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2.3.1圆的标准方程PPT



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解 析 几 何 的 基 本 思 想

y

y




l : Ax ? By ?

C ? 0

y0
0

P0 (x0,y0)

o

x

圆在坐标系下有什么样的方程?

y

x O

初中复习(温故知新) 1.圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合 叫做圆,其中定点是圆心,定长是半径长. 2.确定圆的基本条件:

圆心确定圆的位 圆心和半径长可以确定一个圆, (1)已知____________ ______
置,_________ 确定圆的大小; 半径长

求:圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程 设M(x,y)是圆上任意一点, 根据定义,点M到圆心C的 距 离等于r,所以圆C就是集合 y M

r
C O 说明:

P={M| |MC|=r}
由两点间的距离公式,点M适 合的条件可表示为: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r 把上式两边平方得: (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 x

1、特点:明确给出了圆心 坐标和半径。

2、确定圆的方程必须具 备三个独立条件。

圆心C(a,b),半径r

y

M(x,y)

O

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

C

x

圆的标准方 程 若圆心为O(0,0),则圆的方程为:

x ?y ?r
2 2

2

练习:1、写出下列各圆的方程:

(1)圆心在点C(3, 4 ),半径是 5 (2) 经过点P(5,1),圆心在点C(8,-3)

(x-3)2+(y-4)2=5
(x-8)2+(y+3)2=25

练习: 2、写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1) (x-1)2+y2=6 (2) (x+1)2+(y-2)2=9 (3)(x+a)2+y2=a2 (1,0) (-1,2) (-a,0) 6 3 |a|

2 2 2 M ( x , y ) 怎样判断点 0 0 0 在圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 内呢?圆上?还是在圆外呢?
y M2 M3

C

o

M1

x

2.点与圆的位置关系
圆 C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为(a,b),半径为 r,点 P(x0,y0),设 d=|PC|= ?x0-a?2+?y0-b?2.

位置关系

d与r 的大小

图示

点P的坐标的特点 (x0-a)2+ (y0-b)2>r2 (x0-a)2+ (y0-b)2=r2 (x0-a)2+ (y0-b)2<r2

点在圆外

d>r _____

点在圆上

d=r ______

点在圆内

d<r _______

设圆 C:(x-2)2+(y+3)2=25,试判断下列各点是在圆内、 在圆外、还是在圆上? (1) M(-1,-7);(2)N(-3,1);(3)P( 2, 2). [解]

(1)由于(-1-2)2+(-7+3)2=25,所以点M在圆C上; (2)由于(-3-2)2+(1+3)2=41>25,所以点N在圆C 外; (3)由于( -2)2+( +3)2=17+2 <25,所以点P在 2 圆C内. 2 2

例1.根据下列条件,求圆的方程: (1)圆心C(-2,1)过点A(2,-2) (2)圆心C(1,3)与直线3x-4y-6=0相切,
(3)过点(0,1)和点(2,1),半径为 5,________.

[分析 ] 只要确定了圆心坐标和半径就可以 写出圆的方程.

[解析]

(1)圆的半径

r=|CA|= (2+2)2+(-2-1)2=5. ∵圆心为(-2,1),∴所求圆的方程为 (x+2)2+(y-1)2=25. (2)∵直线 3x-4y-6=0 是所求圆的切线, ∴圆心(1,3)到这条直线的距离等于圆的半径, |3×1-4×3-6| ∴圆的半径为 r= =3. 2 2 3 +4 ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=9.

(3)设圆心坐标为(a,b),圆的方程为 (x-a)2+(y-b)2=5. 已知圆过点(0,1),(2,1),代入圆的方程中得 , 2 ? 2
?a +(1-b) =5 ? 2 2 ? (2 - a ) + (1 - b ) =5 ? ? ?a1=1 ∴? ? ?b1=-1



? ?a2=1 ,或? ? ?b2=3



∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5或(x- 1)2+(y-3)2=5.

