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正余弦定理复习教案



正弦、余弦定理
一. 教学内容: 正弦、余弦定理 二. 教学重、难点: 1. 重点: 正弦、余弦定理。 2. 难点: 运用正、余弦定理解决有关斜三角形问题。

考点集结 一、正弦定理和余弦定理
1、正弦定理和余弦定理 定理 内容 正弦定理 余弦定理

a b c ? ? ? 2R sin A sin B sin C

/>
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc ?cos A, b 2 ? c 2 ? a 2 ? 2ac cos B, c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos C .

变 形 形式

①a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC; ②sinA=

a b c ,sinB= ,sinC= ; 2R 2R 2R

③a:b:c=sinA: sinB: sinC; ④

a?b?c a ? sin A ? sin B ? sin C sin A

b2 ? c2 ? a 2 ; 2bc a 2 ? c2 ? b2 cos B ? ; 2ca a 2 ? b2 ? c2 cos C ? . 2ab cos A ?

解 决 的 问 题

① 已知两角和任一边,求另一角和其他两条边; ① 已知三边,求各角; ② 已知两边和其中一边的对角, 求另一边和其他 ② 已知两角和它们的夹角, 求 两角。 第三边和其他两个角。

注: 在Δ ABC 中, sinA>sinB 是 A>B 的充要条件。 (∵sinA>sinB ?

a b ? ? a>b ? A>B) 2R 2R

二、应用举例
1、实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下文的叫俯角(如 图①)

(2)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的方位角为α (如图②) 注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的, 而方位角是相对于正北方向而言的。 (3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图③) ①北偏东 ? ? 即由指北方向顺时针旋转 ? ? 到达目标方向; ②北偏本 ? ? 即由指北方向逆时针旋转 ? ? 到达目标方向; ③南偏本等其他方向角类似。 (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ 为坡角) 坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④, i 为坡比) 2、Δ ABC 的面积公式

1 a?ha (ha 表示a边上的高) ; 2 1 1 1 abc (2) S ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A ? ( R为外接圆半径) ; 2 2 2 4R 1 (3) S ? r (a ? b ? c)(r为内切圆半径) 。 2 【典型例题】
(1) S ? [例 1] 已知在 ?ABC 中, ?A ? 45? , a ? 2 , c ? 练习:不解三角形,判断下列三角形解的个数。 (1) a ? 5 , b ? 4 , A ? 120 ? (2) a ? 7 , b ? 14 , A ? 150 ? (3) a ? 9 , b ? 10 , A ? 60? (4) c ? 50 , b ? 72 , C ? 135 ?

6 解此三角形。

正弦定理余弦定理的应用:

例 2 : 在 ?ABC
sin A
A.

中 , 角 A, B, C 所 对 的 边 分 a, b, c . 若 a cos A ? b sin B , 则 ) C. -1 D. 1

co A ? s

2

cB o ?s (
B.

1 2
(A) (0, ] 6

1 2

练习:在△ABC 中, sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ,则 A 的取值范围是

?

(B) [ , ? ) 6

?

(C) (0, ] 3

?

(D) [ , ? ) 3

?

利用正弦定理余弦定理判断三角形的形状及求取值范围 [例 3]若△ ABC 的三个内角满足 sin A :sin B :sin C ? 5:11:13 则△ ABC A.一定是锐角三角形. B.一定是直角三角形. C.一定是钝角三角形. D.可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形. AC 练习: 1、 在锐角△ABC中,BC=1,B=2A,则 的值等于______,AC的取值范围为______. cosA π π b sin2C 2、在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c, <C< 且 = 3 2 a-b sinA-sin2C (1)判断△ABC的性状;

BC 的取值范围. (2)若| BA + BC |=2,求 BA ·
3 、 在△ABC中,cos2 ( ) A.正三角形 B.直角三角形 D.等腰直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 B a+c = ,(a,b,c分别为角A,B,C的对边),则△ABC的形状为 2 2c

??? ?

??? ?

? ??? ? ???

利用正余弦定理求三角形面积 〖例 4〗 (2009 浙江文) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且满足 cos
??? ? ???? AB ? AC ? 3 .
(I)求 ?ABC 的面积; (II)若 c ? 1 ,求 a 的值. 练习:在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,且满足 cos

A 2 5 ? , 2 5

? ???? A 2 5 ??? ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

(I)求 ?ABC 的面积; (II)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值.

A

正余弦定理实际应用问题 〖例 5〗 (本小题满分 12 分)如图,A,B 是海面上位于东西方向相距
B D 5(3+ 3)海里的两个观测点,现位于 A 点北偏东 45° ,B 点北偏西 60° 的D 点有一艘轮船发出求救信号, 位于 B 点南偏西 60° 且与 B 点相距 20 3海里的 C 点的救援船立即 前往营救,其航行速度为 30 海里/时,该救援船到达 D 点需要多长时间? 已知在 ?ABC 中, ?A ? 45? , a ? 2 , c ? C

6 解此三角形。

2 2 解:由余弦定理得: b ? ( 6 ) ? 2 6b ? cos 45? ? 4

∴ b ? 2 3b ? 2 ? 0
2

∴ b ? 3 ?1

又 ( 6 ) ? b ? 2 ? 2 ? 2b cosC
2 2 2



cosC ? ?

