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高三数学理科二轮复习同步练习 2-3-23函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题



高考专题训练二十三 函数、导数与不等式、解析几何、数列型解答题
班级_______ 姓名_______ 时间:45 分钟 分值:72 分 总得分________

1.(12 分)设△ABC 的三内角 A、B、C 所对应的边长分别为 a、b、 c,平面向量 m=(cosA,cosC),n=(c,a),p=(2b,0),且 m· (n-p)= 0. (1)求角 A 的大小; (2)当|x|≤A 时,求函数 f(x)=sinxcosx+sinx
? π? sin?x-6 ?的值域. ? ?

解:(1)m· (n-p)=(cosA,cosC)· (c-2b,a) =(c-2b)cosA+acosC=0 ?(sinC-2sinB)cosA+sinAcosC=0?-2sinBcosA+sinB=0. 1 π ∵sinB≠0,∴cosA= ?A= . 2 3
? π? 1 (2)f(x)=sinxcosx+sinxsin?x-6?= sinxcosx ? ? 2



3 2 1 3 1-cos2x 3 1 sin x= sin2x+ · = + sin2x- 2 4 2 2 4 4

π? 3 3 1 ? cos2x= + sin?2x-3 ?. 4 4 2 ? ? π π π π π ∵|x|≤A,A= ,∴- ≤x≤ ?-π≤2x- ≤ . 3 3 3 3 3 3-2 ? π? π? 3 3 1 ? 3 ∴-1≤sin?2x-3?≤ ? ≤ + sin?2x-3?≤ . 2 4 4 2 ? 2 ? ? ? ∴函数 f(x)的值域为[ 3-2 3 , ]. 4 2

2.(12 分)(2011· 正定)如图,在 多面体 ABCDEF 中, 四边形 ABCD 是正方形,AB=2EF=2,EF∥ AB,EF⊥FB,∠BFC=90° ,BF =FC,H 为 BC 的中点. (1)求证:FH∥平面 EDB; (2)求证:AC⊥平面 EDB; (3)求四面体 B—DEF 的体积. 分析:本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直、体积的计 算等基础知识,同时考查空间想象能力与推理论证能力. 解:

(1)证明:设 AC 与 BD 交于点 G,则 G 为 AC 的中点.连接 EG、 GH,由于 H 为 BC 的中点, 1 故 GH 綊 AB. 2 1 又 EF 綊 AB,∴EF 綊 GH, 2 ∴四边形 EFHG 为平行四边形, ∴EG∥FH,而 EG?平面 EDB,∴FH∥平面 EDB. (2)证明:由四边形 ABCD 为正方形,有 AB⊥BC.

又 EF∥AB,∴EF⊥BC.而 EF⊥FB,∴EF⊥平面 BFC,∴EF ⊥FH, ∴AB⊥FH.又 BF=FC,H 为 BC 的中点,∴FH⊥BC. ∴FH⊥平面 ABCD. ∴FH⊥AC.又 FH∥EG,∴AC⊥EG.又 AC⊥BD,EG∩BD=G, ∴AC⊥平面 EDB. (3)∵EF⊥FB,∠BFC=90° ,∴BF⊥平面 CDEF. ∴BF 为四面体 B-DEF 的高. ∵BC=AB=2,∴BF=FC= 2.又 EF=1, 1 1 1 ∴VB-DEF= × ×1× 2× 2= . 3 2 3 3.(12 分)小王参加一次比赛,比赛共设三关,第一、二关各有两 个必答题,如果每关两个问题都答对,可进入下一关,第三关有三个 问题,只要答对其中两个问题,则闯关成功.每过一关可一次性获得 价值分别为 1000 元,3000 元,6000 元的奖品(不重复得奖),小王对三 4 3 2 关中每个问题回答正确的概率依次为 , , ,且每个问题回答正确与 5 4 3 否相互独立. (1)求小王过第一关但未过第二关的概率; (2)用 X 表示小王所获得奖品的价值,写出 X 的概率分布列,并求 X 的数学期望. 解:(1)设小王过第一关但未过第二关的概率为 P1,
?4? ?1 3 1? 7 则 P1=?5? ?4+4×4?= . ? ?? ? 25
2

