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上海市普陀区2013届高三上学期元月质量调研卷数学试题



上海市普陀区 2013 届高三上学期元月质量调研卷 数学试题
一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题. 1. 不等式 | 2 ? x |? 1 的解为 . . .
(第 4 题图)
A1

2013.1

2. 函数 y ? sin 2 x ? cos2 x 的最小正周期 T ? 3. 若集合 A ? {x |

6 ? 1} ,集合 B ? {?1 , 0 , 1 , 2 , 3} ,则 A ? B ? x?5

4.【理科】如图,正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,直线 BD1 与平面

D1

BCC1 B1 所成的角的大小为

(结果用反三角函数值表示).

B1

C1

【文科】正方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,异面直线 B1C 与 C1 D 所成的
B

A
C

D

角的大小为

.

(第 4 题图)

5. 【理科】若函数 f ( x) ? a ? log3 x 的图像经过点 (1, 1) ,则 f 【文科】若函数 f ( x) ? 1 ? log3 x ,则 f
?1

?1

(?8) ?

.

(?8) ?

.

6. 若等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a2 ? a4 ? 14 , S7 ? 70 ,则数列 {an } 的通项公式 为 .

7. 在一个袋内装有同样大小、质地的五个球,编号分别为1、2、3、4、5,若从袋中任意 取两个,则编号的和是奇数的概率为 (结果用最简分数表示). y
2

1 10 ) 的二项展开式中,常数项等于 8. 在 (2 x ? x
2

.

9. 若函数 f ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ( A ? 0 , ? 图,则 f (0) ? .

?
2

?? ?

?
2

)的部分图像如右

O
.

?
3

x

10. 在 △ ABC 中,若 AB ? AC ? 2 , AB ? BC ? ?7 ,则 AB ?

??? ??? ? ?

(第 9 题图)

11. 【理科】若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 10) ? 2 f ( x ? 9) ,且 f (0) ? 1 ,则 f (?10) ? 【文科】若函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 10) ? 2 f ( x ? 9) ,且 f (0) ? 1 ,则 f (10) ?

_. _.

12. 【理科】 若 C(? 3,0) 、 D( 3,0) , M 是椭圆 的最小值为 .

1 1 x2 ? y 2 ? 1 上的动点,则 ? 4 MC MD

【文科】若 F1 、 F2 是椭圆 的最小值为 .

1 1 x2 ? y 2 ? 1 的左、右两个焦点,M 是椭圆上的动点,则 ? 4 MF1 MF2
S
E A B

13. 三棱锥 S ? ABC 中, E 、 F 、 G 、 H 分别为

SA 、 AC 、 BC 、 SB 的中点,则截面 EFGH
将三棱锥 S ? ABC 分成两部分的体积之比为 .

H

? x ? 1, 0 ? x ? 1 ? 14. 已知函数 f ( x) ? ? x 1 ,设 a ? b ? 0 , F ?2 ? 2 , x ? 1 ?
若 f (a) ? f (b) ,则 b ? f (a) 的取值范围是 .

G
(第 13 题图)

C

二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15. 已知函数 y ? f (x) ( x ? R ),则“ f (1) ? f (2) ”是“函数 y ? f (x) 在 R 上是增函数” 的??????????????????????????????????( )

(A)充分非必要条件. (B)必要非充分条件.(C)充要条件. (D)非充分非必要条件. 16. 【理科】双曲线

x2 y2 ? 2 ? 1 ( a 2 ? ? ? b2 )的焦点坐标为????????( a2 ? ? b ? ?
(B)(? a 2 ? b 2 ,0) . (C)(? a 2 ? b2 ? 2? ,0) .



(A)(? a 2 ? b 2 ,0) .

(D)(0,? a 2 ? b 2 ) . )

x2 y2 ? ? 1 ( 7 ? ? ? 9 )的焦点坐标为??????????( 【文科】双曲线 9?? 7??
(A) (?4,0) . (B) (? 2 ,0) .(C) (0,?4) . (D) (0,? 2 ) .

17. 已知 a ? 0 , b ? 0 ,若 lim

a n ?1 ? b n ?1 ? 5 ,则 a ? b 的值不可能是???????( ... n ?? a n ? b n
(C) 9 . (D) 10 .



(A) 7 .

(B) 8 .

