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高中数学概率与统计测试题


概率与统计
1.如果一个整数为偶数的概率为 0.6,且 a,b,c 均为整数,求 (1)a+b 为偶数的概率; (2)a+b+c 为偶数的概率。 2.从 10 位同学(其中 6 女,4 男)中随机选出 3 位参加测验,每位女同学能通过测验的概率 均为

3 4 ,每位男同学能通过测验的概率均为 ,求 5 5

(1)选出的 3 位同学中,至少有一位男同学的概率; (2)10 位同学中的女同学甲和男同学乙同时被选中且通过测验的概率。 3.袋中有 6 个白球, 4 个红球, 甲首先从中取出 3 个球, 乙再从余下的 7 个球中取出 4 个球, 凡取得红球多者获胜。试求 (1)甲获胜的概率; (2)甲,乙成平局的概率。 4.箱子中放着 3 个 1 元硬币,3 个 5 角硬币,4 个 1 角硬币,从中任取 3 个,求总钱数超过 1 元 8 角的概率。 5.有 10 张卡片,其号码分别位 1,2,3?,10,从中任取 3 张。 (1)求恰有 1 张的号码为 3 的倍数的概率; (2)记号码为 3 的倍数的卡片张数为 ξ ,求 ξ 的数学期望。 6.某种电子玩具按下按钮后,会出现白球或绿球,已知按钮第一次按下后,出现红球与绿球 的概率都是

1 ,从按钮第二次按下起,若前次出现红球,则下次出现红球、绿球的概率 2

分别为 ,

1 2 3 2 ;若前次出现绿球,则下次出现红球、绿球的概率分别为 , ,记第 n(n∈ 3 3 5 5

N,n≥1)次按下后,出现红球的概率为 Pn (1)求 P2 的值; (2)当 n∈N,n≥2 时,求用 Pn?1 表示 Pn 的表达式; (3)求 Pn 关于 n 的表达式。 7.有甲、 乙两个盒子,甲盒子中有 8 张卡片,其中两张写有数字 0,三张写有数字 1, 三张写有

数字 2;乙盒子中有 8 张卡片,其中三张写有数字 0,两张写有数字 1,三张写有数字 2, (1)如果从甲盒子中取两张卡片,从乙盒子中取一张卡片,那么取出的 3 张卡片都写有 1 的概率是多少? (2)如果从甲、乙盒子中各取一张卡片,设取出的两张卡片数字之和为 ξ ,求 ξ 的分布 列和期望。 8. 甲、乙两位同学做摸球游戏,游戏规则规定:两人轮流从一个放有 1 个白球,3 个黑球, 2 个红球且只有颜色不同的 6 个小球的暗箱中取球,每次每人只取一球,每取出一个后立 即放回,另一个人接着取,取出后也立即放回,谁先取到红球,谁为胜者,现甲先取 (1)求甲摸球次数不超过三次就获胜的概率; (2)求甲获胜的概率。 9.设有均由 A,B,C 三个部件构成的两种型号产品甲和乙, 当 A 或 B 是合格品并且 C 是合格品 时,甲是正品;当 A,B 都是合格品或者 C 是合格品时,乙是正品。若 A、B、C 合格的概 率均是 P,这里 A,B,C 合格性是互相独立的。 (1)产品甲为正品的概率 P1 是多少? (2)产品乙为正品的概率 P2 是多少? (3)试比较 P1 与 P2 的大小。 10.一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱,工人在装箱时不小心把两件二等品和 两件一等品装入了一箱, 为了找出该箱的二等品, 我们对该箱中的产品逐一取出进行测试。 (1)求前二次取出的都是二等品的概率; (2)求第二次取出的是二等品的概率; (3)用随机变量 ξ 表示第二个二等品被取出时共取的件数,求 ξ 的分布列及数学期望。 11.袋中装有黑球和白球共 7 个,从中任取 2 个球都是白球的概率为

1 。现有甲,乙两人从 7

袋中轮流摸取 1 球,甲先取,乙后取,然后甲再取,?,取后不放回,直到两人中一人取 到白球时即终止,每个球在第 1 次被取出的机会是等可能的, (1)求袋中原有白球的个数; (2)求甲取到白球的概率。 12.箱内有大小相同的 20 个红球,80 个黑球,从中任意取出 1 个,记录它的颜色后再放回 箱内,进行搅拌后再任意取出 1 个,记录它的颜色后又放回箱内搅拌,假设三次都是这样 抽取,试回答下列问题

