指数第一课时
指数与指数幂的运算
知识回顾
整数指数幂
a2=a·a a3= a·a·a an=a·a·…·a n个a相乘 规定 1. a0=1 (a≠0) 指数
a
n
底数
2. a
?n
1 ? n a
(a ? 0, n ? N? )
正整数指数幂
运算法则
a m? a n= (am)n=
a
m? n
(a ? 0, m, n ? Z )
(a ? 0, m, n ? Z )
a
mn
(a?b)n=
m
ab
n n
(a ? 0, b ? 0, n ? Z )
a m?n ? a , (a ? 0, m, n ? Z ) n a
32=9 (-3)2=9
3,-3叫做9的平方根.
23=8 (-2)3=-8
2叫做8的立方根. -2叫做-8的立方根.
一般地，如果xn＝a，那么x叫a的n次方 根，其中n＞1且n∈N.
一般地，如果xn＝a，那么x叫a的n次方 根，其中n＞1且n∈N.
1.n是奇数时，则 x ? a n 2.n是偶数时,若a>0,则 x ? ? a 若a=0，则 x ? 0 若a<0，则x不存在.
n
我们把式子
n
a (n ? N , n ? 1) 叫做
根式，其中n叫做根指数，a叫做被开 方数.
根式性质
计算 计算
( 2) , ( ?2) , ( 2)
3 3 5 5 4
3 3 5 5 4 4 4
4
(?2) , 2 , 2 , ( ?2)
n n
4
当n >1且n∈N时， ① ( a ) ? a . ②当n为奇数时， 当n为偶数时，
n
n
a ? a;
n
? a ( a ? 0) a ?| a |? ? ? ? a(a ? 0).
n
例题讲解
例1、求下列各式的值
(1) (2) (3) (4)
4 3
(?8)
3
= －8
2
(?10)
=10
(3?? ) (a ?b)
4
?| 3 ? ? |? ? ? 3
( a ? b) =｜a－b｜=a－b
2
(5) (6)
5?2 6
? 3? 2
5? 2 6 ? 7?4 3
? 2? 2
例题讲解 练习1、若 4a2 ? 4a ?1 ? 1 ? 2a 求a的取值范围
a≤1/2
若 2x ?1 ? 2 ? x 有意义， 化简 4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 2 4 ( x ? 2) 4 =3
知识探究（一）：分数指数幂的意义
5 10 4 12 思考1:设a>0， a ， a 分别等于什么？
(1) a ? (a ) ? a ? a
5 10
5
2 5
2
10 5
12 4
(2) a ? (a ) ? a ? a
4 12
4 3 4
3
3 5 5 7 思考2:按照上述规律,根式 4 53 ， 7 , a
分别等于多少？
2.分数指数幂
(1) 正数的正分数指数幂的意义：
m n
a
? a
n
m
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
注意两点: (1)分数指数幂是根式的另一种表示形式； (2)根式与分数指数幂可以进行互化.
2. 对正数的负分数指数幂和0的分数指数 幂的规定：
(1) a
?
m n
?
1 a
m n
(a＞0, m, n∈N*, 且n＞1)．
(2) 0的正分数指数幂等于0；
(3) 0的负分数指数幂无意义．
新课教学 与整数指数幂一样，分数指数幂具有相同的运算性质：
r ?s
(1)a ? a ? a
r s
r ?s
(1)a ? a ? a
r s
(2)(a ) ? a
r s r r
rs r r
(2)(a r ) s ? a rs (3)(ab) r ? a r b r ar (4) s ? a r ? s a (a ? 0, b ? 0, r , s ? Q )
(3)(ab) ? a b a (4) s ? a r ? s a (r , s ? Z )
例1 求下列各式的值
(1) 27 ;(2) 25
2 3
1 ? 2 ;(3)
16 1 ?5 ( ) ;(4) ( ) 2 81
27 8
?
3 4
.
例2．用分数指数幂的形式表示下列各式：
9
1 5
32
2 3 2；
a ? a
3
；
a ? a
a
8 3
a? a
3
2 3
a
7 2
a
例题讲解 例1、化简下列式子（式子中的字母是正数）
(1) ( m (2)
(1) (2)
1 4
n
2 3
3 ? 8 8 1 2
m ＝ ) 3 n
2
(2 a
3
b )(?6 a b ) ? (?3 a b ) ＝4a
4
1 2
1 3
1 6
5 6
例2、计算下列各式
( 25 ? 125) ? 5 ＝
12 4 － 5 5 5 5
a
a
3
2
a
2
(a ? 0)
＝
6
a
5
例3 计算下列各式
(1) (2a b )(?6a b ) ? (?3a b )(a, b ? 0)
(2)(m n ) (m, n ? 0) (3) (4)
1 4 ? 3 8 8
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
?
3
25 ? 125 ? 4 25 2 a (a ? 0) 3 2 a? a
?
5.已知函数 f ( x ? 1) 是定义在 R 上的奇函数， 若对于任意 两个实数 x1 ? x2 ，
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