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三角函数的图象和性质



三角函数的图象和性质
【考纲解读】 1.能画出 y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x 的图象,了解三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数在区间 0,2? 上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴的交点等) ,理解正切函数在区间 ? ?

?

?

? ? ?? , ?

内的单调性. ? 2 2?

3.了解函数 y

? A sin(?x ? ? ) 的物理意义;能画出 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,了解参数

A, ?, ? 对函数图象变化的影响.
4.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单实际问 题. 【考点预测】 高考对此部分内容考查的热点与命题趋势为: 1.三角函数是历年来高考重点内容之一 ,三角函数的图象和性质的考查,经常以选择题与填 空题的形式出现,还常在解答题中与三角变换结合起来考查,在考查三角函数知识的同时, 又考查函数思想、数形结合思想和分类讨论思想解决问题的能力. 2.2013 年的高考将会继续保持稳定,坚持考查三角函数的图象和性质,命题形式会更加灵 活. 【要点梳理】 1.三角函数的图象和性质 函数 y=sinx y 图象 o 定义域 R x o R x o x y=cosx y y=tanx y

? ? ? ? x | x ? k? ? , k ? z ? 2 ? ?
R
?

值域 周期性 奇偶性 单调性

[?1,1]

[?1,1]

2?
奇函数 在-----------------上增; 在-------------------上减

2?
偶函数 在-----------------上增; 在------------------上减

奇函数 在 -------------------- 上是增函 数

1

2.当 x=----------------时, 函数 y=sinx 取最大值 1; 当 x=----------------时,取最小值-1. 3.当 x=----------------时, 函数 y=cosx 取最大值 1; 当 x=----------------时,取最小值-1. 4.y=sinx,y=cosx,y=tanx 的对称中心分别为----------------,------- -----------,-----------------; 对称轴为---------------------------,----------------------------,------------------------------- . 5. y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0, ? ? 0, x ? R) 表示一个振动量时,A 叫做振幅, T ? 周期, f ?

2?

?



1 叫频率, ? x ? ? 叫相位, ? 叫初相. T

6.图象变换: (1)相位变换: y ? sin x ? y ? sin( x ? ? ) (2)周期变换: y ? sin( x ? ? ) ? y ? sin(? x ? ? ) (3)振幅变换: y ? sin(? x ? ? ) ? y ? A sin(? x ? ? ) 【例题精析】 考点一 三角函数的图象与性质 例 1. (2012 年高考湖南卷文科 18)已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( x ? R, ? ? 0, 0 ? ? ? 的部分图像如图 5 所示.(Ⅰ)求函数 f(x)的解析式; (Ⅱ)求函数 g ( x) ? f ( x ?

?
2

?
12

) ? f (x ?

?
12

) 的单调递增区间.

【变式训练】 1. (2012 年 高 考 湖 北 卷 文 科 18) 设 函 数

f ( x) ? sin 2 ? x ? 2 3 sin ? x ? cos ? x ? cos 2 ? x ? ? ( x ? R) 的图像关于直线 x=π 对称,其
1 中 ? , ? 为常数,且 ? ? ( , 1) . 2

(1) 求函数 f(x)的最小正周期; (2) 若 y=f(x)的图像经过点 (

?
4

, 0) ,求函数 f(x)的值域.
2

考点二

三角函数的图象变换

例 2. (2012 年高考浙江卷文科 6)把函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,然后向左平移 1 个单位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图 像是

【变式训练】

2. (2010 年高考天津卷文科 8)

? ? 5? ? 为 右图是函数y ? A sin ? x +?)(x ? R)在区间 ?- , ? 上的图象, 了 得 到 这 个 ( ? 6 6 ?
函数的图象,只要将 y ? sin x(x ? R) 的图象上所有的点

? 1 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 3 ? (B) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 ? (C) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横 6 1 坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 2 ? (D) 向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐 6
(A)向左平移 标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 【易错专区】 问题:图象变换 14.(2010 年高考全国 2 卷理数 7)为了得 到函数 y ? sin(2x ?