18. 如图,四边形 ABCD 是正方形,延长 CD 至 E ,使得 DE ? CD .若动点 P 从点 A 出发,沿正方 形的边按逆时针方向运动一周回到 A 点,其中 AP ? ? AB ? ? AE ,下列判断 正确的是???????????????????????????????( .. (A)满足 ? ? ? ? 2 的点 P 必为 BC 的中点. (B)满足 ? ? ? ? 1 的点 P 有且只有一个. (C) ? ? ? 的最大值为 3. (D) ? ? ? 的最小值不存在. 三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图,某种水箱用的“浮球” ,是由两个半球和一个圆柱筒组成. 已知球的直径是 6 cm ,圆柱筒 长 2 cm . (1)这种“浮球”的体积是多少 cm (结果精确到 0.1)? (2)要在这样 2500 个“浮球”表面涂一层胶质, 如果每平方米需要涂胶 100 克,共需胶多少?
2cm
3

??? ?

??? ?

??? ?



E

D

C
P

A

B

(第 18 题图)

6cm (第 19 题图)

20. (本题满分 14 分)本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知动点 A( x, y) 到点 F (2,0) 和直线 x ? ?2 的距离相等. (I)求动点 A 的轨迹方程; (II)记点 K (?2,0) ,若 AK ?

y

2 AF ,求△ AFK 的面积.

K ?2

O

F 2

x

(第 20 题图)

21.(本题满分 14 分) 本大题共有 2 小题,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. 已知 a 、 b 、 c 是 △ ABC 中 ? A 、 ? B 、 ?C 的对边, a ? 4 3 , b ? 6 , cos A ? ? . (1)求 c ; (2)求 cos( 2 B ?

?
4

1 3

) 的值.

22. (本题满分 16 分)第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分 ,第 3 小题满分 6 分. 【理科】 在平面直角坐标系 xOy 中, An 满足 OA ? (0,1) , An An ?1 ? (1,1) ; Bn 满足 OB ? (3,0) , 点 且 点 1 1
* 且 Bn Bn ?1 ? (3 ? ( ) ,0) ,其中 n ? N .

(1)求 OA2 的坐标,并证明点 An 在直线 y ? x ? 1 上; .. (2)记四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积为 an ,求 an 的表达式; (3)对于(2)中的 an ,是否存在最小的正整数 P ,使得对任意 n ? N 都有 a n ? P 成立?若存在,
*

???? ?

2 3

n

求 P 的值;若不存在,请说明理由. 【 文 科 】 f (x ) 和 g (x) 都 是 定 义 在 集 合 M 上 的 函 数 , 对 于 任 意 的 x ? M , 都 有

f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 成立,称函数 f (x) 与 g (x) 在 M 上互为“ H 函数”.
(1)若函数 f ( x) ? ax ? b , g ( x) ? m x ? n , f (x ) 与 g (x) 互为“ H 函数”,证明: f (n) ? g (b) .
2 (2)若集合 M ? [?2,2] ,函数 f ( x) ? x , g ( x) ? cos x ,判断函数 f (x ) 与 g (x) 在 M 上是否互为

“ H 函数” ,并说明理由.
x (3)函数 f ( x) ? a ( a ? 0且a ? 1), g ( x) ? x ? 1 在集合 M 上互为“ H 函数”,求 a 的取值范围及

集合 M .

23.(本题满分 18 分)第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分 ,第 3 小题满分 8 分. 【理科】设函数 f (x ) 和 g (x) 都是定义在集合 M 上的函数,对于任意的 x ? M ,都有

f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 成立,称函数 f (x) 与 g (x) 在 M 上互为“ H 函数”.
(1)函数 f ( x) ? 2 x 与 g ( x) ? sin x 在 M 上互为“ H 函数” ,求集合 M ; (2)若函数 f ( x) ? a x ( a ? 0且a ? 1)与 g ( x) ? x ? 1 在集合 M 上互为“ H 函数”, 求证: a ? 1 ;
* (III)函数 f ( x) ? x ? 2 与 g (x) 在集合 M ? {x | x ? ?1 且 x ? 2k ? 3 , k ? N } 上互为“ H

函数” ,当 0 ? x ? 1 时, g ( x) ? log2 ( x ? 1) ,且 g (x) 在 (?1,1) 上是偶函数,求函数 g (x) 在集合 M 上的解析式. 【 文 科 】 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 点 An 满 足 OA ? (0,1) , 且 An An ?1 ? (1,1) ; 点 Bn 满 足 1

2 OB1 ? (3,0) ,且 Bn Bn ?1 ? (3 ? ( ) n ,0) ,其中 n ? N * . 3 ???? ? (1)求 OA2 的坐标,并证明点 An 在直线 y ? x ? 1 上; ..
(2)记四边形 An Bn Bn ?1 An ?1 的面积为 an ,求 an 的表达式; (3)对于(2)中的 an ,是否存在最小的正整数 P ,使得对任意 n ? N 都有 a n ? P 成立?若存在,
*

求 P 的值;若不存在,请说明理由.

