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1.3三角函数的诱导公式(教师版)



1.3 三角函数的诱导公式

? 知识要点
一、三角函数诱导公式表格: 公式 公式一 sin(α+k·2π)=sinα cos(α+k·2π)=cosα tan(α+k·2π)=tanα, 其中 k∈Z. 总结: 二、利用三角函数解题步骤 公式二 sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα. 公式三 sin

(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα. 公式四 sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα 公式五 公式六

? -α)=sinα, 2 ? sin( -α)=cosα. 2
cos(

? +α)=cosα, 2 ? cos( +α)=-sinα. 2
Sin(

? 任意负角的三角函数 ????? 相应的正角的三角函数 ?? ? 0 到 2π 角的三角函数
公式三或一 公式一

?公式二 、?? 锐角的三角函数 ?查表 ? 三角函数 ?? 四 ? ?

? 典型剖析
题型一、求三角函数值
例题1. 利用公式求下列三角函数值:

(1)cos225° ;(2)sin

11? 16? ;(3)sin( ? );(4)cos(-2 040° ). 3 3

活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正 确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题. 解:(1)cos225° =cos(180° +45° )=-cos45° ? =

2 ; 2

(2)sin

3 11? ? ? =sin(4π ? )=-sin = ? ; 2 3 3 3

(3)sin( ?

16? 16? ? )=-sin =-sin(5π+ ) 3 3 3

=-(-sin

3 ? )= ; 2 3

(4)cos(-2 040° )=cos2 040° =cos(6× 360° -120° ) =cos120° =cos(180° ) -60° =-cos60° ? =

1 . 2

例题2. 化简 cos315° +sin(-30° )+sin225° +cos480° . 活动:这是要求学生灵活运用诱导公式进行变形、求值与证明的题目.利用诱导公式将有关角 的三角函数化为锐角的三角函数,再求值、合并、约分. 解:cos315° +sin(-30° )+sin225° +cos480° =cos(360° )-sin30° -45° +sin(180° +45° )+cos(360° +120° ) =cos(-45° ? ) =cos45° ?

1 -sin45° +cos120° 2

2 1 +cos(180° ) -60° ? 2 2

=

2 1 2 -cos60° =-1. ? ? 2 2 2

点评:利用诱导公式化简,是进行角的转化,最终达到统一角或求值的目的. 变式训练 1. 化简:

1 ? 2 sin 290 ? cos 430 ? sin 250 ? ? cos 790 ?

1 ? 2 sin 290 ? cos 430 ? 解: sin 250 ? ? cos 790 ?
=

1 ? 2 sin(360 ? ? 70 ? ) cos(360 ? ? 70 ? ) sin(180 ? ? 70 ? ) ? cos(720 ? ? 70 ? )

=

1 ? 2 sin 70 ? cos 70 ? | cos 70 ? ? sin 70 ? | ? ? sin 70 ? ? cos 70 ? cos 70 ? ? sin 70 ?
sin 70 ? ? cos 70 ? ? ?1 . cos 70 ? ? sin 70 ?
求证:

=

2.

tan(2? ? ? ) sin(2? ? ? ) cos(6? ? ? ) ? tan? . (? cos? ) sin(5? ? ? )

分析:利用诱导公式化简较繁的一边,使之等于另一边. 证明:左边=

tan(2? ? ? ) sin(2? ? ? ) cos(6? ? ? ) (? cos? ) sin(5? ? ? )

=

tan(?? ) sin(?? ) cos(?? ) (? cos? ) sin(? ? ? )

=

tan? sin ? cos? =tanθ=右边. cos? sin ?

所以原式成立. 规律总结:证明恒等式,一般是化繁为简,可以化简一边,也可以两边都化简.

例题3.

? 11? sin(2? ? a) cos(? ? a) cos( ? a) cos( ? a) 2 2 化简 . 9? cos(? ? a) sin(3? ? a) sin(?? ? a) sin( ? a) 2
?
2

活动:仔细观察题目中的角,哪些是可以利用公式二—四的,哪些是可以利用公式五、六的.认 真应用诱导公式,达到化简的目的.

(? sin a)( ? cos a)( ? sin a) cos[5? ? (
解:原式=

? a)]

(? cos a) sin(? ? a)[ ? sin(? ? a)] sin[4? ? ( ? sin 2 a cos a[? cos( ? a)] 2 (? cos a) sin a[?(? sin a)] sin( ? a) 2
例题4.

?
2

? a)]

?

=

?

=

? sin a =-tanα. cos a

已知 sinα 是方程 5x2-7x-6=0 的根,且 α 为第三象限角,

sin(a ?


3? 3? ) ? sin( ? a) ? tan 2 (2? ? a) ? tan(? ? a) 2 2 的值. cos( ? a) ? cos( ? a) 2 2

?

?

活动:教师引导学生先确定 sinα 的值再化简待求式,从而架起已知与未知的桥梁. 解:∵5x2-7x-6=0 的两根 x=2 或 x= ? ∵-1≤x≤1,∴sinα= ?

3 , 5

3 . 5
2

又∵α 为第三象限角,∴cosα= - 1 - sin = ? ∴tanα=

4 . 5

3 . 4

∴原式=

(? cos a) ? (? cos a) ? tan 2 a ? (? tan a) 3 =tana= sin a ? (? sin a) 4

点评:综合运用相关知识解决综合问题.

2? ? -α)=m(m≤1),求 sin( -α)的值. 3 6 2? 2? ? ? ? ? 解:∵ -α-( -α)= ,∴ -α= +( -α). 3 3 6 2 2 6 2? ? ? ? ∴sin( -α)=sin[ +( -α)]=cos( -α)=m. 3 2 6 6 ? 点评:(1)当两个角的和或差是 的整数倍时,它们的三角函数值可通过诱导公式联系起来. 2
例题5. 已知 cos(

? 课后练习
1. 在△ ABC 中,下列等式一定成立的是( D )

A.sin

A? B C =-cos B.sin(2A+2B)=-cos2C 2 2

C.sin(A+B)=-sinCD.sin(A+B)=sinC 2. 计算下列各式的值: (1) sin(-1 200° )cos(1 290° )+cos(-1 020° )sin(-1 050° )+tan945° ;

(2)tan(27° -α)tan(49°-β)tan(63°+α)tan(139°-β).

3.

化简:

sin(540 ? ? a ) ? tan(a ? 270 ? ) cos(a ? 270 ) . cos(a ? 180 ? ) tan(810 ? ? a) sin(?a ? 360 ? )

1.D 2.A 3.(1)2;(2)-1. 4.-tanα.



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