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2015高中数学一轮复习065离散型随机变量及其分布列



2015 级高三数学一轮复习学案(理)

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编号:065

第六十五课时

离散型随机变量及其分布列

课前预习案

考纲要求 1.会求与现实生活有密切关系的离散型随机变量的分布列; 2.掌握二

点分布与超几何分布的特点,并会应用.

基础知识梳理 1. 离散型随机变量 如果随机变量 X 的所有可能的取值都能 2. 离散型随机变量的分布列及性质 (1)离散型随机变量的分布列: 若离散型随机变量 X 所有可能取的值为 x1,x2,?,xi,?,xn,X 取每一个值 xi(i=1,2,?,n)的概率为 p1,p2,?, pn,则表 X P x1 p1 x2 p2 ? ? xi pi ? ? xn pn 出来,则称 X 为离散型随机变量.

称为离散型随机变量 X 的概率分布或称为离散型随机变量 X 的分布列. (2)离散型随机变量分布列的性质: ①pi 0 , (i=1,2,3,?,n);②p1+p2+?+pn= ;③P(xi≤x≤xj)=pi+pi+1+?+pj.

3. 常见离散型随机变量的分布列 (1)二点分布:如果随机变量 X 的分布列为 X P 其中 0<p<1,q= (2)超几何分布: 设有总数为 N 件的两类物品,其中一类有 M 件,从所有物品中任取 n 件(n≤N),这 n 件中所含这类物品件数 X 是一个 离散型随机变量,当 X=m 时的概率为 P(X=m)= (0≤m≤l,l 为 n 和 M 中较小的一个),称离散型随机变 1 p 0 q

,则称离散型随机变量 X 服从参数为 p 的二点分布.

量 X 的这种形式的概率分布为超几何分布,也称 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布. 预习自测 1. 设随机变量 X 的分布列如下:则 p=________. X P 1 1 6 2 1 3 3 1 6 4 p

2. 设某运动员投篮投中的概率为 0.3,则一次投篮时投中次数 X 的分布列是________. 3. 在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,又记下它的颜色,写出这两 次取出白球数 η 的分布列为_____________. 1 4. 已知随机变量 X 的分布列为 P(X=k)= k,k=1,2,?,则 P(2<X≤4)等于 2 A. 3 16 B. 1 4 C. 1 16 D. 5 16 1 ( )

2015 级高三数学一轮复习学案(理) 5. 随机变量 X 的分布列如下:

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编号:065 X P -1 a 0 b 1 c

其中 a,b,c 成等差数列,则 P(|X|=1)等于 A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3

课堂探究案 典型例题 考点 1 离散型随机变量的分布列的性质

k 【典例 1】设随机变量 ξ 的分布列为 P ξ=5 =ak(k=1,2,3,4,5), 3 则常数 a 的值为________,P ξ≥5 =________.

( )

( )

【变式 1】

若离散型随机变量 X 的分布列为 X P 0 9c2-c 1 3-8c

则常数 c=________,P(X=1)=________.

考点 2

离散型随机变量的分布列的求法及应用

【典例 2】随机抽取某厂的某种产品 200 件,经质检,其中有一等品 126 件、二等品 50 件、三等品 20 件、次品 4 件.已知 生产 1 件一、二、三等品获得的利润分别为 6 万元、2 万元、1 万元,而 1 件次品亏损 2 万元.设 1 件产品的利润(单位: 万元)为 ξ. (1)求 ξ 的分布列; (2)求 1 件产品的平均利润(即 ξ 的均值);

【变式 2】某商店试销某种商品 20 天,获得如下数据: 试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变), 设某天开始营 业时有该商品 3 件,当天营业结束后检查存货,若发现存量少于 2 件,则当天进货补充至 ,将频率视为概率. ...3 件,否则不进货 ... (1)求当天商店不进货 的概率; ... (2)记 X 为第二天开始营业时该商品的件数,求 X 的概率分布列和数学期望. 日销售量(件) 频数 0 1 1 5 2 9 3 5

考点 3 超几何分步 7 【典例 3】一袋中装有 10 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球的概率是 . 9 (1)求白球的个数; (2)从袋中任意摸出 3 个球,记得到白球的个数为 X,求随机变量 X 的分布列.

2

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【变式 3】2013 年 10 月 1 日,为庆祝中华人民共和国成立 64 周年,来自北京大学和清华大学的 6 名大学生志愿者被 随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、打扫卫生、维持秩序这三个岗位服务,且运送矿泉水岗位至少有 1 名北京大 3 学志愿者的概率是 . 5 (1)求打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1 名的概率; (2)设随机变量 ξ 为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数,求 ξ 的分布列.