2012 学年第一学期普陀区高三理科数学质量调研评分标准
一、 填空题 (本大题满分 56 分) 本大题共有 14 题, 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. [1,3] 2. ?
*

3. {?1, 0} 7.

4. 【 理 科 】 arctan 8.180 9. ? 1

2 ? ; 文 科 】 60 【 2
10.3

5. 3

9

6. an ? 3n ? 2 n ? N ) ( 【文科】 2
10

3 5

11. 理科】 【

1 210

12.1

13. 1 : 1

14. [ , 2 )

3 4

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的 相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
15. B 16. B 17. D 18. C

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域 内写出必要的步骤. 19.【解】 (1) d ? 6cm , R ? 3cm , V球 ?

4 3 4 ?R ? ? ? 27 ? 36? cm3 ????2 分 3 3

h ? 2 , V圆柱 ? ?R2 ? h ? ? ? 9 ? 2 ? 18? cm3 ????2 分

V ? V球 ? V圆柱 ? 36? ? 18? ? 54? ? 169 .6 cm3 ????2 分
2 (2) S球表 ? 4?R ? 4 ? ? ? 9 ? 36? cm ????2 分
2

S圆柱侧 ? 2?Rh ? 2 ? ? ? 3 ? 2 ? 12? cm2 ????2 分
36? ? 12? 48 ? 4 ? m2 4 10 10 48 2 2500 个“浮球”的表面积的和 S 2500 ? 2500 ? 4 ? ? 12? m 10 所用胶的质量为 100 ? 12? ? 1200? (克)????2 分
1 个“浮球”的表面积 S1 ? 答:这种浮球的体积约为 169 .6 cm ;供需胶 1200 ? 克.
3

20.【解】 (1)由题意可知,动点 A 的轨迹为抛物线,其焦点为 F (2, 0) ,准线为 x ? ?2

设方程为 y 2 ? 2 px ,其中

p ? 2 ,即 p ? 4 ??2 分 2

所以动点 A 的轨迹方程为 y 2 ? 8x ??2 分 (2)过 A 作 AB ? l ,垂足为 B ,根据抛物线定义,可得 | AB |?| AF | ??2 分

y B A
由于 AK ? ???2 分

2 AF ,所以 ?AFK 是等腰直角三角形

K ?2 O

F

其中 | KF |? 4 ????2 分

2

x

所以 S ?AFK ?

1 ? 4 ? 4 ? 8 ????2 分 2

x ? ?2

21.【解】 (1)在 △ ABC 中,由余弦定理得, a ? b ? c ? 2bc cos A …………2 分
2 2 2

1 48 ? 36 ? c 2 ? 2 ? c ? 6 ? (? ) …………2 分 3 2 即 c ? 4c ? 12 ? 0 , (c ? 6)(c ? 2) ? 0 ,解得 c ? 2 …………2 分
(2)由 cos A ? ?

1 2 2 ? 0 得 A 为钝角,所以 sin A ? …………2 分 3 3 a b ? 在 △ ABC 中, 由正弦定理,得 sin A sin B 2 2 6? b ? sin A 3 ? 6 …………2 分 ? 则 sin B ? a 3 4 3
由于 B 为锐角,则 cos B ?