(2)X 的取值为 0,1000,3000, 6000,

1 4 1 9 则 P(X=0)= + × = , 5 5 5 25
?4? P(X=1000)=?5? ? ?
2

?1 3 1? 7 ? + × ?= , ?4 4 4? 25

P(X=3000)
?2? ?4? ?3? ? 1? 7 1?2? =?5? ?4? ?1-?3?2-C2?3?2×3?= , ? ? ? ? ? ?? ?? ? 75
2 2

P(X=6000)
?2? ?4? ?3? ??2? 1? 4 =?5? ?4? ??3?2+C1?3?2×3?= , 2 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 15
2 2

∴X 的概率分布列为 X P 0 9 25 1000 7 25 3000 7 75 6000 4 15

9 7 7 4 ∴X 的数学期望 E(X)=0× +1000× +3000× +6000× 25 25 75 15 =2160. 4.(12 分)(2011· 天津卷)已知 a>0,函数 f(x)=lnx-ax2,x>0.(f(x) 的图象连续不断) (1)求 f(x)的单调区间;
?3? 1 (2)当 a= 时,证明:存在 x0∈(2,+∞),使 f(x0)=f?2?; 8 ? ?

(3)若存在均属于区间[1,3]的 α,β,且 β -α≥1,使 f(α)=f(β), ln3-ln2 ln2 证明: ≤a≤ . 5 3

分析:本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、 解不等式、函数的零点等基础知识,考查运算能力、分类讨论的思想、 分析解决问题的能力. 1-2ax 1 解:(1)f′(x)=x-2ax= x ,x∈(0,+∞).令 f′(x)=0, 解得 x= 2a . 2a
2

当 x 变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:

x f′( x) f(x)

? 2a? ?0, ? 2a ? ?

2a 2a 0 极大 值
? ?

? 2a ? ? ,+∞? ? 2a ?





? ?

? ?

所以,f(x)的单调递增区间是?0,
? 2a ? ? ,+∞?. ? 2a ?

2a? ?,f(x)的单调递减区间是 2a ?

1 1 (2)证明:当 a= 时,f(x)=lnx- x2,由(1)知 f(x)在(0,2)内单调递 8 8 增,在(2,+∞)内单调递减.
?3? ?3? 令 g(x)=f(x)-f?2?.由于 f(x)在(0,2)内单调递增, 故 f(2)>f?2?,即 ? ? ? ?

g(2)>0. 41-9e 3 取 x′= e>2,则 g(x′)= <0. 2 32
2

所以存在 x0∈(2,x′),使 g(x0)=0,即存在 x0∈(2,+∞),使
?3? f(x0)=f?2?.(说明:x′的取法不唯一,只要满足 x′>2,且 g(x′)<0 ? ?

即可.) (3)证明:由 f(α)=f(β)及(1)的结论知 α< 2a <β,从而 f(x)在[α,β] 2a

上的最小值为 f(α),又由 β-α≥1,α,β∈[1,3],知 1≤α≤2≤β≤3.
?f?2?≥f?α?≥f?1?, ?ln2-4a≥-a, ? ? ? 故 即? ?f?2?≥f?β?≥f?3?. ?ln2-4a≥ln3-9a. ? ?

从而

ln3-ln2 ln2 ≤a≤ . 5 3

x 2 y2 3 5. 分)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= , (12 连接椭圆的 a b 2 四个顶点得到的菱形的面积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, 已知点 A 的坐标为(- B, → → a,0),点 Q(0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且QA· =4.求 y0 的值. QB 分析:本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、 平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结 合的思想,考查运算能力和推理能力. 3 c 解:(1)由 e=a= ,得 3a2=4c2, 2 再由 c2=a2-b2,得 a=2b. 1 由题意可知 ×2a×2b=4,即 ab=2. 2
? ?a=2b, 解方程组? 得 a=2,b=1. ? ?ab=2,

x2 2 所以椭圆的方程为 +y =1. 4

(2)由(1)可知 A(-2,0),设 B 点的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2).