(1)求事件: “第一次取出黑球,第二次取出红球,第三次取出黑球”的概率; (2)求事件: “三次中恰有一次取出红球”的概率; (3)如果有 50 人进行这样的抽取,试推测约有多少人取出 2 个黑球,1 个红球。 13.甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中,规定先赢三局的队获胜并且比赛就此 结束,现已知甲,乙两队每比赛一局,甲队获胜的概率是 0.6,乙队获胜的概率是 0.4, 且每局比赛的胜负是相互独立的,问 (1)甲队以 3:2 获胜的概率是多少? (2)乙队获胜的概率是多少? 14.某射手进行射击练习,每次射出一发子弹,每射击 5 发算一组,一旦命中就停止,并进 入下一组练习, 否则一直打完 5 发子弹才能进入下一组练习, 已知他每射击一次的命中率 为 0.8,且每次射击命中与否互不影响。 (1)求在完成连续两组练习后,恰好共耗用了 4 发子弹的概率; (2)求一组练习中所耗用子弹数 ξ 的分布列,并求 ξ 的期望。 15.袋子里有大小相同的 3 个红球和 4 个黑球,今从袋子里随机取出 4 个球。 (1)求取出的红球数 ξ 的概率分布列和数学期望; (2)若取出每个红球得 2 分,取出黑球得 1 分,求得分不超过 5 分的概率。 16.下表为某班英语及数学成绩的分布,学生共有 50 人,成绩分 1 至 5 五个档次。例如表中 所示英语成绩为 4 分,数学成绩为 2 分的学生为 5 人,将全班学生的姓名卡片混合在一 起,任取一张,该卡片同学的英语成绩为 x,数学成绩为 y,设 x,y 为随机变量(注:没有 相同姓名的学生) y x 5 英 语 4 3 2 1 5 1 1 2 1 0 4 3 0 1 b 0 数 3 1 7 0 6 1 学 2 0 5 9 0 1 1 1 1 3 a 3

(1)分别求出 x=1 的概率及 x≥3 且 y=3 的概率;

(2)求 a+b 的值; (3)若 y 的期望值为

133 ,试确定 a,b 的值。 50

概率与统计解答 1 解:整数为奇数的概率为 1-0.6=0.4 (1)当 a,b 都为偶数或都为奇数时,a+b 为偶数,记 a+b 为偶数的概率为 P(a+b)则 P(a+b)=0.6×0.6+0.4×0.4=0.52 (2)由(1)可知,a+b 为奇数的概率为 0.48,a+b+c 为偶数的条件是 a+b 与 c 均为偶数, 或者 a+b 与 c 均为奇数,记 a+b+c 为偶数的概率为 P(a+b+c),则 P(a+b+c)=0.52×0.6+0.48×0.4=0.504 2 解: (1)随机选出的 3 位同学中,至少有一位男同学的概率为 1 ?
1 C8 4 3 4 ? ? ? 3 C10 5 5 125 3 C4 1 ? 3 C10 30 3 C6 5 ? 3 C10 6

(2)甲、乙被选出且能通过测验的概率为

3 解:(1)甲获胜是指以下三种情况①甲取 3 个红球,必获胜,概率为

2 1 1 3 4 C4 C 6 (C 2 C5 ? C5 ) 3 ②甲取 2 个红球,乙取 1 红 3 白或乙取 4 白,则甲获胜,概率为 ? 3 4 14 C10 C 7 1 2 4 C4 C6 C4 1 ? 3 4 70 C10 C 7

③甲取 1 个红球,乙取 4 个白球,则甲获胜,概率为

(2)甲、乙成平局包括两类事件 ①甲取 2 红 1 白,乙取 2 红 2 白,概率为
2 1 2 2 C4 C 6C 2 C5 3 ? 3 4 35 C10 C 7

②甲取 1 红 2 白,乙取 1 红 3 白,概率为

2 1 1 3 C4 C 6 C 3C 4 6 ? 3 4 35 C10 C 7

∵这两个事件彼此排斥∴成平局的概率为

3 6 9 ? ? 35 35 35

4 解:记“总钱数超过 1 元 8 角”为事件 A,它包括以下 4 种情况:①“3 个 1 元硬币”记为 事件 A1;②“2 个 1 元硬币,1 个 5 角硬币”记为 A2;③“2 个 1 元硬币,1 个 1 角硬币”记为事 件 A3;④“1 个 1 元硬币,2 个 5 角硬币”记为事件 A4

? P ( A1 ) ?
且 A1

3 2 1 2 1 1 2 C3 C3 C3 C3 C4 C3 C3 1 9 12 1 9 3 ? , P ( A ) ? ? , P ( A ) ? ?? , P ( A ) ? ? ? 2 3 4 3 3 3 3 120 12010 120 40 C10 120 C10 C10 C10



A2



A

3



A

4









? P ( A) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) ? P ( A4 ) ?