例2 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和 B(2,-2),且圆心C在直线l:x-y+1=0上,求 圆心为C的圆的标准方程.

l

'

[分析] 思路一,AB 的中垂线与直线 l 的交点是圆心,则 解方程组得圆心坐标,圆心到点 B 的距离等于半径,则可以写 出圆的标准方程;思路二,设出圆的标准方程,列方程组求解.

例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, -2), 且圆心C在直线 l:x -y +1=0上,求圆心为C的圆的 标准方程.
y A(1,1) O C 弦AB的垂 直平分线

D

x B(2,-2)

l : x ? y ?1 ? 0
圆心:两条直线的交点 半径:圆心到圆上一点

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程. 解:∵A(1,1),B(2,-2)
3 1 ?2 ? 1 ? 线段AB的中点D( , ? ), k AB ? ? ?3. 2 2 2 ?1 1 1 3 ? 线段AB的垂直平分线CD的方程为:y+ ? ( x ? ). 2 3 2

?x ? y ?1 ? 0 ? x ? ?3 联立直线l , CD的方程: , 解得: ? ? ?x ? 3y ? 3 ? 0 ? y ? ?2

即:x-3y-3=0

∴圆心C(-3,-2)

? r ? AC ? (1 ? 3)2 ? (1 ? 2) 2 ? 5.

?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

例3 己知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2),且 圆心在直线l:x-y+1=0上,求圆心为C的圆的标准方 程.
2 2 2 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r , 解2:设圆C的方程为

∵圆心在直线l:x-y+1=0上

待定系数法

圆经过A(1,1),B(2,-2) ?a ? b ? 1 ? 0 ? a ? ?3 ? ? 2 2 2 ? ?(1 ? a ) ? (1 ? b) ? r ? ?b ? ? 2 ?(2 ? a ) 2 ? (?2 ? b) 2 ? r 2 ?r ? 5 ? ?
?圆心为C的圆的标准方程为(x+3)2 ? ( y ? 2)2 ? 25.

[点评]

求圆的标准方程的方法:

(1)直接法(如本题解法一),直接求出圆心坐标和半径. (2)待定系数法(如本题解法二),步骤是: ①设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; ②由条件列方程(组)解得a,b,r的值; ③写出圆的标准方程.

例3:如图某圆拱桥的圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=37.02m, 拱高OP=7.2m,求这座圆拱桥的圆的方程(精确到0.01m) y
解:建立如图所示的坐标 系,设圆心坐标是(0,b) 圆的半径是r ,则圆的方程是 x2+(y-b)2=r2 。

x

把P(0,7.2) B(18.51,0)代入圆的方程得方程组: 02+(4-b)2= r2 2=750.21 解得: b= -20.19 r 2 2 2 10 +(0-b) =r 所以圆的方程是: x2+(y+20.19)2=750.21

例4:

△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆

的标准方程.

例4 ?ABC 的三个顶点的坐标分别A(5,1), B(7, -3),C(2, -8),求它的外接圆的方程.

解:设所求圆的方程是 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 (1)
因为A(5,1), B(7,-3),C(2, -8) 都在圆上,所以 它们的坐标都满足方程(1).于是

?(5 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? r 2 ? 2 2 2 ( 7 ? a ) ? ( ? 3 ? b ) ? r ? ?(2 ? a) 2 ? (?8 ? b) 2 ? r 2 ?
所求圆的方程为

?a?2 ? ? ?b ? ? 3 ? r ?5 ?
待定系数法

( x ? 2) ? ( y ? 3) ? 25
2 2

小结:
一、

( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 圆的标准方程
2 2

2

y

M

C
O

x

圆心C(a,b),半径r

x 特别的若圆心为O(0,0),则圆的标准方程为: 二、点与圆的位置关系: 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r ?0 ? ? 0 ? (1)点P在圆上
2 ? x ? a ? y ? b ? r ? ? ? ? (2)点P在圆内 0 0 2 2 2 ? x ? a ? y ? b ? r (3)点P在圆外 ? 0 ? ? 0 ? 2 2

2

?y ?r
2

2

三、求圆的标准方程的方法:
1 代数方法:待定系数法求 2 几何方法:数形结合



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