1 2 , ?C ? 60? 或 ?C ? 120 ?

∴ ?B ? 75? 或 ?B ? 15? ∴ b ? 3 ? 1 , ?C ? 60? , ?B ? 75? 或 b ? 3 ? 1 , ?C ? 120 ? , ?B ? 15?

[例 4] 已知 a 、 b 、 c 是 ?ABC 中, ?A 、 ?B 、 ?C 的对边,S 是 ?ABC 的面积,若 a ? 4 ,

b ? 5 , S ? 5 3 ,求 c 的长度。
解: ∵ a ? 4,b ? 5,

S?

1 ab sin C ? 5 3 2



sin C ?

3 2

∴ C ? 60? 或 120 ?
2 2 2

∴ 当 C ? 60? 时, c ? a ? b ? ab ? 21
2 2 2 当 C ? 120 ? 时, c ? a ? b ? ab ? 61

∴ c? ∴ c?

21

61

即 (a ? c) ? 4
2

∴ a ? c ? 2 又a ? c ?1

∴ 1? a ? c ? 2

[例 6] 在 ?ABC 中,已知 b ? a( 3 ? 1) , C ? 30? ,求 A、B。 解:

由余弦定理,

cos C ? cos30? ?

3 a2 ? b2 ? c2 ? 2 2ab

2 2 2 ∴ a ? a (4 ? 2 3 ) ? c ?

3a 2 ( 3 ? 1)

∴ c ? (2 ? 3 )a
2

2

c ? 2 ? 3a ?


3 ?1 2

a

a a a ( 3 ? 1) 2 ? ? sin B sin 30 ? 由正弦定理: sin A
sin B ? 2 sin 30? ?
∴ A? B

3 ?1



2 2
∴ B 为锐角 ∴ B ? 45?

∵ a?b

∴ A ? 180 ? ? (45? ? 30?) ? 105 ?

2 2 [例 7] 已知 ?ABC 中, 2 2 (sin A ? sin C ) ? (a ? b) sin B ,外接圆半径为 2 。

(1)求 ?C (2)求 ?ABC 面积的最大值 解:
2 2 (1)由 2 2 (sin A ? sin C ) ? (a ? b) sin B



2 2(

a2 c? b ? ) ? ( a ? b) 2 2 2R 4R 4R

∴ R?

2

2 2 2 ∴ a ? c ? ab ? b

2 2 2 ∴ a ? b ? c ? ab



cosC ?

a2 ? b2 ? c2 1 ? 2ab 2

又 0? ? C ? 180 ?

∴ C ? 60?

(2)

S?

1 1 3 ab sin C ? ? ab ? 2 3 sin A sin B 2 2 2

? 2 3 sin A ? sin(120 ? ? A) ? 2 3 sin A(sin 120 ? cos A ? cos120 ? sin A)

? 3 sin A cos A ? 3 sin 2 A ?

3 3 3 sin 2 A ? cos 2 A ? 2 2 2

? 3 sin(2 A ? 30?) ?

3 2

∴ 当 2 A ? 120?

即 A ? 60? 时,

S max ?

3 3 2

[例 8] 在 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c 依次成等比数列, 求 的取值范围。 解:
2 ∵ b ? ac

y?

1 ? sin 2 B sin B ? cos B



cos B ?

a 2 ?c 2 ?b2 2ac

?

a 2 ? c 2 ? ac 2ac

?

1 a c 1 1 ( ? )? ? 2 c a 2 2



0?B?

?
3

1 ? sin 2 B (sin B ? cos B) 2 ? y? ? ? sin B ? cos B ? 2 sin(B ? ) sin B ? cos B sin B ? cos B 4

?
∵ 4

? B?

?
4

?

7 ? 12



2 ? ? sin(B ? ) ? 1 2 4

∴ 1? y ?

2

[例 9] 在 ?ABC 中,若三边长为连续三个正整数,最大角是钝角,求此最大角。 解:
* 设 a ? k ? 1, b ? k , c ? k ? 1, k ? N 且 k ? 1

cos C ?
∵ C 是钝角 解得 1 ? k ? 4 ∴

a2 ? b2 ? c2 k ?4 ? ?0 2ab 2(k ? 1)
∴ k ? 2或 3

* ∵ k?N

当 k ? 2 时, cosC ? ?1(舍去)

当 k ? 3 时,

cos C ? ?