1 ? 9 ? 12 ? 9 31 ? 120 120

1 2 C3 C7 21 5 解:(1)恰有一张号码为 3 的倍数的概率是 P ? ? 3 40 C10

(2)ξ 可取 0,1,2,3

P (? ? 0) ?

3 1 2 1 3 3 C7 C3 C7 C3 C7 C3 7 21 7 1 ? , P ( ? ? 1 ) ? ? , P ( ? ? 2 ) ? ? , P ( ? ? 3 ) ? ? 3 3 3 3 40 40 C10 24 C10 C10 C10 120

∴ξ 的分布列为 ξ P 0
7 24

1
21 40

2
7 40

3
1 120

? ?? ? 0 ?

7 21 7 1 9 ? 1? ? 2? ? 3? ? 24 40 40 120 10
1 1 1 ? ? ;若按钮第一次、 2 3 6

6 解:(1)若按钮第一次、第二次按下后均出现红球,则其概率为

第二次按下后依次出现绿球,红球,则其概率为

1 3 3 ? ? 。故所求概率为 2 5 10

P2 ?

1 3 7 ? ? 6 10 15

(2)第 n-1 次按下按钮后出现红球的概率为 Pn-1(n∈N,n≥2),则出现绿球的概率为 1- Pn-1 若第 n-1 次、第 n 次按下后均出现红球,则其概率为 Pn ?1 ?

1 ;若第 n-1 次、第 n 次按 3

下后依次出现绿球,红球,则其概率为 (1 ? Pn?1 ) ?

3 ,所以 5

Pn ?

1 3 4 3 Pn?1 ? (1 ? Pn?1 ) ? Pn?1 ? , 其 中n ? N , n ? 2 3 5 15 5 9 4 9 9 ? ? ( Pn?1 ? ), (其 中n ? N , n ? 2) ,故 { Pn ? } 构成首项 19 15 19 19

(3)由(2)得 Pn ?



4 1 4 9 1 ( ? ) n?1 ? ( n ? N ; n ? 1) ,公比为 ? 的等比数列。所以 Pn ? 15 38 15 19 38
2 C3 3 ,从乙盒子中取 1 张卡片是写 1 ? 2 C 8 28

7 解:(1)从甲盒子中取 2 张卡片是写 1 的概率 ?

1 C2 3 1 3 1 ? ? 的概率 ? 1 ? 。所以取出 3 张卡片都是写 1 的概率 ? 38 4 112 C8 4

(2) ξ 可取 0,1,2,3,,4

P (? ? 0) ?

2 3 3 2 2 3 3 13 2 3 3 2 3 3 21 ? ? , P (? ? 1) ? ? ? ? ? , P (? ? 2) ? ? ? ? ? ? ? 8 8 32 8 8 8 8 64 8 8 8 8 8 8 64

P (? ? 3) ?

3 3 3 2 15 3 3 9 ? ? ? ? , P (? ? 4) ? ? ? 8 8 8 8 64 8 8 64
ξ P 0
3 32

∴ξ 的分布列为

1
13 64

2
21 64

3
15 64

4
9 64

? ?? ? 0 ?

3 13 21 15 9 136 17 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? ? 32 64 64 64 64 64 8 1 2 2 1 1 4 1 ,甲第二次取得红球的概率为 ? ? ? ( ) ,甲 3 3 3 3 3 9

8 解:(1)甲第一次取得红球的概率为

第三次取得红球的概率为 ( )

1 4 3 9

2

∴甲摸球次数不超过三次就获胜的概率 P ?

1 1 4 1 4 2 133 ? ( )? ( ) ? 3 3 9 3 9 243

(2) 甲第一次取得红球的概率为

1 2 2 1 1 4 1 ,甲第二次取得红球的概率为 ? ? ? ( ) , 3 3 3 3 3 9

甲第三次取得红球的概率为 ( ) ,?,甲第 n 次取得红球的概率为 ( )

1 4 3 9

2

1 4 3 9

n ?1

∴甲获胜的概率 P ?

lim [ 3 ? 3 ( 9 ) ? 3 ( 9 )
n? ?

1

1 4

1 4

2

1 4 ? ... ? ( ) n?1 ] ? 3 9

1 3 1? 4 9

?