?y=k?x+2?, 于是 A,B 两点的坐标满足方程组?x2 2 ? 4 +y =1.
由方程组消去 y 并整理,得 (1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 16k2-4 由-2x1= ,得 1+4k2 2-8k2 4k x1= . 2,从而 y1= 1+4k 1+4k2 设线段 AB 的中点为 M,则 M 的坐标为
? 8k 2k ? ?- ? 2, 1+4k2?. ? 1+4k
2

以下分两种情况: ①当 k=0 时, B 的坐标为(2,0), 点 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴, → → → → 于是QA=(-2,-y0),QB=(2,-y0).由QA· =4,得 y0=± 2. QB 2 ②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线的方程为 8k2 ? 2k 1? y- =-k?x+1+4k2?. 1+4k2 ? ? 令 x=0,解得 y0=- 6k . 1+4k2

→ → 由|QA|=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0),

→ → QA· =-2x1-y0(y1-y0) QB 6k ? -2?2-8k2? 6k ? 4k ? = + 2+ 2? 1+4k2 1+4k2?1+4k 1+4k ?

4?16k4+15k2-1? = =4, ?1+4k2?2 整理得 7k2=2,故 k=± 14 2 14 ,所以 y0=± . 7 5

2 14 综上,y0=± 2或 y0=± 2 . 5 6.(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足:a1=a(a≠0), an+1=rSn(n∈N*,r∈R,r≠-1). (1)求数列{an}的通项公式; (2)若存在 k∈N*,使得 Sk+1,Sk,Sk+2 成等差数列,试判断:对于 任意的 m∈N*,且 m≥2,am+1,am,am+2 是否成等差数列,并证明你 的结论. 分析:本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识,同时考 查推理论证能力,以及特殊与一般的思想. 解:(1)由已知 an+1=rSn,可得 an+2=rSn+1,两式相减可得 an+2-an+1=r(Sn+1-Sn)=ran+1,即 an+2=(r+1)an+1,又 a2=ra1 =ra,所以当 r=0 时,数列{an}为:a,0,…,0,…; 当 r≠0,r≠-1 时,由已知 a≠0,所以 an≠0(n∈N*), 于是由 an+2=(r+1)an+1,可得 an+2 =r+1(n∈N*), an+1

∴a2,a3,…,an,…成等比数列, ∴当 n≥2 时,an=r(r+1)n-2a.

?a,n=1, ? 综上,数列{an}的通项公式为 an=? n-2 ? ?r?r+1? a,n≥2.

(2)对于任意的 m∈N*,且 m≥2,am+1,am,am+2 成等差数列,证 明如下:

?a,n=1, ? 当 r=0 时,由(1)知,an=? ?0,n≥2. ?

∴对于任意的 m∈N*,且 m≥2,am+1,am,am+2 成等差数列. 当 r≠0,r≠-1 时,∵Sk+2=Sk+ak+1+ak+2,Sk+1=Sk+ak+1.若 存在 k∈N*,使得 Sk+1,Sk,Sk+2 成等差数列,则 Sk+1+Sk+2=2Sk, ∴2Sk+2ak+1+ak+2=2Sk,即 ak+2=-2ak+1. 由(1)知,a2,a3,…,am,…的公比 r+1=-2,于是 对于任意的 m∈N*,且 m≥2,am+1=-2am,从而 am+2=4am, ∴am+1+am+2=2am,即 am+1,am,am+2 成等差数列. 综上,对于任意的 m∈N*,且 m≥2,am+1,am,am+2 成等差数列.



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