1 4

1 c ? arccos(? ) 4 ∴

1 arccos(? ) 4 ∴ 最大角为

【模拟试题】
(答题时间:60 分钟)

一. 选择题: 1. 在 ?ABC 中,一定成立的等式是( A. a sin A ? b sin B C. a sin B ? b sin A )

B. a cos A ? b cos B D. a cos B ? b cos A

cos A b ? 2. 在 ?ABC 中,若 cos B a ,则 ?ABC 是(
A. 等腰三角形 B. 等边三角形

) D. 等腰或直角三角形 )

C. 直角三角形

3. 已知 ?ABC 中,AB=1,BC=2,则 ?C 的取值范围是(

A.

(0 ,

?
6

]

B.

(0 ,

?
2

)

C.

(

? ?
6 , 2

]

D. )

(

? ?
6 , 3

]

4. ?ABC 中,若 3a ? 2b sin A ,则 B 为(

? A. 3

? B. 6

? 2 ? C. 3 或 3

? 5 ? D. 6 或 6


5. ?ABC 的三边满足 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ab ,则 ?C 等于( A. 15? B. 30? C. 45? D. 60?

6. 在 ?ABC 中,AB=3,BC= 13 ,AC=4,则边 AC 上的高为(



3 2 A. 2

3 3 B. 2

3 C. 2

D. 3 3 )条件 D. 既不充分也不必要 )

7. ?ABC 中, “ sin A ? sin B ”是“A=B”的( A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要

2 2 2 8. ?ABC 中, sin A ? sin B ? sin B sin C ? sin C ,则 A 等于(

A. 30?

B. 60?

C. 120 ?

D. 150 ? )

9. ?ABC 中, B ? 30? , b ? 50 3 , c ? 150 ,则这个三角形是( A. 等边三角形 B. Rt 三角形 C. 等腰三角形

D. 等腰或直角三角形

a b c ? ? ?k 10. 在 ?ABC 中, sin A sin B sin C ,则 k =(



A. 2R 二. 填空:

B. R

C. 4R

1 D. 2 R

1. 在 ?ABC 中,已知 a ? 7 , b ? 8 ,

cos C ?

13 14 ,则最大角的余弦值为
。 。



2. 在 ?ABC 中, sin A ? 2 cos B sin C ,则三角形为 3. 在 ?ABC 中, a : b : c ? ( 3 ? 1) : 6 : 2,则最小角为

4. 若

S? ?

1 4 3

(b 2 ? c 2 ? a 2 )
,则 A= 。

三. 解答题: 1. 在 ?ABC 中,BC= a , AC ? b ,a,b 是 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根,且 2 cos(A ? B)
2

=1,求(1)角 C 的度数 (2)AB 的长 (3) ?ABC 的面积。 2. 在 ?ABC 中, c ? 10 , A ? 45? , C ? 30? ,求 a 、 b 和 B 。 3. 若 2,3,x 为三边组成一个锐角三角形,求 x 的范围。
2 2 2 4. 在 ?ABC 中,若 sin A ? 2 sin B cosC , sin A ? sin B ? sin C ,试判断 ?ABC 形状。

【试题答案】
一. 1. C 二. 2. D 3. A 4. C 5. D 6. B 7. C 8. C 9. D 10. A

1.

?

1 7

2. 等腰三角形

3. 45?

4. 30?

三. 1. 解:

(1)

cosC ? cos[ ? ? ( A ? B)] ? ? cos(A ? B) ? ?

1 2

∴ C ? 120 ?

(2)∵ a 、 b 是 x ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根
2 2 2 2 2

?a ? b ? 2 3 ? a ?b ? 2 ∴ ?
2 2

∴ AB ? AC ? BC ? 2 AC ? BC ? cosC ? b ? a ? ab ? (a ? b) ? ab ? 10 ∴ AB ? 10

(3)

S ?ABC ?

1 3 a ? b sin C ? 2 2

a c ? 2. 解:∵ sin A sin C a? c sin A 10 ? sin 45? ? ? 10 2 sin C sin 30? b c ? ∴ sin B sin C



B ? 180 ? ? ( A ? C ) ? 105 ?

∴ b ? 20 sin105 ? ? 5( 6 ? 2 )

3. 解:∵ ?ABC 为锐角 ?

?cos A ? 0 ? ?cos B ? 0 ?cos C ? 0 ∴ ?

且1 ? x ? 5

?2 2 ? 3 2 ? x 2 ? 0 ? 2 2 2 ?3 ? x ? 2 ? 0 ? 2 2 2 ?x ? 2 ? 3 ? 0 ? ∴ ?1 ? x ? 5

? x 2 ? 13 ? 2 ?x ? 5 ?1 ? x ? 5 ∴ ?



5 ? x ? 13

2 2 2 4. 解:∵ sin A ? sin B ? sin C 2 2 2 ∴ a ?b ?c

∴ ?ABC 为 Rt? 且 ?A ? 90? ∴ sin B ? cosC

∴ B ? C ? 90? , B ? 90? ? C

由 sin A ? 2 sin B ? cosC

∴ 1 ? 2 sin B
2



sin 2 B ?

1 2

∵ B 为锐角



sin B ?

2 2

∴ B ? 45?

∴ C ? 45?

∴ ?ABC 是等腰直角三角形



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