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最新 (人教A版)数学【选修2-2】第3章《数系的扩充与复数的引入》复习课件



第三章 数系的扩充与复数的引入 本章回顾 知识结构 规律方法总结 1.复数的概念 (1)虚数单位i:规定i2=-1,规定实数可以与i进行四则运 算,且保持加、乘运算的运算律. (2)形如a+bi(a,b∈R)的数称为复数,其中a为实部,b为虚 部. 2.复数的分类 ?实数?b=0? ?1?复数z=a+bi? ? ? ?纯虚数?a=0? ?a,b∈R? ?虚数?b

≠0?? ? ?非纯虚数?a≠0? ? (2)各数集间的关系: N* N Z Q R C. 3.复平面 用x轴做实轴,y轴做虚轴建立坐标平面,复数z=a+bi(a,b → ∈R)与复平面上的点Z(a,b),与从原点出发的向量 OZ 之间是一一 → 对应.把a+bi(a,b∈R)称为复数的代数形式, OZ 为复数的几何 形式. 4.复数间的关系 (1)复数相等 z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R), z1=z2?a=c,且b=d. (2)共轭复数 若两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做 互为共轭复数. z的共轭复数用 z 表示,因此有:z=a+bi, z =a-bi(a,b∈ R),互为共轭复数的对应点关于x轴对称. z+ z =2a,z- z =2bi,z· z =| z |2=|z|2,z= z ?z∈R. 5.复数代数形式的四则运算 (1)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则 加法:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i; 乘法:(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i; 除法:当c+di≠0时, a+bi (a+bi)÷ (c+di)= c+di ?a+bi??c-di? = ?c+di??c-di? ac+bd bc-ad = 2 2+ 2 2 i. c +d c +d 复数的加法、减法、乘法可按多项式的加、减、乘进行.复 数的除法可按“分母有理化”进行.复数加、减、乘、除运算的 结果还是复数,结果要实部、虚部分开. (2)i的性质: 当n∈N*时,有i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1, i4n+3=-i. 1+i 1 2 (3)特例: =-i,(1± i) =± 2i, =i, i 1-i 1-i =-i. 1+i (4)复数加、减运算的几何意义,如下图: 图①是复数加法的平行四边形法则.即以复数z1,z2对应的向 量为邻边作平行四边形,其对角线对应的复数就是z1+z2,图② → 中,向量Z1Z2对应的复数就是z2-z1. 6.复数的模 设z=a+bi(a,b∈R),则|z|=r=|a+bi|= a2+b2 ,其几何意 → → 义就是复数z的对应点Z到原点的距离,也是向量OZ的模|OZ|. 数学思想方法 1.转化与化归的思想 将复数问题转化为实数问题,或将其转化为平面直角坐标上 的轨迹问题,就可以降低解题难度.简化解题过程.反过来,有 时也把实数问题,几何问题,三角问题化归为复数问题,可使问 题迎刃而解. z 【例1】 已知z是复数,z+2i, 均为实数,且(z+ai)2的 2-i 对应点在第一象限,求实数a的取值范围. 【解】 设z=x+yi(x,y∈R). 则z+2i=x+(y+2)i为实数,∴y=-2. x-2i 1 z 1 1 又 = = (x-2i)· (2+i)=5(2x+2)+5(x-4)i为实数, 2-i 2-i 5 ∴x=4,∴z=4-2i. 又∵(z+ai)2=(4-2i+ai)2 =(12+4a-a


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