 满足|z| - z =

10 ,则 z =__________. 1 ? 2i

8.已知向量 a, b 满足 | a |? 3,| b |? 5,| a ? b |? 7 ,则 a, b 的夹角为__________.

?

?

? ?

9.函数 y ? 2sin(

?
6

? 2 x)( x ? ?0, ? ?) 为增函数的区间是__________.

10.在△ABC 中,BC=1, ?B ?

?
3

,当△ABC 的面积等于 3 时, tan C ? __________.

11.若 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 1 在 [1, 2] 上是单调函数,则 a 的取值范围是__________.

?? ?? ?? 12.在△ABC 中,O 为中线 AM 上一个动点,若 AM=4,则 OA ?( OB + OC )的最小值是 __________.

13.已知函数 f ?x? ? mx2 ? ln x ? 2 x 在定义域内是增函数,则实数 m 的取值范围 为__________.

?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 1? 14. 已知 a ? 2 b ? 0 , 且关于 x 的函数 f(x)= x3 ? a x 2 ? a ? bx 在 R 上有极值, a 与 b 则
3 2
的夹角范围为__________.

二、解答题(共 90 分,写出详细的解题步骤) 15. (14 分)设非零向量 e1与e2 不共线 (1)如果 AB ? e1 ? e2 , BC ? 2e1 ? 8e2, ? 3e1 ? 3e2 , 求证:A、B、D 三点共线. CD
? ?? ? ?

??? ?

??

?? ??? ? ?

??

?? ??? ? ?

??

?? ?

? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2)若 e1 =2,2 ? 3,与 2 的夹角为 60 ,是否存在实数 m,使得 me1 +e2 与 e1 -e2 e e1 e

?

? ?

?

垂直?并说明理由

??? ??? ? ? ???? 3) 4) 8) 16. (14 分)已知点 A(2,,B(5,,C (10, ,若 AP ? AB ? ? AC (? ?R) ,求当点 P 在第二

象限时, ? 的取值范围.

17.(15 分)已知函数 f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1, x ?R. (1)求函数 f ( x) 的最小正周期; (2)求函数 f ( x) 在区间 ? ,

? ? 3? ? ? 上的最小值和最大值. ?8 4 ?

18.(15 分)在 △ ABC 中,已知∠ A ?

? , BC ? 2 3 .设∠ B ? x ,周长为 y . ?

(1) 求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域; (2) 求 y 的最大值.

19.(16 分)已知向量 a ? (cos (1) a ? b 及 | a ? b | ;

3 3 x x ? x, sin x), b ? (cos ,? sin ), 且 x ? [0, ] ,求: 2 2 2 2 2

(2) 若 f ( x) ? a ? b ? 2? | a ? b | 的最小值是 ?

3 ,求 ? 的值. 2

20. (16 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? | x | ?2a ? 1 ( a 为实常数) . (1)若 a ? 1 ,作函数 f (x) 的图像; (2)设 f (x) 在区间 [1 , 2] 上的最小值为 g (a ) ,求 g (a ) 的表达式; (3)设 h( x ) ?

f ( x) ,若函数 h(x) 在区间 [1 , 2] 上是增函数,求实数 a 的取值范围. x

参考答案 一、填空题: 1、 1 ; 3 4、-20; 7、3+4i; 10、 ?2 3 ; 13、 m≥
1 2

2、 1 ? i ; 5、3; 8、

3、1;

2? ; 3

1 ; 7 ? 5? ]; 9、 [ , 3 6
6、 12、-8

11、 a ? ?2 或 a ? ?1 ; 14、 (

?
3

,? ]

17. (1) f ( x) ? 2 cos x(sin x ? cos x) ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin ? 2 x ? 因此,函数 f ( x) 的最小正周期为 ? . (2) 因为 f ( x) ? 2 sin ? 2 x ?

? ?

?? ?. 4?

? ?

??

? ? 3? ? ? 在区间 ? , ? 上为增函数, 4? ?8 8 ?

在区间 ?

? 3? 3? ? , ? 上为减函数, ?8 4?

又f?

? ?? ? ? 3? ? ? 3? ? ? 3? ? ? ? ? ? ? 2 cos ? ?1, ? ? 0, f ? ? ? 2, f ? ? ? 2 sin ? 4 ?8? ? 8 ? ? 4 ? ? 2 4?

故函数 f ( x) 在区间 ? ,

? ? 3? ? ? 上的最大值为 2, 最小值为 ?1. ?8 8 ?

19、解: (1) a ? b ? cos

3 x 3 x x ? cos ? sin x ? sin ? cos 2 x , 2 2 2 2

3 x 3 x | a ? b | ? (cos x ? cos ) 2 ? (sin x ? sin ) 2 ? 2 ? 2 cos2x ? 2 cos2 x , 2 2 2 2
因为 x ? [0,

?
2

] ,所以 cos x ? 0 ,所以 | a ? b |? 2 cos x .

(2) f ( x) ? cos 2 x ? 4? cos x ,即 f ( x) ? 2(cos x ? ? ) 2 ?1 ? 2?2

? x ? [0, ], ? 0 ? cos x ? 1. 2
①当 ? ? 0 时,当且仅当 cos x ? 0 时, f (x) 取得最小值-1,这与已知矛盾;
2 ②当 0 ? ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? ? 时, f (x) 取得最小值 ? 1 ? 2? ,由已知得

?

? 1 ? 2? 2 ? ?

3 1 ,解得 ? ? ; 2 2

③当 ? ? 1 时,当且仅当 cos x ? 1 , f (x) 取得最小值 1 ? 4? ,由已知得 1 ? 4? ? ? 解得 ? ?

3 , 2

5 1 ,这与 ? ? 1 相矛盾.综上所述, ? ? 为所求. 8 2
y

10

5

1 -3 -2 -1 O 1 2 3

x

2a ? 1 ? 1 ,在区间 [1 , 2] 上任取 x1 , x2 ,且 x1 ? x 2 , x ? ? 2a ? 1 ? ? 2a ? 1 ? 2a ? 1 ? ? ? 1? ? ? ax1 ? ? 1? ? ( x 2 ? x1 )? a ? 则 h( x 2 ) ? h( x1 ) ? ? ax 2 ? ? ? ? ? ? x2 x1 x1 x 2 ? ? ? ? ? ? ? ax x ? (2a ? 1) .……(12 分) ? ( x2 ? x1 ) ? 1 2 x1 x2 因为 h(x) 在区间 [1 , 2] 上是增函数,所以 h( x2 ) ? h( x1 ) ? 0 ,
(3)当 x ? [1 , 2] 时, h( x ) ? ax ?

因为 x2 ? x1 ? 0 , x1 x2 ? 0 ,所以 ax1 x2 ? (2a ? 1) ? 0 ,即 ax1 x2 ? 2a ? 1 , 当 a ? 0 时,上面的不等式变为 0 ? ?1 ,即 a ? 0 时结论成立.……(13 分) 当 a ? 0 时, x1 x 2 ?

2a ? 1 2a ? 1 ? 1 ,解得 0 ? a ? 1 ,…(14 分) ,由 1 ? x1 x2 ? 4 得, a a 2a ? 1 2a ? 1 1 ? 4 ,解得 ? ? a ? 0 , 当 a ? 0 时, x1 x 2 ? ,由 1 ? x1 x2 ? 4 得, (15 分) a a 2 ? 1 ? 所以,实数 a 的取值范围为 ?? ,1? .……(16 分) ? 2 ?



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