3 ……2 分 3 2 1 cos 2 B ? 1 ? 2 sin 2 B ? 1 ? 2 ? ? ? 3 3 6 3 2 2 sin 2B ? 2 sin B ? cos B ? 2 ? ? ? 3 3 3 ? 2 2 1 2 2 4? 2 (cos2 B ? sin 2 B) ? (? ? )? 所以 cos( 2 B ? ) ? ………2 分 4 2 2 3 3 6 ???? ? 22.【理科】 【解】 (1)由已知条件得, A1 A2 ? (1,1), A1 A2 ? OA2 ? OA ,所以 OA2 ? (1,2)……2 1


An An?1 ? (1,1),则 OAn?1 ? OAn ? (1, 1)

设 OAn ? ( xn , y n ) ,则 xn?1 ? xn ? 1 , y n?1 ? y n ? 1 所以 xn ? 0 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ; yn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ………2 分 即 An ? (n ? 1, n) 满足方程 y ? x ? 1 ,所以点 An 在直线 y ? x ? 1 上. ………1 分 (证明 An 在直线 y ? x ? 1 上也可以用数学归纳法证明.) (2)由(1)得 An (n ? 1, n)

2 Bn Bn ?1 ? OB n ?1 ? OB n ? (3 ? ( ) n ,0) ………1 分 3
设 Bn (u n , vn ) ,则 u1 ? 3 , v1 ? 0

vn?1 ? vn ? 0 ,所以 vn ? 0
2 2 u n ?1 ? u n ? 3 ? ( ) n , 逐差累和得, u n ? 9(1 ? ( ) n ) , 3 3 2 n 所以 Bn (9(1 ? ( ) ), 0) ???2 分 3
设直线 y ? x ? 1 与 x 轴的交点 P ? ?1,0? ,则

an ? S?PAn?1Bn?1 ? S ?PAn Bn

1? ?2? ? ?10 ? 9 ? ? 2? ?3? ?

n ?1

n ? 1? ?2? ? ? ? n ? 1? ? ?10 ? 9 ? ? ? n 2? ?3? ? ? ? ? ?

2 an ? 5 ? (n ? 2)( ) n ?1 , n ? N * ……2 分 3 2 n ?1 * (3)由(2) an ? 5 ? (n ? 2)( ) , n ? N 3
n n ?1 n ?1 ? ?2? ? ? ? 2? ? 4?n? 2? an ?1 ? an ? ?5 ? ? n ? 1? ? ? ? ? ?5 ? ? n ? 2 ? ? ? ? ? …2 分 ? ? 3 ? 3? ?3? ? ? ?3? ? ? ? ? ? ?

于是, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , a5 ? a6 ? a7 ? ? ………2 分 数列 ?an ? 中项的最大值为 a4 ? a5 ? 5 ?

16 16 ,则 P ? 5 ,即最小的正整数 p 的值为 6 , 27 27
*

所以,存在最小的自然数 p ? 6 ,对一切 n ? N 都有 a n ? p 成立.??2 分 【文科】22. 【解】 (1) 证明: 函数 f (x ) 与 g (x) 互为 H 函数“,则对于 ?x ? R , f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) “ 恒成立.即 a(mx ? n) ? b ? m(ax ? b) ? n 在 R 上恒成立??????2 分

化简得 amx? (an ? b) ? amx? (bm ? n) ………………2 分 所以当 an ? b ? bm ? n 时, f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) ,即 f (n) ? g (b) …1 分 (2)假设函数 f (x ) 与 g (x) 互为“ H 函数” ,则对于任意的 x ? M

f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 恒成立.即 cos x 2 ? cos2 x ,对于任意 x ?[?2,2] 恒成立?2 分.
当 x ? 0 时, cos 0 ? cos 0 ? 1 . 不妨取 x ? 1 ,则 cos12 ? cos1 ,所以 cos1 ? cos2 1 ??????2 分 所以假设不成立,在集合 M 上,函数 f (x ) 与 g (x) 不是互为“ H 函数”???1 分. (3)由题意得, a
x ?1

? a x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )………2 分

变形得, a x (a ? 1) ? 1 ,由于 a ? 0 且 a ? 1

ax ?

1 1 x ? 0 ,即 a ? 1 ………2 分 ,因为 a ? 0 ,所以 a ?1 a ?1

此时 x ? ? loga (a ? 1) ,集合 M ? {x | x ? ? loga (a ? 1), a ? 1 ………2 分 }

23.【解】 (1)由 f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 得 2 sin x ? sin 2 x 化简得, 2 sin x(1 ? cos x) ? 0 , sin x ? 0 或 cos x ? 1 ………2 分 解得 x ? k? 或 x ? 2k? , k ? Z ,即集合 M ? {x | x ? k? } k ? Z ………2 分 (若学生写出的答案是集合 M ? {x | x ? k? , k ? Z} 的非空子集,扣 1 分,以示区别。) (2)证明:由题意得, a
x ?1

