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2.3.1圆的标准方程PPT

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解 析 几 何 的 基 本 思 想

y

y

形

数
l : Ax ? By ?

C ? 0

y0
0

P0 (x0,y0)

o

x

圆在坐标系下有什么样的方程？

y

x O

初中复习（温故知新） 1．圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合 叫做圆，其中定点是圆心，定长是半径长． 2．确定圆的基本条件：

圆心确定圆的位 圆心和半径长可以确定一个圆， (1)已知____________ ______
置，_________ 确定圆的大小； 半径长

求：圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程 设M(x,y)是圆上任意一点， 根据定义，点M到圆心C的 距 离等于r，所以圆C就是集合 y M

r
C O 说明：

P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式，点M适 合的条件可表示为： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得： (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 x

1、特点：明确给出了圆心 坐标和半径。

2、确定圆的方程必须具 备三个独立条件。

圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y)

O

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

C

x

圆的标准方 程 若圆心为O（0，0），则圆的方程为：

x ?y ?r
2 2

2

练习：1、写出下列各圆的方程：

(1)圆心在点C(3, 4 )，半径是 5 (2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)

(x-3)2+(y-4)2=5
(x-8)2+(y+3)2=25

练习： 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2 (1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|

2 2 2 M ( x , y ) 怎样判断点 0 0 0 在圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 内呢？圆上？还是在圆外呢？
y M2 M3

C

o

M1

x

2．点与圆的位置关系
圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为(a，b)，半径为 r，点 P(x0，y0)，设 d＝|PC|＝ ?x0－a?2＋?y0－b?2.

位置关系

d与r 的大小

图示

点P的坐标的特点 (x0－a)2＋ (y0－b)2>r2 (x0－a)2＋ (y0－b)2＝r2 (x0－a)2＋ (y0－b)2<r2

点在圆外

d>r _____

点在圆上

d＝r ______

点在圆内

d<r _______

设圆 C：(x－2)2＋(y＋3)2＝25，试判断下列各点是在圆内、 在圆外、还是在圆上？ (1) M(－1，－7)；(2)N(－3,1)；(3)P( 2， 2)． [解]

(1)由于(－1－2)2＋(－7＋3)2＝25，所以点M在圆C上； (2)由于(－3－2)2＋(1＋3)2＝41>25，所以点N在圆C 外； (3)由于( －2)2＋( ＋3)2＝17＋2 <25，所以点P在 2 圆C内． 2 2

例1．根据下列条件，求圆的方程： (1)圆心C(－2,1)过点A(2，－2) (2)圆心C(1,3)与直线3x－4y－6＝0相切，
(3)过点(0,1)和点(2,1)，半径为 5，________.

[分析 ] 只要确定了圆心坐标和半径就可以 写出圆的方程．

[解析]

(1)圆的半径

r＝|CA|＝ (2＋2)2＋(－2－1)2＝5. ∵圆心为(－2,1)，∴所求圆的方程为 (x＋2)2＋(y－1)2＝25. (2)∵直线 3x－4y－6＝0 是所求圆的切线， ∴圆心(1,3)到这条直线的距离等于圆的半径， |3×1－4×3－6| ∴圆的半径为 r＝ ＝3. 2 2 3 ＋4 ∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9.

(3)设圆心坐标为(a，b)，圆的方程为 (x－a)2＋(y－b)2＝5. 已知圆过点(0,1)，(2,1)，代入圆的方程中得 ， 2 ? 2
?a ＋(1－b) ＝5 ? 2 2 ? (2 － a ) ＋ (1 － b ) ＝5 ? ? ?a1＝1 ∴? ? ?b1＝－1

，

? ?a2＝1 ，或? ? ?b2＝3

，

∴所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5或(x－ 1)2＋(y－3)2＝5.

例2 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和 B(2,-2)，且圆心C在直线l：x-y+1=0上,求 圆心为C的圆的标准方程.

l

'

[分析] 思路一，AB 的中垂线与直线 l 的交点是圆心，则 解方程组得圆心坐标，圆心到点 B 的距离等于半径，则可以写 出圆的标准方程；思路二，设出圆的标准方程，列方程组求解．

例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)， 且圆心C在直线 l：x －y +1=0上，求圆心为C的圆的 标准方程．
y A(1,1) O C 弦AB的垂 直平分线

D

x B(2,-2)

l : x ? y ?1 ? 0
圆心：两条直线的交点 半径：圆心到圆上一点

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解:∵A(1,1),B(2,-2)
3 1 ?2 ? 1 ? 线段AB的中点D( , ? ), k AB ? ? ?3. 2 2 2 ?1 1 1 3 ? 线段AB的垂直平分线CD的方程为：y+ ? ( x ? ). 2 3 2

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? ?3 联立直线l , CD的方程： , 解得： ? ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ? y ? ?2

即：x-3y-3=0

∴圆心C(-3,-2)

? r ? AC ? (1 ? 3)2 ? (1 ? 2) 2 ? 5.

?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r , 解2:设圆C的方程为

∵圆心在直线l:x-y+1=0上

待定系数法

圆经过A(1,1),B(2,-2) ?a ? b ? 1 ? 0 ? a ? ?3 ? ? 2 2 2 ? ?(1 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? ?b ? ? 2 ?(2 ? a ) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ?r ? 5 ? ?
?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

[点评]

求圆的标准方程的方法：

(1)直接法(如本题解法一)，直接求出圆心坐标和半径． (2)待定系数法(如本题解法二)，步骤是： ①设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2； ②由条件列方程(组)解得a，b，r的值； ③写出圆的标准方程．

例3：如图某圆拱桥的圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=37.02m， 拱高OP=7.2m，求这座圆拱桥的圆的方程（精确到0.01m) y
解：建立如图所示的坐标 系，设圆心坐标是（0，b） 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。

x

把P（0，7.2） B（18.51，0）代入圆的方程得方程组： 02+(4-b)2= r2 2=750.21 解得： b= -20.19 r 2 2 2 10 +(0-b) =r 所以圆的方程是： x2+(y+20.19)2=750.21

例4：

△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆

的标准方程.

例4 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, －3)，C(2, －8)，求它的外接圆的方程．

解：设所求圆的方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (1)
因为A(5,1), B(7,－3)，C(2, －8) 都在圆上，所以 它们的坐标都满足方程（1）．于是

?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ( 7 ? a ) ? ( ? 3 ? b ) ? r ? ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?
所求圆的方程为

?a?2 ? ? ?b ? ? 3 ? r ?5 ?
待定系数法

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

小结：
一、

( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 圆的标准方程
2 2

2

y

M

C
O

x

圆心C(a,b),半径r

x 特别的若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为： 二、点与圆的位置关系： 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r ?0 ? ? 0 ? （1）点P在圆上
2 ? x ? a ? y ? b ? r ? ? ? ? （2）点P在圆内 0 0 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r （3）点P在圆外 ? 0 ? ? 0 ? 2 2

2

?y ?r
2

2

三、求圆的标准方程的方法：
1 代数方法：待定系数法求 2 几何方法：数形结合



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