当堂检测 1.设 X 是一个离散型随机变量,其分布列为 X P 则 q 等于 A.1 B.1± 2 2 -1 1 2 0 1-2q 1 q2 ( ) C.1- 2 2 D.1+ 2 2

2. 某射手射击所得环数 X 的分布列为 X P 4 0.02 5 0.04 6 0.06 7 0.09 8 0.28 9 0.29 ( D.0.51 ) 10 0.22

则此射手“射击一次命中环数大于 7”的概率为 A.0.28 B.0.88 C.0.79

3. 设某项试验的成功率是失败率的 2 倍,用随机变量 X 去描述 1 次试验的成功次数,则 P(X=0)等于 ( A.0 B. 1 2 C. 1 3 D. 2 3 )

4. 在 15 个村庄中有 7 个村庄交通不方便,现从中任意选 10 个村庄,用 X 表示这 10 个村庄中交通不方便的村庄数,下列
6 C4 7C8 概率中等于 10 的是 C15

( B.P(X≤2) D.P(X≤4)

)

A.P(X=2) C.P(X=4)

5. 设随机变量 X 等可能取值为 1,2,3,?,n,如果 P(X<4)=0.3,那么 n=______.

课后拓展案

A 组全员必做题

1 5 a 1. 随机变量 X 的概率分布规律为 P(X=n)= (n=1,2,3,4),其中 a 是常数,则 P 2<X<2 的值为 n?n+1? A. 2 3 B. 3 4 C. 4 5 D. 5 6

(

)

(

)

2. 袋中装有 10 个红球、5 个黑球.每次随机抽取 1 个球后,若取得黑球则另换 1 个红球放回袋中,直到取到红球为止.若 抽取的次数为 ξ,则表示“放回 5 个红球”事件的是( A.ξ=4 B.ξ=5 C.ξ=6 D.ξ≤5 X 0 1 2 3 )

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时间: P a

编号:065 1 3 1 6

3. 设随机变量 X 的概率分布列如下表所示: F(x)=P(X≤x),则当 x 的取值范围是[1,2)时,F(x)等于 A. 1 3 B. 1 6 C. 1 2 D. 5 6

4. 已知随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ=k)= 5. 设随机变量 X 的概率分布列为 则 P(|X-3|=1)=________.

1 - ,k=1,2,3,?,n,则 P(2<ξ≤5)=________. 2k 1 X P 1 1 3 2 m 3 1 4 4 1 6

6.已知随机变量 ξ 只能取三个值:x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则公差 d 的取值范围是________. 7.从装有 3 个红球、2 个白球的袋中随机取出 2 个球,设其中有 X 个红球,则随机变量 X 的概率分布列为 X P 0 1 2

8.从一批含有 13 件正品与 2 件次品的产品中,不放回地任取 3 件,求取得次品数的分布列.

B 组提高选做题 1. 如图所示,A、B 两点 5 条连线并联,它们在单位时间内能通过的最 大信息量依次为 2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通 过的最大信息总量为 ξ,则 P(ξ≥8)=_______.

2.某地区对 12 岁儿童瞬时记忆能力进行调查.瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班学生共有 40 人,下表 为该班学生瞬时记忆能力的调查结果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏高的学生为 3 人. 视觉 听觉 偏低 听觉 记忆 能力 偏高 超常 中等 偏低 0 1 2 0 视觉记忆能力 中等 7 8 a 2 偏高 5 3 0 1 超常 1 b 1 1

由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机抽取一人,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以 2 上的概率为 . 5 (1)试确定 a,b 的值; (2)从 40 人中任意抽取 3 人,求其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率; (3)从 40 人中任意抽取 3 人, 设具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为 ξ, 求随机变量 ξ 的分布列.

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预习自测 1. 【答案】
2. 【答案】 X P 0 0.7 1 0.3

1 1 【解析】 由分布列的性质知:所有概率之和为 1,所以 p= . 3 3

3. 【答案】 η P 0 1 4 1 1 2 2 1 4

【解析】 η 的所有可能值为 0,1,2.
1 1 1 C1 C1 1 1 C1 1 1C1×2 1C1 1C1 P(η=0)= 1 1= ,P(η=1)= 1 1 = ,P(η=2)= 1 1= . C2C2 4 C2C2 2 C2C2 4