? a x ? 1 ( a ? 0 且 a ? 1 )………2 分

x 变形得, a (a ? 1) ? 1 ,由于 a ? 0 且 a ? 1

1 ………2 分 a ?1 1 x ? 0 ,即 a ? 1 ………2 分 因为 a ? 0 ,所以 a ?1 ax ?
(3)当 ? 1 ? x ? 0 ,则 0 ? ? x ? 1 ,由于函数 g (x) 在 (?1,1) 上是偶函数 则 g ( x) ? g (? x) ? log2 (1 ? x)

所以当 ? 1 ? x ? 1 时, g ( x) ? log2 (1? | x |) ?????2 分 由于 f ( x) ? x ? 2 与函数 g (x) 在集合 M 上“ 互为 H 函数” 所以当 x ? M , f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 恒成立,

g ( x) ? 2 ? g ( x ? 2) 对于任意的 x ? (2n ? 1,2n ? 1) ( n ? N )恒成立,
即 g ( x ? 2) ? g ( x) ? 2 ?????2 分 所以 g[ x ? 2(n ? 1) ? 2] ? g[ x ? 2(n ? 1)] ? 2 , 即 g ( x ? 2n) ? g[ x ? 2(n ? 1)] ? 2 所以 g ( x ? 2n) ? g ( x) ? 2n , 当 x ? (2n ? 1,2n ? 1) ( n ? N )时, x ? 2n ? (?1,1)

g ( x ? 2n) ? log2 (1? | x ? 2n |) ?????2 分
所以当 x ? M 时,

g ( x) ? g[(x ? 2n) ? 2n] ? g ( x ? 2n) ? 2n ? log2 (1? | x ? 2n |) ? 2n ???2 分
【文科】23、 【解】 (1)由已知条件得, A1 A2 ? (1,1), A1 A2 ? OA2 ? OA ,所以 OA2 ? (1,2)……2 1 分

???? ?

An An?1 ? (1,1),则 OAn?1 ? OAn ? (1, 1)
设 OAn ? ( xn , y n ) ,则 xn?1 ? xn ? 1 , y n?1 ? y n ? 1 所以 xn ? 0 ? (n ? 1) ? 1 ? n ? 1 ; yn ? 1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ………2 分 即 An ? (n ? 1, n) 满足方程 y ? x ? 1 ,所以点 An 在直线 y ? x ? 1 上. ………1 分 (证明 An 在直线 y ? x ? 1 上也可以用数学归纳法证明.) (2)由(1)得 An (n ? 1, n)

2 Bn Bn ?1 ? OB n ?1 ? OB n ? (3 ? ( ) n ,0) ………1 分 3

设 Bn (u n , vn ) ,则 u1 ? 3 , v1 ? 0

vn?1 ? vn ? 0 ,所以 vn ? 0
2 2 u n ?1 ? u n ? 3 ? ( ) n , 逐差累和得, u n ? 9(1 ? ( ) n ) , 3 3 2 n 所以 Bn (9(1 ? ( ) ), 0) ???2 分 3
设直线 y ? x ? 1 与 x 轴的交点 P ? ?1,0? ,则

an ? S?PAn?1Bn?1 ? S ?PAn Bn

1? ?2? ? ?10 ? 9 ? ? 2? ?3? ?

n ?1

n ? 1? ?2? ? ? ? n ? 1? ? ?10 ? 9 ? ? ? n 2? ?3? ? ? ? ? ?

2 an ? 5 ? (n ? 2)( ) n ?1 , n ? N * ……2 分 3 2 n ?1 * (3)由(2) an ? 5 ? (n ? 2)( ) , n ? N 3
n n ?1 n ?1 ? ?2? ? ? ? 2? ? 4?n? 2? an ?1 ? an ? ?5 ? ? n ? 1? ? ? ? ? ?5 ? ? n ? 2 ? ? ? ? ? …2 分 ? ? 3 ? 3? ?3? ? ? ?3? ? ? ? ? ? ?

于是, a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 , a5 ? a6 ? a7 ? ? ………2 分 数列 ?an ? 中项的最大值为 a4 ? a5 ? 5 ?

16 16 ,则 P ? 5 ,即最小的正整数 p 的值为 6 , 27 27
*

所以,存在最小的自然数 p ? 6 ,对一切 n ? N 都有 a n ? p 成立.??2 分



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