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5-2定积分的性质



5.2 定积分的性质
说明: 在下面的性质中, 假设所涉及的函数都是

可积分的.
性质5.1 性质5.2

? [ f ( x) ? g( x)]dx ? ?
a

b

b

a

f ( x )dx ? ? g( x )dx.


a

b

?

b

a

kf ( x )dx ? k ? f ( x )dx, (k为常数 ).
a

b

性质5.1和性质5.2称为定积分的线性性质 性质5.3 (积分区间的可加性) 设 a ? c ? b, 则

?

b

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

b

补充: 无论 a, b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 a ? b ? c,

?


c

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a b
b

b

c

?

a

f ( x )dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a b

c

c

? ? f ( x )dx ? ? f ( x )dx
a c

c

b

性质5.4

?

b

a

1 ? dx ? ? dx ? b ? a .
a

b

性质5.5 则

如果在区间 [a, b] 上 f ( x ) ? 0,

?

b

a

f ( x ) dx ? 0. (a ? b)

推论5.1 (定积分的保序性) 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) ? g( x ), 则 推论5.2 证

?

b

a
b

f ( x )dx ? ? g( x )dx. (a ? b)
a

b

?

a

f ( x )dx ? ? f ( x ) dx . (a ? b )
a

b

? f ( x) ? f ( x) ? f ( x)

? ? ? f ( x ) dx ? ? f ( x )dx ? ? f ( x ) dx
a a a

b

b

b



?

b

a

f ( x ) dx ? ? f ( x ) dx .
a

b

性质5.6 (定积分的估值定理) 设M 及m 分别是函数 f ( x ) 在区间[a, b]上 的最大值与最小值, 则 证
m(b ? a ) ? ? f ( x )dx ? M (b ? a ).
a b

? m ? f ( x) ? M ,

?

?

b

a

mdx ? ? f ( x )dx ? ? Mdx
a a

b

b

m(b ? a ) ? ? f ( x ) dx ? M (b ? a )
a

b

例1 比较积分值 ?0 e dx 和 ? xdx 的大小.
x

?2

?2

0



? e x ? x, x ?[?2,0]
?
于是

?

0

?2

e dx ? ? xdx
x ?2

0

?

?2

0

e dx ? ? xdx.
x 0

?2

例2 估计定积分 ?0 解

?

1 dx 的值的范围. 3 3 ? sin x

1 设 f ( x) ? , x ? [0, ? ]. 3 3 ? sin x
3

?0 ? sin x ? 1,

1 1 1 ? ? ? 3 4 3 ? sin x 3

?


?

0

? ? 1 1 1 dx ? ? dx ? ? dx 3 0 3 ? sin x 0 3 4

?
4

??

?

0

1 ? dx ? 3 3 3 ? sin x

性质5.7 (定积分中值定理) 如果函数 f ( x ) 在闭区间 [a , b]上连续, 则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点 ? , 使得


?

b

a

f ( x )dx ? f (? )(b ? a ).
b a

积分中值公式

? m(b ? a ) ? ? f ( x ) dx ? M (b ? a ),
1 b ? m? f ( x )dx ? M ? a b?a

由闭区间上连续函数的介值定理知, 在区间 [a , b]
1 b 上至少存在一个点 ? , 使得 f (? ) ? f ( x )dx . ? a b?a

积分中值公式的几何解释:
y f (? ) ?
y ? f ( x)

在区间[a, b]上至少存在一点 ? , 使得以区间[a, b]为底边, 以曲线
y ? f ( x ) 为曲边的曲边梯形的

O

a

?

?

面积 等于同一底边而高为 f (? )
b

x

的一个矩形的面积.

1 b f ( x )dx 称为函数 f (x)在[a, b]上的平均值. ? b?a a

思考题 lim n? ? ?n

n??

1 x sin dx ? _______ ? . x

n 4 lim sin nx sin x dx ? 0. 思考题 求证 ?0 n??

?

? ?? 证 当 x ? ?0, ? 时, ? 4?
? 1 ? ? ?? ? | sinnx sin x |? ? sin ? ? ? 4? ? 2? ?
n
n

n

0?

?

?

4 0

? 1 ? ? sin nx sin x dx ? ? ? ? ? 0 (n ? ?) ? 2? 4
n

n

由夹逼定理

n 4 lim sinnx sin n?? 0

?

?

xdx ? 0.



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