∴η 的分布列为 η P 0 1 4 1 1 2 2 1 4

4. 【答案】 A【解析】

1 1 3 P(2<X≤4)=P(X=3)+P(X=4)= 3+ 4= . 2 2 16

5. 【答案】 D【解析】 ∵a,b,c 成等差数列,∴2b=a+c. 1 2 又 a+b+c=1,∴b= ,∴P(|X|=1)=a+c= . 3 3

典型例题【典例 1】 【答案】
【解析】随机变量 ξ 的分布列为 ξ P

1 4 15 5
1 5 a 2 5 2a 3 5 3a 4 5 4a

1 5a

3 3 4 1 由 a+2a+3a+4a+5a=1,解得 a= .P ξ≥5 =P ξ=5 +P ξ=5 +P(ξ=1) 15 =3a+4a+5a=12a= 【变式 1】 【答案】 9c -c+3-8c=1 ? ? ?0≤9c2-c≤1 ?0≤3-8c≤1 ?
2

( ) ( ) ( )

3 4? 2 4 或P ξ≥5 =1-P?ξ≤ ?=1-3a= ?. 5? 5 5? 由离散型随机变量分布列的性质可知:

( )

1 1 【解析】 3 3

1 1 1 ,解得 c= .P(X=1)=3-8× = . 3 3 3

126 【典例 2】 【解析】 (1)由于 1 件产品的利润为 ξ,则 ξ 的所有可能取值为 6,2,1,-2,由题意知 P(ξ=6)= =0.63,P(ξ 200 50 20 4 =2)= =0.25,P(ξ=1)= =0.1,P(ξ=-2)= =0.02.故 ξ 的分布列为 200 200 200 ξ P 6 0.63 2 0.25 1 0.1 -2 0.02

(2)1 件产品的平均利润为 E(ξ)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万元). 5

2015 级高三数学一轮复习学案(理) 【变式 2】 【解析】

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1 5 3 (1)P(当天商店不进货)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 1 件)= + = . 20 20 10

(2)由题意知,X 的可能取值为 2,3. P(X=2)=P(当天商品销售量为 1 件)= 5 1 = ; 20 4

1 9 5 3 P(X=3)=P(当天商品销售量为 0 件)+P(当天商品销售量为 2 件)+P(当天商品销售量为 3 件)= + + = . 20 20 20 4 所以 X 的概率分布列为 X P 2 1 4 3 3 4

1 3 11 故 X 的数学期望为 E(X)=2× +3× = . 4 4 4 【典例 3】 【解析】 (1)记“从袋中任意摸出 2 个球,至少得到 1 个白球”为事件 A,设袋中白球的个数为 x,则 P(A)=1- C2 10-x 7 = ,得到 x=5.故白球有 5 个. C2 9 10 (2)X 服从超几何分布,其中 N=10,M=5,n=3,其中 P(X=k)= 于是可得其分布列为 X P 0 1 12 1 5 12 2 5 12 3 1 12
k 3 k C5 C5 ,k=0,1,2,3. C3 10


【变式 3】 【解析】(1)记“至少有 1 名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件 A,则事件 A 的对立事件为“没 有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”,设有北京大学志愿者 x 名,1≤x<6,那么 P(A)=1- 即来自北京大学的志愿者有 2 名,来自清华大学的志愿者有 4 名. 记“打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1 名”为事件 B,则 P(B)= 8 所以打扫卫生岗位恰好有北京大学、清华大学志愿者各 1 名的概率是 . 15 (2)在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数 ξ 服从超几何分布, 其中 N=6,M=2,n=2,于是 P(ξ=k)= ∴P(ξ=0)=
2 k Ck 2C4 2 ,k=0,1,2, C6


C2 6-x 3 = ,解得 x=2, C2 5 6

1 C1 8 2C4 = , C2 15 6

2 1 0 C0 2 C1 8 C2 1 2C4 2C4 2C4 ,P(ξ=2)= 2 = . 2 = ,P(ξ=1)= 2 = C6 5 C6 15 C6 15

所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 2 5 1 8 15 2 1 15

当堂检测 1. 【答案】 C

6

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【解析】 由分布列的性质得:

1 ? 2 ? q ? 1 ? 2q ? 2 ? 1 ? 2 ,∴q=1- .故选 C. ?1 ? 1 ? 2q ? 0 2 ?1 ? q 2 ? 0 ? ?
10 k Ck 7C8 ,故 k=4. C10 15


2. 【答案】C【解析】P(X>7)=P(X=8)+P(X=9)+P(X=10)=0.28+0.29+0.22=0.79. 3. 【答案】 C4. 【答案】 C【解析】X 服从超几何分布 P(X=k)=

1 5. 【答案】 10【解析】 由于随机变量 X 等可能取值为 1,2,3,?,n.所以取到每个数的概率均为 . n 3 ∴P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)= =0.3,∴n=10. n A 组全员必做题 1. 【答案】 D【解析】 a a a a a 5 ∵P(X=n)= (n=1,2,3,4),∴ + + + =1,∴a= , 2 6 12 20 4 n?n+1?

