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高中数学选修1-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习及答案



高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第一章 常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词

一、学习任务 了解逻辑联结词 “或” “且” “非” 的含义,能用 “或” “且” “非” 表述相关的数学 内容并判断真假. 二、知识清单
复合命题的概念与真假判断 复合命题的否定

三、知识讲解
1.

复合命题的概念与真假判断 描述: 且(and) 一般地,用联结词“且”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题,记作 p ∧ q ,读 作“ p 且 q ”.当 p ,q 都是真命题时, p ∧ q 是真命题;当 p ,q 两个命题中有一个命题 是假命题时, p ∧ q 是假命题.

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p∧q
真 假 假 假

或(or) 一般地,用联结词“或”把命题 p 和命题 q 联结起来,就得到一个新命题,记作 p ∨ q ,读 作“ p 或 q ”.当 p ,q 两个命题中有一个命题是真命题时, p ∨ q 是真命题;当 p ,q 都 是假命题时, p ∨ q 是假命题.

p
真 真 假 假

q
真 假 真 假

p∨q
真 真 真 假

非(not)

非(not) 一般地,对一个命题 p 全盘否定,就得到一个新命题,记作 ?p 读作“非 p ”或“ p 的否 定”.若 p 是真命题,则 ?p 必是假命题;若 p 是假命题,则 ?p 必是真命题.

p
真 假

?p
假 真

复合命题 不含有逻辑联结词的命题是简单命题,由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的 命题是复合命题. 例题: 将下列命题用“且”和“或”联结成新的命题,并判断它们的真假. (1)p : √2 是无理数,q : 3 不是无理数; (2)p : 方程 x 2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根,q : 方程 x2 + 2x + 1 = 0 两根的绝对 值相等; (3)p : 3 是 19 的约数,q : 3 是 27 的约数. 解:(1) p ∧ q :√2 是无理数且 3 不是无理数;p ∨ q :√2 是无理数或 3 不是无理数. 由于 p 是真命题,q 是真命题,所以 p ∧ q 是真命题, p ∨ q 是真命题. (2) p ∧ q :方程 x 2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根且两根的绝对值相等;p ∨ q :方程 x2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根或两根的绝对值相等. 由于 p 是假命题,q 是真命题,所以 p ∧ q 是假命题,p ∨ q 是真命题. (3)p ∧ q :3 是 19 的约数且 3 是 27 的约数;p ∨ q :3 是 19 的约数或 3 是 27 的约 数. 由于 p 是假命题,q 是真命题,所以 p ∧ q 是假命题,p ∨ q 是真命题. 写出下列命题的否定,并判断真假. (1)p :y = cos x 是奇函数; (2)p : (3)p :四个角都相等的四边形是正方形; (4)p :一元二次方程至多有两个解. 解:(1)?p : y = cos x 不是奇函数.是真命题. (2)?p : (3)?p : 四个角都相等的四边形不都是正方形.是真命题. (4)?p : 一元二次方程至少有三个解.是假命题.

3 是无理数; 7

3 不是无理数.是真命题. 7

2.复合命题的否定 描述: “且”的否定

?(p ∧ q) = (?p) ∨ (?q)
“或”的否定

?(p ∨ q) = (?p) ∧ (?q)
例题: 命题 " a ? 5 且 b ? 2 " 的否定是______. 解: a < 5 或 b < 2 . 若

p ,q 是两个简单命题,且 " p 或 q " 的否定是真命题,则必有(



A. p 真 真 解:B 因为 " p 题.

q 真

B. p



q 假

C. p



q 假

D. p



q

或 q

" 的否定是真命题,则 "

p 或 q "为假命题,故 p ,q 都为假命

若命题 p : x ∈ A ∩ B ,则 ?p 为( ) A. x ? A 且 x ? B B. x ? A 或 x ? B C. x ∈ A 且 x ? B D. x ? A ∪ B 解:B 因为命题 p : x ∈ A ∩ B,所以x ∈ A 且 x ∈ B ,故命题 ?p : x ? A 或 x ? B .

四、课后作业

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1. 已知命题 p :所有有理数都是实数;命题 q :正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是

(

)
B.p ∧ q D.(?p) ∨ (?q)

A.(?p) ∨ q
答案: D 解析: 命题

C.(?p) ∧ (?q)

p 为真命题,命题 q 为假命题,从而上述叙述中只有 (?p) ∨ (?q) 为真命题. )

2. 如果命题"非 p 或非 q "是假命题,则在下列各结论中,正确的是 ( ①命题" p 且 q "是真命题; ②命题" p 且 q "是假命题; ③命题" p 或 q "是真命题; ④命题" p 或 q "是假命题. A.②③
答案: C 解析: ∵"非

B.②④

C.①③

D.①④

p或q "都是真命题.

p 或非 q "是假命题,∴非 p 和非 q 都是假命题,∴ p 和 q 都是真命题,故" p且q "和"

3. 已知命题 p :|x ? 1| ? 2,q :x ∈ Z.若" p 且 q "与"非 q "同时为假命题,则满足条件的 x 为

(

)

A.{x|x ? 3或x ? ?1, x ? Z} C.{?1, 0, 1, 2, 3}
答案: D

B.{x| ? 1 ? x ? 3, x ? Z} D.{0, 1, 2}

4. " a ? 5 且 b ? 2 "的否定是
答案:



a<5或b<2

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