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1.1.1 集合的含义与表示



第一章 集合与函数概念
1.1.1 集合的含义与表示

下面是初中我们接触过的一些 集合,我们一起来体会。
(1)自然数的集合;
(2) x2-4=0的解集为2,-2 ; (3)不等式3x-2<4的解的集合;

(4)到定点的距离等于定长的点的 集合;

集合的含义是什么呢?

/>
?

观察下列实例:

?

(1) 1~20以内的所有质数; (2)绝对值小于3的整数;

?

?

(3)满足x-3>2 的实数;
(4)我国古代四大发明;
造纸术、活字印刷术、指南针,火药

?

1.元素与集合的定义

一般地,我们把研究对象统称为元素 (element); 把一些元素组成的总体叫做集合(set) (简称为集).

如:(1)1—20以内的所有质数;
(2)我们班的全体学生;

想一想

军训前学校通知: 8月27日8点,高一年 级在足球场集合,进行军训会操. 试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是 个别学生 ?

2.集合的性质

1.确定性:给定的集合,它的元素必须是确 定的,也就是说给定一个集合,那么任何一 个元素在不在这个集合中就确定了.

2.互异性:一个给定的集合中的元素是 互不相同的,即集合中的元素不能相同 . 3.无序性:集合中的元素是无先后顺序 的,即集合里的任何两个元素可以交换 位置.

例题详解

例1 下面各组对象能否构成集合?并 说明理由. (1)所有的好人;

×

(2)小于2015的数; √ (3)和2015非常接近的数;×
(4)参加数学竞赛的年龄较小的同学; ×

初步学习了集合的概念以及性 质,你能举出一些集合的例子吗?

3.集合与元素的关系及常用数集

集合的表示方法之一:

通常用大写拉丁字母A,B,C,…表示集合;
通常用小写拉丁字母a,b,c, …表示集合中的 元素.

元素与集合的从属关系: 如果a是集合A中的元素,说a属于A,记作a∈A; 如果a不是集合A中的元素,说a不属于A,记作 a ? A.

3.集合与元素的关系及常用数集

非负整数 集(自然 整数 有理数 实数 正整数集 集合 数集) 集 集 集 记号 N N* 或 N+ Z Q R

练习:你能用符号“?”或 “ ?”填空吗?

? (1)3.14____Q;

? (2)π____Q;

? (3)0___N ;
*

? (4)0____N;
*

? (5)(-2) ___N ;

0

? (6)2 3___Z;

? (7)2 3____Q;

? (8)2 3____R

4.集合的表示:列举法

(1)集合的表示方法之二:{1,2,3} 像这样把集合的元素一一列举出来,并 用大括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做 列举法.

(2)相等集合: 只要构成两个集合的元素是一样的, 我们就称这两个集合是相等的.

例2 用列举法表示下列集合: (1)大于10小于30的所有3的倍数; (2) 小于100的所有正奇数. 解:(1)设大于10小于30的所有3的倍数组 成的集合为A,那么A={12,15,18,21, 24,27} (2)设小于100的所有奇数组成的集合为C, 那么C={1,3,5,7,9,11,……99}.

思考并回答下列问题。

?1??a? 与a相同吗?如果不相同,它们是什么关系? ? 2 ? 前面我们讲的数集N , Z , Q, R是需要写成 ? N ?、 ?Z ?、 ?Q?、 ?R?的形式? ? 3? ??1?, ?2?, ?3?? 是集合吗?如果是,元素是什么? ? 4 ??a,b,c? 与?c,b,a? 是同一个集合吗?

5.集合性质的考察

例3 (1)x ? R,则{3,x,x ? - 2x}中 的元素应满足什么条件?我们该从集合 的哪个性质考虑问题?
解:由集合中元素的互异性知 3≠x 3≠x? - 2x x≠x? - 2x 解得x ≠ -1, x ≠ 0,且x ≠ 3

课堂练习

? ? ? ? ?
? ? ? ?

若x∈{1,3,x3},则有 A.x=0或x=-1 B.x=-1或x=3 C.x=0或x=-1或x=3 D.x=0或x=3
[答案] C [解析] ∵x∈{1,3,x3} ∴x=1或3或x3 当x=x3时x=0,±1,由于x3≠1,3, ∴x≠1,故x=0,-1,3,故选C.

(

)

所有的集合都可以用列表法来表示吗? 比如:不等式2x-8<0的解集能用列举法吗? 为什么?那么怎样来表示这个集合呢?
这个集合中的元素是列举 不完的,可以用集合所含元素 的共同特征表示集合.

6.集合的表示:描述法
集合的表示方法之三: 描述法:用确定的条件表示某些对象是否 属于这个集合的方法. 两种描述方法: (1)文字描述法——用文字把元素所具有 的属性描述出来,如﹛自然数﹜. (2)符号描述法——用符号把元素所具有的属 性描述出来,即 {x| P ( x ) } 或 {x∈A| P ( x ) } 等. 含义:在集合A中满足条件P(x)的x的集合.

例5:使用描述法表示下列集合:
(1) 不等式2x-1>3的解集;; (2)正偶数组成的集合; 4x + 2y = 4 ? (3)方程组 ? 的解集. ?2x + 3y = 12

A = {x ? R x > 2}. (1)
* A = {x x = 2n,n ? N } (2)

?4x + 2y = 4 A = {(x, y) ? } (3) ?2x + 3y = 12

注意
( 1 )在不致混淆的情况下,可以省去竖线及 左边部分. 如:{直角三角形}、{大于104的实数}.

(2)错误表示法:{实数集}、{全体实数}.

7.列举法与描述法的区别

( 1)有些集合的公共属性不明显,难以概 括,不便用描述法表示,只能用列举法.

( 2 )有些集合的元素不能无遗漏地一一列 举出来,或者不便于、不需要一一列举出来, 常用描述法.
( 3 )有些集合既可以用列举法,又可以用

描述法。

思考

例6 集合 {(x, y) | y = x + 1} 与集合

2

{y | y = x + 1} 是同一集合吗?
{(x, y) | y = x 2 + 1} 答:不是.集合 {y | y = x 2 +1} = {y | y ? 1} 是点集,集合 是数集.

2

[例 7] 用列举法表示下列集合: 9 (1)A ={x ∈N| ∈N }; 9-x 9 (2)B ={P∈N|P= 且 x ∈N}; 9-x (3)D={(x ,y)|y=-x 2+6,x ∈N,y∈N};

9 9 [解析] (1)∵ ∈N,∴ 取值为 1,3 或 9,此时 x 9-x 9-x

=0,6 或 8.∴A={0,6,8}. (2)由(1)知,B={1,3,9}. (3)点(x,y)满足条件 y=-x2+6,x∈N,y∈N,则有 x=0, y=6; x=1, y=5; x=2, y=2.

∴D={(0,6),(1,5),(2,2)}.

8.集合的表示:维恩图

集合的表示方法之四: 韦恩图(也有称文氏图,Venn图):用一 条封闭的曲线的内部来表示一个集合.

集合A

集合B

课堂小结
1.集合的有关概念

(元素、集合、属于、不属于).
2. 集合中元素的性质:

确定性,互异性,无序性
3.集合的四种表示方法

(大写字母、列举法、描述法、韦恩图).
4.常用数集的定义及记法.



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