1 5 5 1 5 1 5 ∴P 2<X<2 =P(X=1)+P(X=2)= × + × = . 4 2 4 6 6 2. 【答案】C【解析】“放回 5 个红球”表示前 5 次摸到黑球,第 6 次摸到红球,故 ξ=6. 1 1 1 1 1 5 3. 【答案】D【解析】∵a+ + =1,∴a= ,∵x∈[1,2),∴F(x)=P(X≤x)= + = . 3 6 2 2 3 6 7 1 1 1 7 4. 【答案】 【解析】P(2<ξ≤5)=P(ξ=3)+P(ξ=4)+P(ξ=5)= + + = . 16 4 8 16 16 5 1 1 1 1 1 1 5 5. 【答案】 【解析】由 +m+ + =1,解得 m= ,P(|X-3|=1)=P(X=2)+P(X=4)= + = . 12 3 4 6 4 4 6 12 6.【答案】 1 , [-1 3 3]【解析】设 ξ 取 x ,x ,x 时的概率分别为 a-d,a,a+d,
1 2 3

(

)

1 ? ?3-d≥0 1 则(a-d)+a+(a+d)=1,∴a= ,由? 3 1 ? ?3+d≥0 7.【答案】0.1 0.6 0.3【解析】 P(X=0)=

1 1 得- ≤d≤ . 3 3

C2 C1 C1 6 C2 2 3· 2 3 =0.6,P(X=2)= 2=0.3. 2=0.1,P(X=1)= 2 = C5 C5 10 C5

8.【解析】设随机变量 ξ 表示取出次品的个数,则 ξ 服从超几何分布,它的可能取值为 0,1,2,其相应的概率为 P(ξ=0)=
3 2 1 C0 22 C1 12 C2 1 2C13 2C13 2C13 ,P(ξ=1)= 3 = ,P(ξ=2)= 3 = . 3 = C15 35 C15 35 C15 35

所以 ξ 的分布列为 B 组提高选做题 1. 【答案】 P(ξ=9)= 4 【解析】 5 方法一

ξ P

0 22 35

1 12 35

2 1 35

由已知,ξ 的取值为 7,8,9,10,∵P(ξ=7)=

1 2 1 1 C2 C2 1 3 2C1+C2C2 2C2 = ,P(ξ=8)= = , 3 C3 5 C 10 5 5

1 1 1 C1 2 C2 1 2C2C1 2C1 = ,P(ξ=10)= 3 = ,∴ξ 的分布列为 C3 5 C 10 5 5

ξ P

7 1 5

8 3 10

9 2 5

10 1 10 P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1-
1 C2 4 2C2 3 = . C5 5

3 2 1 4 ∴P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)= + + = .方法二 10 5 10 5

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2.【解析】(1)由表格数据可知,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上的学生共有 (10+a)人.记“视 觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为中等或中等以上”为事件 A, 则 P(A)= 10+a 2 = ,解得 a=6.所以 b=40-(32+a)=40-38=2.答 a 的值为 6,b 的值为 2. 40 5

(2)由表格数据可知,具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生共有 8 人. 方法一 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B,则“没有一位具有听觉记忆能力 或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B ,所以 P(B)=1-P( B )=1- 答 C3 124 123 32 =1- = . C3 247 247 40 123 . 247

从这 40 人中任意抽取 3 人,其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为

方法二 记“至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生”为事件 B, 所以 P(B)= 答
2 2 1 3 C1 123 8C32+C8C32+C8 = . 3 C40 247

从这 40 人中任意抽取 3 人,其中至少有一位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率为

123 . 247

(3)由于从 40 位学生中任意抽取 3 人的结果数为 C3 40,其中具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的学生共 24
3 k 人,从 40 位学生中任意抽取 3 人,其中恰有 k 位具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的结果数为 Ck 24C16 ,


所以从 40 位学生中任意抽取 3 人,其中恰有 k 人具有听觉记忆能力或视觉记忆能力偏高或超常的概率为 P(ξ=k)=
3 k 3 Ck C0 14 24C16 24C16 (k=0,1,2,3),ξ 的可能取值为 0,1,2,3,因为 P(ξ=0)= 3 = , 3 C40 C40 247


P(ξ=1)=

2 1 0 C1 72 C2 552 C3 253 24C16 24C16 24C16 = ,P(ξ=2)= 3 = ,P(ξ=3)= 3 = , 3 C40 247 C40 1 235 C40 1 235

所以 ξ 的分布列为 ξ P 0 14 247 1 72 247 2 552 1 235 3 253 1 235

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