指数第一课时

指数与指数幂的运算

知识回顾

整数指数幂
a2=a·a a3= a·a·a an=a·a·…·a n个a相乘 规定 1. a0=1 (a≠0) 指数

a

n
底数

2. a

?n

1 ? n a

(a ? 0, n ? N? )
正整数指数幂

运算法则

a m? a n= (am)n=

a

m? n

(a ? 0, m, n ? Z )
(a ? 0, m, n ? Z )

a

mn

(a?b)n=
m

ab

n n

(a ? 0, b ? 0, n ? Z )

a m?n ? a , (a ? 0, m, n ? Z ) n a

32=9 (-3)2=9

3,-3叫做9的平方根.

23=8 (-2)3=-8

2叫做8的立方根. -2叫做-8的立方根.

一般地，如果xn＝a，那么x叫a的n次方 根，其中n＞1且n∈N.

一般地，如果xn＝a，那么x叫a的n次方 根，其中n＞1且n∈N.
1.n是奇数时，则 x ? a n 2.n是偶数时,若a>0,则 x ? ? a 若a=0，则 x ? 0 若a<0，则x不存在.
n

我们把式子

n

a (n ? N , n ? 1) 叫做

根式，其中n叫做根指数，a叫做被开 方数.

根式性质
计算 计算

( 2) , ( ?2) , ( 2)
3 3 5 5 4
3 3 5 5 4 4 4

4

(?2) , 2 , 2 , ( ?2)
n n

4

当n >1且n∈N时， ① ( a ) ? a . ②当n为奇数时， 当n为偶数时，
n
n

a ? a;
n

? a ( a ? 0) a ?| a |? ? ? ? a(a ? 0).
n

例题讲解

例1、求下列各式的值
(1) (2) (3) (4)
4 3

(?8)

3

= －8
2

(?10)

=10

(3?? ) (a ?b)

4

?| 3 ? ? |? ? ? 3
( a ? b) =｜a－b｜=a－b

2

(5) (6)

5?2 6

? 3? 2

5? 2 6 ? 7?4 3

? 2? 2

例题讲解 练习1、若 4a2 ? 4a ?1 ? 1 ? 2a 求a的取值范围

a≤1/2

若 2x ?1 ? 2 ? x 有意义， 化简 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 2 4 ( x ? 2) 4 =3

知识探究（一）：分数指数幂的意义

5 10 4 12 思考1:设a>0， a ， a 分别等于什么？

(1) a ? (a ) ? a ? a
5 10

5

2 5

2

10 5
12 4

(2) a ? (a ) ? a ? a
4 12
4 3 4

3

3 5 5 7 思考2:按照上述规律,根式 4 53 ， 7 , a

分别等于多少？

2.分数指数幂
(1) 正数的正分数指数幂的意义：
m n

a

? a
n

m

(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．

注意两点: (1)分数指数幂是根式的另一种表示形式； (2)根式与分数指数幂可以进行互化.

2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数 幂的规定：

(1) a

?

m n

?

1 a
m n

(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．

(2) 0的正分数指数幂等于0；
(3) 0的负分数指数幂无意义．

新课教学 与整数指数幂一样，分数指数幂具有相同的运算性质：
r ?s

(1)a ? a ? a
r s

r ?s

(1)a ? a ? a
r s

(2)(a ) ? a
r s r r

rs r r

(2)(a r ) s ? a rs (3)(ab) r ? a r b r ar (4) s ? a r ? s a (a ? 0, b ? 0, r , s ? Q )

(3)(ab) ? a b a (4) s ? a r ? s a (r , s ? Z )

例1 求下列各式的值

(1) 27 ;(2) 25

2 3

1 ? 2 ;(3)

16 1 ?5 ( ) ;(4) ( ) 2 81
27 8

?

3 4

.

例2．用分数指数幂的形式表示下列各式：

9

1 5

32
2 3 2；

a ? a
3

；

a ? a
a
8 3

a? a
3
2 3

a

7 2

a

例题讲解 例1、化简下列式子（式子中的字母是正数）

(1) ( m (2)
(1) (2)

1 4

n
2 3

3 ? 8 8 1 2

m ＝ ) 3 n

2

(2 a
3

b )(?6 a b ) ? (?3 a b ) ＝4a
4

1 2

1 3

1 6

5 6

例2、计算下列各式
( 25 ? 125) ? 5 ＝
12 4 － 5 5 5 5

a
a
3

2

a

2

(a ? 0)

＝

6

a

5

例3 计算下列各式

(1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b )(a, b ? 0)
(2)(m n ) (m, n ? 0) (3) (4)
1 4 ? 3 8 8

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

?

3

25 ? 125 ? 4 25 2 a (a ? 0) 3 2 a? a

?

5.已知函数 f ( x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数， 若对于任意 两个实数 x1 ? x2 ，