?
3

) 的图像,只需把函数

y ? sin(2x ?

?
6

) 的图像

(A)向左平移

? 个长度单位 4

(B)向右平移

? 个长度单位 4

3

(C)向左平移

? 个长度单位 2

(D)向右平移

? 个长度单位 2
y

【课时作业】 1.(2010 年 高 考 重 庆 市 理 科

6) 已 知 函 数 1

y ? sin(? x ? ? ), (? ? 0,| ? |?
示,则( )

?
2

) 的部分图象如题 1 图所

(A) ? ? 1, ? ?

?
6

(B) ? ? 1, ? ? ?

?
6

O

? 3

7? 12
题 1 图

x

(C) 2.(2012

? ? 2, ? ?

?
6

(D) 年

? ? 2, ? ? ?

?
6
高考天 )(A)

津卷理科 2)设 ? ? R ,则“ ? =0 ”是“ f (x)=cos( + ) ? (x ? R ) 为偶函数”的( x 充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

3. (广东省佛山市 2012 年普通高中高三教学质量检测一)把函数 y ? sin x ( x ?R) 的图象上 所有的点向左平移

? 个单位长度, 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍 (纵 6
)

坐标不变) ,得到的图象所表示的函数为(

A. y ? sin(2 x ?

?
3

), x ? R ), x ? R

B. y ? sin(2 x ?

?
3

), x ? R ), x ? R

C. y ? sin( x ?

1 2

?
6

D. y ? sin( x ?

1 2

?
6

4. (2011 年高考海南卷文科 11)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? A. y ? f ( x) 在 (0, B. y ? f ( x) 在 (0, C. y ? f ( x) 在 (0, D. y ? f ( x) 在 (0,

?

? ? ? ?
2 2 2 2

) 单调递增,其图象关于直线 x ? ) 单调递增,其图象关于直线 x ? ) 单调递减,其图象关于直线 x ? ) 单调递减,其图象关于直线 x ?

? ? ? ?
4 2 4 2

) ? cos(2 x ? ) ,则( 4 4

?

)

对称 对称 对称 对称

5. (2011 年 高 考 天 津 卷 文 科 7) 已 知 函 数 f ( x)? 2 s ? n? ? i x( 若 ? ? 0 , ?? ? ? ? ? f ( x) 的最小 正周期为 6? ,且 当 x ? . ( )

? ) ,其 中, x R

?
2

时 , f ( x) 取得 最大值, 则

A. f ( x) 在区间 [?2? , 0] 上是增函数

B. f ( x) 在区间 [?3? , ?? ] 上是增函数
4

C. f ( x) 在区间 [3? ,5? ] 上是减函数

D. f ( x) 在区间 [4? , 6? ] 上是减函数

6. (2011 年高考湖北卷文科 6)已知函数 f ( x) ? 3 sin x ? cos x, x ? R ,若 f ( x) ? 1 ,则 x 的取 值范围为( A. {x | k? ? C. {x | k? ?
?
3

)
? x ? k? ? ? , k ? z} ? x ? k? ? 5? , k ? z} 6

B. {x | 2k? ?

?
3

? 2k? ? ? , k ? z} ? x ? 2k? ? 5? , k ? z} 6

?
6

D. {x | 2k? ?

?
6

7.(2011 年 高 考 安 徽 卷 理 科 9) 已 知 函 数 f ( x) ? s i n ( x? ? , 其 中 ? 为 实 数 , 若 2 )

f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) ,则 f ( x) 的单调递增区间是( 6 2
(A) ? k? ?

?

?

)

? ?

?
3

, k? ?

??

(k ? Z ) 6? ?

(B) ? k? , k? ?

? ?

??
2? ?

(k ? Z )

(C) ? k? ?

? ?

?
6

, k? ?

2? ? (k ? Z ) 3 ? ?

