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数列经典例题剖析-----答案(学生版)



数列典例

杨明江制

数列的题型与考点 考点一:等差、等比数列的概念与性质 例题 1. 已知等比数列

{an }中, a2 , a3 , a4 分别是某等差数列的第 5 项、第 3 项、第 2 项,且

a1 ? 64, 公比q ? 1
(Ⅰ)求 (Ⅱ)设

an ;

bn ? log2 an ,求数列 {|b n |}的前n项和Tn .

例题 2.设数列 数列.

?an ?的前 n 项和为 Sn,若 ?S n ? 是首项为 1,各项均为正数且公比为 q 的等比 ?an ?的通项公式 an ;
an ? an?2与2an?1 (n ? N? ) 的大小,并证明你的结论.

(1)求数列 (2)试比较

1

数列典例

杨明江制

例题 3.已知数列

{an } 中各项为:
11 ?????? 1 22 ?????? 2 ? ? ?? ? ? ? ?? ?
n个 n个

12、1122、111222、……、

……

(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. (2)求这个数列前 n 项之和 Sn .

例题 4.已知

S n 是数列{ an }的前 n 项和,并且 a1 =1,对任意正整数 n, S n?1 ? 4an ? 2 ;设

bn ? an?1 ? 2an (n ? 1,2,3,?).
(I)证明数列

{bn } 是等比数列,并求 {bn } 的通项公式;

Cn ?
(II)设

bn 1 , Tn为数列 { } 3 log2 Cn?1 ? log2 Cn? 2 的前 n 项和,求 Tn .

2

数列典例

杨明江制

考点三:数列与不等式的联系 例题 5.已知 ? 为锐角,且 tan? ?

2 ?1 ,

f ( x) ? x 2 tan 2? ? x ? sin( 2? ?
函数 ⑴ 求函数 f ( x) 的表达式; ⑵ 求证:

?

4 ,数列{an}的首项

)

a1 ?

1 , a n ?1 ? f (a n ) 2 .

an?1 ? an ;

1?
⑶ 求证:

1 1 1 ? ??? ? 2 (n ? 2 , n ? N * ) 1 ? a1 1 ? a2 1 ? an

3

数列典例

杨明江制

3 1 ? 1? xn?1 ? xn ? ? ? ? , n ? N * , 且x1 ? 1.设an ? xn ? , ?x ? 4 2 且 ? 2? 例 题 6. 已 知 数 列 n 满 足

n

T2n ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? (2n ? 1)a2n?1 ? 2na2n .
(Ⅰ)求

xn 的表达式; (Ⅱ)求 T2 n ;
Qn ? 1 ? 3n ? 1 (n ? N * ) 2 9T 与Qn 的大小,并说明理由. (2n ? 1) ,试比较 2n

(Ⅲ)若

例题 7. 已知函数

f ( x) ? x ? ln ?1 ? x ?
1

,数列

?an ? 满足 0 ? a1 ? 1,
1
n ? N * .求证:

an?1 ? f ? an ?

;

?b ? b1 ? 2 , bn?1 ? 2 (n ? 1)bn , 数列 n 满足
an ?1 ? an 2 ; 2

(Ⅰ)

0 ? an?1 ? an ? 1; (Ⅱ)
a1 ?

(Ⅲ)若

2 , 2 则当 n≥2 时, bn ? an ? n! .

4

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考点四:数列与函数、向量、概率等的联系 例题 8.无穷数列

{an } 的前 n 项和 Sn ? npan (n ? N * ) ,并且 a1 ≠ a2 . {an } 的通项公式;
2 n

(1)求 p 的值; (2)求

1 1 f( )? f ( x) ? a2 x ? a3 x ? ?? an?1x ,如果 S10 ? 45 ,证明: 3 4 . (3)作函数

例题 9.已知定义域为 R 的二次函数

f ? x?

的最小值为 0 且有

f ?1 ? x ? ? f ?1 ? x ?

,直线 满 足

g ? x ? ? 4 ? x ?1?



f ? x?

的 图 象 截 得 的 弦 长 为 4 17 , 数 列 ,

?an ?

a1 ? 2, ? an ?1 ? an ? g ? an ? ? f ? an ? ? 0 ? n ? N ? ?

(1)求函数

f ? x?

的表达式;
n ?1

?3? an ? ? ? ?4? (2)求证
(3)设

?1
; ,求数列

bn ? 3 f ? an ? ? g ?an?1 ?

?bn ? 的最值及相应的 n 。

5

数列典例

杨明江制

1 .构造数列 {a n } 例 题 10. 某 人 抛 掷 一 枚 硬 币 , 出 现 正 面 、 反 面 的 概 率 均 为 2 ,使得

?1 an ? ? ?? 1

(当第n次出现正面时 ) , 记S n ? a1 ? a2 ? ? ? a n (n ? N * ). (当第n次出现反面时 )
2 ? S 6 ? 4 的概率.

(I)求 S4=2 的概率; (II)若前两次均出现正面,求

6



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