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广东省阳东广雅中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理



阳东广雅中学 2014~2015 学年第二学期高二年级期中考试试卷 理科数学
第一部分 选择题 一、选择题:本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 满分 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有 一项是符合题目要求的. 1.复数错误!未找到引用源。在复平面上对应的点的坐标是 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误! 未找到引用源。 D. 错误!

未找到引用源。 2.下列命题中,假命题是 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 3.有 5 名同学被安排在周一至周五值日,已知同学甲只能在周一值日,那么 5 名同学值日顺 序的编排方案共有 A.12 种 B.24 种 C.48 种 D.120 种 4. 定积分错误!未找到引用源。的值为 A.错误!未找到引用源。 B.1 C. 错误!未找到引用源。 D.2 5.若错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,其中错误!未找到引用源。 ,则错误! 未找到引用源。= A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 6.双曲线错误!未找到引用源。的一条渐近线方程为错误!未找到引用源。 ,则该双曲线的 离心率的值为 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误! 未找到引用源。 D.2 7.观察错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,由归纳推理 可得:若错误!未找到引用源。是定义在错误!未找到引用源。上的奇函数,记错误!未找 到引用源。为错误!未找到引用源。的导函数,则错误!未找到引用源。 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引 用源。 D.错误!未找到引用源。 8.一平行六面体错误!未找到引用源。中,顶点错误!未找到引用源。为端点的三条棱长均 为 1,且它们两两夹角均为错误!未找到引用源。 ,那么对角线错误!未找到引用源。的长为 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.2 D.错误!未找到引用源。

第二部分 非选择题(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9.焦点为错误!未找到引用源。的抛物线的标准方程是 . 10.在错误!未找到引用源。的展开式中,错误!未找到引用源。的系数为 . 11.从 6 名同学中选派 4 人分别参加数学、物理、化学、生物四科知识竞赛,若其中甲、 乙两名同学不能参加生物竞赛,则选派方案共有____________
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12.设复数错误!未找到引用源。则复数错误!未找到引用源。的虚部等于 . 13.在平面上,若两个正三角形的边长之比为错误!未找到引用源。 ,则它们的面积比为错误! 未找到引用源。 ;类似地:在空间,若两个正四面体的棱长比为错误!未找到引用源。 ,则它 们的体积比为 . 14.已知函数错误!未找到引用源。及其导函数错误!未找到引用源。的图象如图所示,则 曲线错误!未找到引用源。在点错误!未找到引用源。处的切线方程是 .

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 已知函数错误!未找到引用源。 . (1)求错误!未找到引用源。 ; (2)求函数错误!未找到引用源。的单调区间. 16. (本小题满分 12 分) 某中学校本课程共开设了错误!未找到引用源。共错误!未找到引用源。门选修课,每个学生 必须且只能选修错误!未找到引用源。门选修课,现有该校的甲、乙、丙错误!未找到引用源。 名学生. (Ⅰ) 求这错误!未找到引用源。名学生选修课所有选法的总数; (Ⅱ) 求恰有错误!未找到引用源。门选修课没有被这错误!未找到引用源。名学生选择的概 率; (Ⅲ) 求错误!未找到引用源。选修课被这错误!未找到引用源。名学生选择的人数错误!未 找到引用源。的分布列 17. (本小题满分 14 分) 观察下列三个三角恒等式 (1)错误!未找到引用源。 . (2)错误!未找到引用源。 . (3)错误!未找到引用源。 . 的特点,由此归纳出一个一般的等式,使得上述三式为它的 一个特例,并证明你的结论. (说明:本题依据你得到的等式的深刻性分层评分. ) 18. (本小题满分 14 分) 如图,已知四棱锥错误!未找到引用源。的底面错误!未找 到引用源。是矩形,错误!未找到引用源。 、错误!未找到 引用源。分别是错误!未找到引用源。 、错误!未找到引用 源。的中点,错误!未找到引用源。底面错误!未找到引用

y ? f ( x)

y

S

1
O
N2

x

A

y ? f '( x)
M
B
C

D

-2-

源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 . (1)求证:错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 ; (2)求二面角错误!未找到引用源。的余弦值.

