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重庆市重庆一中2013-2014学年高二数学上学期期末考试试题 文 湘教版



秘密★启用前

2014 年重庆一中高 2015 级高二上期期末考试数 学 试 题 卷 (文科)
2014.1 数学试题共 4 页。满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用 橡皮擦擦干净后

,再选涂其他答案标号。 3.答非选择题时,必须使用 0.5 毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点坐标为( ) A.(2,0) B.(1,0) C.(0,-4) D.(-2,0)

?1? 2.命题“ ?x ? R, ? ? ? 0 ”的否定是( ?2?
A. ?x ? R, ? ? ?0 C. ?x ? R, ? ? ?0 3.复数

x

) B. ?x ? R, ? ? ≤0 D. ?x ? R, ? ? ≤0

?1? ? 2?

x

?1? ?2?

x

3?i 等于 1? i

?1? ?2?

x

?1? ?2?

x



) C. 2 ? i D. 2 ? i

A. 1 ? 2i

B. 1 ? 2i

4 .已知直线 l1 : ax ? 2 y ? 1 ? 0 与直线 l2 : (3 ? a) x ? y ? a ? 0 ,若 l1 ? l2 ,则 a 的值为 ( ) A.1
2

B.2

C.6

D.1 或 2

y2 ? 1 的离心率大于 2 的充分必要条件是 ( 5.双曲线 x ? m
A. m ?

) D. m ? 2 )

1 2

B. m ? 1

C. m ? 1

6.设 l 为直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A.若 l //? , l // ? ,则 ? // ? C.若 l ? ? , l // ? ,则 ? // ?

B.若 l ? ? , l ? ? ,则 ? // ? D.若 ? ? ? , l //? ,则 l ? ?

7. (原创)湖面上漂着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下了一个半径为 6 cm, 深 2 cm 的空穴,

则该球表面积为( A. 400?

)cm?. B. 300? C. 200? D. 100?

8.右图是某几何体的三视图,其中正视图是正方形,侧视图是 矩形,俯视图是半径为 2 的半圆,则该几何体的表面积等于( A.16+12π C.16+4π B.24π D.12π
俯视图


正视图 侧视图

9.从三男三女 6 名学生中任选 2 名(每名同学被选中的机会相等),则 2 名都是女同学的概率 等于( )

1 A. 3

1 B. 4

1 C. 5

1 D. 6

10.已知点 F1 , F2 分别是椭圆为 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点, 过点 F1 (?c,0) 作 a 2 b2

x 轴的
垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P ,过点 F2 作直线 PF2 的垂线交直线 x ? 直线 PQ 与

a2 于点 Q ,若 c

x2 y 2 ? ? 1 的一条渐近线平行,则椭圆的离心率为( 双曲线 4 3
A. 3 ? 1 B.

)

3 3

C.

3 2

D.

5 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填在答题卡的相应位置. 11.某大学对 1000 名学生的自主招生水平测试成绩进行统计,得到样本频率分布直方图如 下图所示,现规 定不低于 70 分为合格,则合格人数是 _.

12.设双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0) 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为_____________. a2 9

?y ? x ? 13.若在不等式组 ? x ? 0 所确定的平面区域内任取一点 P ? x, y ? ,则点 P 的坐标满足 ?x ? y ? 2 ?
x2 ? y 2 ? 1 的概率是_____________.
14.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB//CD,则直线 EF 与正方体 的六个面所在的平面相交的平面个数为_____________.

15.(原创)

双曲线xy ? 2014 的离心率为_____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 . ( 本 小 题 满 分 13

p: A 件 ? {x | 2a ? x ? a ? 1} , 分 ) 已 知 条
2

条件q : B ? {x | x 2 ? x ? 2 ? 0},
若 p 是 q 的充分条件,求实数 a 的取值范围。

17.(原创) (本小题满分 13 分)
2 2 已知圆 C 的方程为 x ? ( y ? 4) ? 4 , 点 O 是坐标原点 . 直线 l : y ? kx 与圆 C 交于

M , N 两点.
(Ⅰ)求 k 的取值范围; (Ⅱ) 过(1,3)点作圆的弦,求最小弦长?

18.(原创) (本小题满分 13 分) 某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据: 年份 需求量(万吨) 第1年 3 第2年 6 第3年 5 第4年 7 第5年 8

(Ⅰ)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程 y ? bx ? a ; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中所求出的直线方程预测该地第 6 年的粮食需求量。

19. (本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的边长为 2,△ BCD 为正三角形,现将△ BCD 沿 BD 向上折起,折 起后的点 C 记为 C ? ,且 CC ? ? 3 ,连接 CC? . (Ⅰ)若 E 为 CC? 的中点,证明: AC ? / / 平面 BDE ; (Ⅱ)求三棱锥 C ? ? ABD 的体积. D E

C?

A B 20.(原创) (本小题满分 12 分) 已知过点 P (2, ?1) 的直线 l 交椭圆 点, 若线段 MN 的中点恰为点 P. (Ⅰ) 求直线 l 的方程; (Ⅱ)求Δ BMN 的面积.