3 5

9 解:(1)产品甲为正品的概率

P1 ? P( A ? B) ? P(C ) ? [ P( A) ? P( B) ? P( A ? B)]? P(C ) ? 2P 2 ? P 3
(2) 产品乙为正品的概率

P2 ? P[( A ? B) ? C ] ? P( A ? B) ? P(C ) ? P( A ? B ? C ) ? P ? P 2 ? P 3
(3) P2 ? P1 ? ( P ? P 2 ? P 3 ) ? (2P 2 ? P 3 ) ? P(1 ? P ) ? 0 ∴P2≥P1,当 P=0 或 P=1 时等号成立。
4 10 解:(1)四件产品逐一取出排成一列共有 A4 种方法, 前两次取出的产品都是二等品的共有 2 2 种方法。 A2 ? A2
2 2 A2 ? A2 1 ? 4 6 A4

∴前两次取出的产品都是二等品的概率为

(2) 四件产品逐一取出排成一列共有 A4 种方法,第二次取出的产品是二等品的共有
1 3 种方法。 C2 ? A3
1 3 C2 ? A3 1 ? 4 2 A4

4

∴第二次取出的产品是二等品的概率为

(3) ξ 的所有可能取值为 2,3,,4 ∴ξ 的分布列为 ξ P 2
1 6

3
2 6

4
3 6

? ?? ? 2 ?

1 2 3 10 ? 3? ? 4 ? ? 6 6 6 3

11 解:(1)设袋中原有 n 个白球,由题意得:

2 1 Cn n(n ? 1) ? 2 ? ? n(n ? 1) ? 6 7 C7 7?6

得 n=3 或 n=-2(舍去),即袋中原有 3 个白球。 (2)因为甲先取,所以甲只有可能在第 1 次、第 3 次和第 5 次取到白球。记“甲取到白 球”的事件为 A。

则 P ( A) ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 C3 C4 C 3C 3 C 4 C 3C 2 ? C1 C3 3 6 1 22 ? ? ? ? ? ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7 35 35 35 C 7 C 7C 6C5 C 7 C 6C 5C 4C 3

12 解:(1) P ( A) ?

80 20 80 16 ? ? ? 100 100 100 125 P (红 球) ? 20 1 80 4 ? ,P (黑 球) ? ? 100 5 100 5

(2)

4 48 1 1 ? P( B) ? C 3 ( )( ) 2 ? 5 5 125
(3) 共有 50 ?

48 96 ? ? 19人 125 5

13 解:(1)设甲队 3:2 获胜的事件为 A 则第五局甲必胜,前四局各胜两局。
2 ? P( A) ? C 4 ? 0.62 ? 0.4 2 ? 0.6 ? 0.20736

(2)设乙队获胜的事件为 B,则 B 包括三种情况: ①3:0 乙胜;②3:1 乙胜;③3:2 乙胜
2 2 ? P( B) ? 0.43 ? C3 ? 0.42 ? 0.6 ? 0.4 ? C 4 ? 0.42 ? 0.62 ? 0.4 ? 0.31744

14 解:(1) P ? P (? ? 1) ? P (? ? 3) ? P (? ? 2) ? P (? ? 2) ? P (? ? 3) ? P (? ? 1) =0.8×0.032+0.16×0.16+0.032×0.8=0.0768 (2) ξ 的所有可能取值为 1,2,3,,4,5

P(? ? 1) ? 0.8, P(? ? 2) ? (1 ? 0.8) ? 0.8 ? 0.16, P(? ? 3) ? (1 ? 0.8) 2 ? 0.8 ? 0.032 P(? ? 4) ? (1 ? 0.8)3 ? 0.8 ? 0.0064 , P(? ? 5) ? (1 ? 0.8) 4 ? 1 ? 0.0016
ξ P 1 0.8 2 0.16 3 0.032 4 0.0064 5 0.0016 ∴Eξ =1.2496

3 1 2 2 4 C4 C 3 12 C4 C 3 18 C4 1 15 解:(1) P (? ? 0) ? 4 ? , P (? ? 1) ? ? , P ( ? ? 2 ) ? ? , 4 4 35 35 C 7 35 C7 C7 1 3 C4 C3 4 ? 4 35 C7

P (? ? 3) ?

ξ P

0
1 35

1
12 35

2
18 35

3
4 35

? ?? ? 0 ?

1 12 18 4 12 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 35 35 35 35 7

(2)当且仅当取出 4 个得分不超过 5 分。
3 1 4 C4 C 3 13 C4 ?P ? 4 ? ? 4 35 C7 C7

16 解:(1) P ( x ? 1) ? (2)

1? 3 ?1 1 4 ? , P ( x ? 3, y ? 3) ? 50 10 25

P ( x ? 2) ? 1 ? P ( x ? 1) ? P ( x ? 3) ? 1 ?
(3)由(2)知 a+b=3 ① 又5?

5 35 a ? b ? 7 ? ? 50 50 50

?a ? b ? 3

5 4?b 15 15 8 ? a 133 ? 4? ? 3? ? 2? ? 1? ? , 50 50 50 50 50 50

? a ? 4b ? 9



由①②得 a=1,b=2 黑球,或 3 个黑球,1 个红球时


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