19. (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系错误!未找到引用源。中,已知椭圆错误!未找到引用源。过点错误!未 找到引用源。 ,且椭圆错误!未找到引用源。的离心率为错误!未找到引用源。 . (1)求椭圆错误!未找到引用源。的方程; (2)是否存在以错误!未找到引用源。为直角顶点且内接于椭圆错误!未找到引用源。的等 腰直角三角形?若存在,求出共有几个;若不存在,请说明理由. (本小题满分 14 分)

f ( x) ?
己知函数

1 ( x ? 1) ln( x ? 1) .

求函数 f ( x) 的定义域; (2) 求函数 f ( x) 的增区间;
m x ?1 (3) 是否存在实数 m ,使不等式 2 ? ( x ? 1) 在 ?1 ? x ? 0 时恒成立?若存在,求出实数 m 1

的取值范围;若不存在,请说明理由.

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阳东广雅中学 2014~2015 学年第二学期高二年级期中考试 理科数学答案及说明 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 1. 【解析】选 D.错误!未找到引用源。 . 2. 【解析】选 C.因为错误!未找到引用源。 ,所以 C 不确. 3. 【解析】选 B.错误!未找到引用源。 . 4. 【解析】选 A.错误!未找到引用源。 . 5. 【解析】选 C. . 6. 【解析】选 C.由已知得错误!未找到引用源。 ,所以,错误!未找到引用源。 ,故错误!未 找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。 . 7. 【解析】选 D.由给出的例子可以归纳推理得出“奇函数的导数是偶函数” ,所以错误!未 找到引用源。 . 8. 【解析】选 A.错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 . 第二部分非选择题(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 9. 【解析】填错误!未找到引用源。 .因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 , 开口向右,所以标准方程为错误!未找到引用源。 . 10. 【解析】填 10.因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。的系数为 10. 11. 【解析】240 12. 【解析】填 1. 13. 【解析】填错误!未找到引用源。 .体积比为相似比的立方. 14. 【解析】填错误!未找到引用源。 .因为切线的斜率为错误!未找到引用源。 ,所以切线方 程为错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 .

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三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15. (本小题满分 12 分) 【解析】 (1)因为错误!未找到引用源。 . (2 分) (2)要使错误!未找到引用源。有意义,则错误!未找到引用源。的取值范围是错误!未找 到引用源。 . (4 分) 由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 . (5 分) 因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 ,或错误! 未找到引用源。 . (7 分) 由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 (8 分) 因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 . ( 10 分) 所以错误!未找到引用源。的单调增区间为错误!未找到引用源。 ;单调减区间为错误!未找 到引用源。 . (12 分) (本小题满分 12 分) . 【解析】 ( Ⅰ ) 每个学生有四个不同选择 , 根据分步计数原理 , 选法总数错误!未找到引用 源。 ………2 分 (Ⅱ) 设“恰有错误!未找到引用源。门选修课没有被这错误!未找到引用源。名学生选择” 为事件错误!未找到引用源。,则 错误!未找到引用源。,即恰有错误!未找到引用源。门选修课没有被这错误!未找到引用源。 名学生选择的概率为错误!未找到引用源。.…………………6 分 (Ⅲ) 错误!未找到引用源。的所有可能取值为错误!未找到引用源。,且 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。, 错误!未找到引用源。 ………………………………………………10 所以错误! 未找到引用源。的分布列为 错误! 未找到 引 用 源。 错误! 未找到 引 用 源。 错误! 未找到 引 用 源。 错误! 未找到 引 用 源。 错误! 未找到 引 用 源。 错误! 未找到 引 用 源。 错误! 未找到 引 用 源。 错误! 未找到 引 用 源。 错误! 未找到 引 用 源。 错误! 未找到 引 用 源。 ????????12 分