C

x2 y2 ? ? 1 于 M、N 两点,B(0,2)是椭圆的一个顶 8 4

21.(本小题满分 12 分) 如图,设椭圆 C:

x2 y2 3 ,顶点 M、N 的距离为 5 , ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的离心率 e ? 2 2 a b

O 为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 O 作两条互相垂直的射线,与椭圆 C 分别交于 A,B 两点. (ⅰ)试判断点 O 到直线 AB 的距离是否为定值.若是请求出这个定值,若不是请 说明理由;

(ⅱ)求 AB 的最小值.

2014 年重庆一中高 2015 级高二上期期末考试 数学参考答案(文科) 2014.1 一、1. B; 2. D; 3. C; 4.D; 5. C; 6. B; 7. A; 8. A; 9. C; 10. C; 二、11.600; 12.2; 三、解答题: 16.解: A ? {2a ? x ? a ? 1}, B ? {x | ?1 ? x ? 2}
2

13.

? ; 14.4; 8

15. 2

p是q的充分条件, ?A ? B

? 2a ? ?1 1 ? ? ? a ?1 ? 2 2 ?a ? 1 ? 2

a的取值范围为 ?
综上:

1 ? a ?1 2

圆心( 0,4)到直线kx ? y ? 0的距离d ?
17. (原创)解: (I)

| ?4 | 1? k 2

?2

得到k ? 3或k ? ? 3.
(II)易得最小弦长为 2 2 18.(原创) 解: (I)由所给数据看出,年需求量与年份之间是近似直线上升,下面来求回归直线方 程:

x ? 3, y ? 5.8, 1? 3 ? 2 ? 6 ? 3 ? 5 ? 4 ? 7 ? 5 ? 8 ? 3 ? 5.8 ? 2.2 5 (1 ? 3) 2 ? (2 ? 3) 2 ? (3 ? 3) 2 ? (4 ? 3) 2 ? (5 ? 3) 2 2 sx ? ?2 5 b ? 1.1 s xy ? a ? y ? b x ? a ? 2.5 ? y ? 1.1x ? 2.5

故所求的回归直线方程 为y ? 1.1x ? 2.5
(II)可预测第 6 年的粮食需求量为 y ? 1.1? 6 ? 2.5 ? 9.1 (万吨). 19.解: (Ⅰ)连接 AC ,交 BD 于点 O ,连接 OE 、 OC ? , ∵ ABCD 为菱形,∴ O 为 AC 中点 又∵E 为 CC? 的中点,∴ OE // AC ? 又 AC? ? 平面 BDE , OE ? 平面 BDE ∴ AC? // 平面 BDE .
A O B C D

C?
E

(Ⅱ)在△ C ?CO 内,过 C ? 作 C ?H ? OC 于 H,在菱形 ABCD 中, BD ? CO ,又△ BCD 沿

BD 折起,
∴ BD ? C?O ???7 分∵ CO ? C?O ? O 又 CO ? BD ? O ,∴ C?H ? 平面 BDC ∴ BD ? 平面 CC?O ∴ BD ? C ?H

∵ CC ? ? OC ? OC ? ? 3 ,∴ C ?H ? 3 2

∴ VC?? ABD

1 3 ? 3? 1 1 2= 3 ? =3 ? S ? C?H S ?ABD ABD ? C H 3 2 3

2 a2 ? ? 2 ? k ? k ? 1, b 20.(原创)解: (Ⅰ)由点差法 ? 1 可得直线 y ? x ? 3
(Ⅱ)

? y ? x ?3 ? 联立? x 2 y 2 ? 3x 2 ? 12x ? 10 ? 0 ? ?1 ? 4 ?8 4 3 3 5 2 点B到直线MN的距离d ? 2 1 5 6 S ?BMN ? | MN | ?d ? 2 3 | MN |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |?

21. 解: (Ⅰ)由 e ?

3 c 3 得 ? 2 a 2

由顶点 M、N 的距离为 5 ,得 a 2 ? b2 ? 5 又由 a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a ? 2, b ? 1 所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(Ⅱ)解: (ⅰ)点 O 到直线 AB 的距离为定值 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,

① 当直线 AB 的斜率不存在时,则 ?AOB 为等腰直角三角形,不妨设直线 OA: y ? x 将 y ? x 代入

x2 2 ? y 2 ? 1 ,解得 x ? ? 5 4 5

所以点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

2 5; 5
x2 ? y2 ? 1 4

② 当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m 与椭圆 C: 联立消去 y 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4m 2 ?4 ? 0

x1 ? x2 ? ?

8km 4m2 ? 4 x x ? 1 2 1 ? 4k 2 , 1 ? 4k 2

因为 OA ? OB ,所以 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 , x1 x2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? 0 即 (1 ? k 2 ) x1 x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m 2 ? 0 所以 (1 ? k 2 ) 距离 d ?

4 m 2 ? 4 8k 2 m 2 ? ? m 2 ? 0 ,整理得 5m2 ? 4(1 ? k 2 ) ,所以点 O 到直线 AB 的 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k

m 1? k
2

?

2 2 5 5 ,综上可知点 O 到直线 AB 的距离为定值 5 5

(ⅱ)在 Rt ?AOB 中,因为 d ? AB ? OA ? OB 又因为 2 OA ? OB ≤ OA ? OB ? AB ,所以 AB ≥ 2d ? AB 所以 AB AB ≥ ? 2d ?
2 2 2
2

4 4 5 5。 ,当 OA ? OB 时取等号,即 AB 的最小值是 5 5



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