(D) ? k? ?

? ?

?
2

? , k? ? ( k ? Z ) ? ? ?? 上单调递增,在 ? 3? ?

【考题回放】 1.(2011 年高考山东卷文科 6)若函数 f ( x) ? sin ? x (ω >0)在区间 ?0,

区间 ? (A)

?? ? ? 上单调递减,则 ω =( , ?3 2? ?

)

2 3

(B)

3 2

(C ) 2

(D)3

2.(2011 年高考全国卷文科 7)设函数 f ( x) ? cos ? x(?>0) ,将 y ? f ( x) 的图像向右平

? 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则 ? 的最小值等于( 3 1 (A) (B) 3 (C) 6 (D) 9 3
移 3.(2012 年高考山东卷文科 5)设命题 p:函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为

)

? ;命题 q:函数 2

y ? cos x 的图象关于直线 x ?
(A)p 为真

?
2

对称.则下列判断正确的是( (C) p ? q 为假

) (D) p ? q 为真

(B) ?q 为假

5

4. (2012 年高考新课标全国卷文科 9)已知 ω >0, 0 ? ? ? ? ,直线 x ? 函数 f(x)=sin(ω x+φ )图像的两条相邻的对称轴,则 φ =( π (A) 4 π (B) 3 π (C) 2 3π (D) 4 )

?
4

和x ?

5? 是 4

??x ? ? 5.(2012 年高考山东卷文科 8)函数 y ? 2 sin? ? ? (0 ? x ? 9)的最大值与最小值之和为 ? 6 3?

(

) (A) 2 ? 3 (B)0 (C)-1 (D) ?1 ? 3

6.(2012 年高考安徽卷文科 7)要得到函数 y ? cos(2 x ? 1) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象( ) (B) 向右平移 1 个单位 (D)向右平移

(A) 向左平移 1 个单位 (C) 向左平移

1 2

个单位

1 个单位 2

7. (2012 年高考天津卷文科 7)将函数 f(x)=sin ?x (其中 ? >0)的图像向右平移 长度,所得图 像经过点( (A)
1 3

3? ,0) ,则 ? 的最小值是( 4
(B)1 C)
5 3

? 个单位 4

) (D)2

? )的图像的一条对称轴是( ) 4 ? ? ? ? A.x= B.x= C.x=D.x=4 2 4 2 x ?? 9.(2012 年 高 考 全 国 卷 文 科 3) 若 函 数 f ( x) ? sin (? ?[0, 2? ]) 是 偶 函 数 , 则 3 ) ? ?(
8. (2012 年高考福建卷文科 8)函数 f(x)=sin(x(A) 10.

? 2
(2011 年

(B) 高 考

2? 3
全 国 新

(C) 课

3? 2
卷 理

(D) 科

5? 3
设 函 数



11)

f ( x) ? sin(? x ? ? ) ? cos(? x ? ? )(? ? 0, ? ?
则( )

?
2

) 的最小正周期为 ? ,且 f (? x) ? f ( x) ,

(A) f ( x) 在 ? 0,

? ?? ? 单调递减 ? 2?

(B) f ( x) 在 ?

? ? 3? , ?4 4

? ? 单调递减 ?

(C) f ( x) 在 ? 0,

? ?? ? ? 3? ? 单调递增 (D) f ( x) 在 ? , ? 2? ?4 4

? ? 单调递增 ?

6

? 11.(2012 年高考全国卷文科 15)当函数 y ? sin x ? 3 cos x (0 ? x ? 2 )取得最大值时,
x ? ___________.
12.(2012 年高考北京卷文科 15)已知函数 f ( x) ? (1)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f (x) 的单调递减区间。

(sin x ? cos x) sin 2 x 。 sin x

13.(2011 年高考北京卷理科 15)已知函数 f ( x) ? 4cos x sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期: (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

?
6

) ?1。

? ? ?? 上的最大值和最小值。 , ? 6 4? ?

7



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