17. (本小题满分 14 分) 【解析】以下给出两个层次解答供参考. 等式一:若错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 (4 分) 证明如下: 因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 (6 分) 即错误!未找到引用源。 (8 分) 所以错误!未找到引用源。 (10 分) 即错误!未找到引用源。 移项得错误!未找到引用源。 (12 分) 等式二:若错误!未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 (6 分)
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证明如下: 因为错误!未找到引用源。 (10 分) 所以错误!未找到引用源。 (12 分) 即错误!未找到引用源。 移项得错误!未找到引用源。 (14 分) 18. (本小题满分 14 分) 【解析一】 (1)以错误!未找到引用源。点为原点,错误!未找到引用源。 为错误!未找到引用源。轴,错误!未找到引用源。为错误!未找到引用 源。轴,错误!未找到引用源。为错误!未找到引用源。轴的空间直角坐 标系,如图所示.则依题意可知相关各点的坐标分别是:错误!未找到引 用源。 ,错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引 用 源 。, 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 如 下 图 所 示.?????????????????????????????(2 分) 所以错误!未找到引用源。点的坐标分别为 错误!未找到引用源。????????????????(3 分) 所以错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 (4 分) 因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 . (6 分) 又因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 (7 分) 所以错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 . (8 分) (2)设平面错误!未找到引用源。的法向量错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 , (9 分) 错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。 即错误!未找到引用源。 (10 分) 所以错误!未找到引用源。 令错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 显然,错误!未找到引用源。就是平面错误!未找到引用源。的法向量. (11 分) 所以错误!未找到引用源。 (12 分) 由图形知,二面角错误!未找到引用源。是钝角二面角 (13 分) 所以二面角错误!未找到引用源。的余弦值为错误!未找到引用源。 . (14 分) 【解析二】 (1)取错误!未找到引用源。的中点错误!未找到引用源。 ,连接错误!未找到引 用源。 ,则 错误!未找到引用源。 ,又错误!未找到引用源。 ,所以四点错误!未找到引用源。共面. 因为错误!未找到引用源。 ,且错误!未找到引用源。 (2 分) 所以错误!未找到引用源。. 又因为错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。. (4 分) 所以错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。. (6 分) 易证错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 . (8 分) (2)连接错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。. (9 分)
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同(1)可证明错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。. 所以错误!未找到引用源。 ,且平面错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。. 明显错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。. (10 分) 过错误!未找到引用源。作错误!未找到引用源。 ,垂足为错误!未找到引用源。 ,则错误! 未找到引用源。平面错误!未找到引用源。. 连接错误!未找到引用源。 ,则错误!未找到引用源。 (11 分) 因为错误!未找到引用源。 , 所以错误!未找到引用源。平面错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。为二面角错误!未找到引用源。平面角的补角. (12 分) 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。. 在错误!未找到引用源。中,错误!未找到引用源。. 所以错误!未找到引用源。. (13 分) 所以二面角错误!未找到引用源。的余弦值为错误!未找到引用源。 . (14 分) (本小题满分 14 分) 【解析】 (1)由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 , (1 分) 又错误!未找到引用源。 . (2 分) 故椭圆方程为错误!未找到引用源。 , 椭圆经过点错误!未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 . (3 分) 所以错误!未找到引用源。 (4 分) 所以椭圆的标准方程为错误!未找到引用源。 . (5 分) (2)假设存在这样的等腰直角三角形错误!未找到引用源。. 明显直线错误!未找到引用源。的斜率存在,因为错误!未找到引用源。点的坐标为错误! 未找到引用源。 ,设直线错误!未找到引用源。的方程为错误!未找到引用源。 ,则直线错误! 未找到引用源。的方程为错误!未找到引用源。 . (6 分) 将错误!未找到引用源。的方程代入椭圆错误!未找到引用源。得 错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。 ,或错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。点的纵坐标为错误!未找到引用源。 (7 分) 所以错误!未找到引用源。 . (8 分) 同理错误!未找到引用源。 (9 分) 因为错误!未找到引用源。是等腰直角三角形,所以错误!未找到引用源。 ,即 错误!未找到引用源。 (10 分) 即错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。 ,即错误!未找到引用源。 (11 分) 所以错误!未找到引用源。 即错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。 ,或错误!未找到引用源。 (12 分) 所以错误!未找到引用源。 ,或错误!未找到引用源。 . (13 分) 所以这样的直角三角形有三个. (14 分) 20.解(本小题主要考查函数与导数等知识,考查分类讨论,化归与转化的数学思想方法,以 及推理论证能力和运算求解能力) :(1)根据函数解析式得错误!未找到引用源。
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解得错误!未找到引用源。且错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。函数错误!未找到引用源。的定义域是错误!未找到引用源。???? 3分 (2)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。????????5 分 由错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。函数错误!未找到引用源。的增区间为错误!未找到引用 源。 . ??????????8 分 (3)错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。当错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。在区间错误!未找到引用源。上, 当错误!未找到引用源。时, 错误!未找到引用源。取得最大值. 错误!未找到引用源。 .???????????10 分 错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。时恒成立. 错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。时恒成立. 错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。时恒成立. 错误!未找到引用源。在错误!未找到引用源。时的最大值等于错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。当错误!未找到引用源。时,不等式错误!未找到引用源。在错误! 未找到引用源。时恒成立.???14 分

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