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2016高考数学二轮专题复习 专题突破篇 专题四 立体几何 第13讲 空间几何体的三视图、表面积及体积课件 文



?第一部分

专题突破篇

专题四 立体几何

第13讲 空间几何体的三视图、表面积及体积

高考真题体验

[主干整合] 1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正视图的下面,长度与正视图的长度一样,侧视 图放在正视图的右面,高度与正视图的高度一样,宽度与俯视图 的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等 ”.

2.常见的一些简单几何体的表面积和体积公式
2 (1)圆柱的表面积公式: S=2πr +2πrl=2πr(r+l)

(其中 r

为底面半径,l 为圆柱的高);
2 S = π r +πrl=πr(r+l) (其中 r 为底 (2)圆锥的表面积公式:

面半径,l 为母线长);

V=Sh (3)柱体的体积公式:

(S 为柱体的底面面积, h 为高);

1 V= Sh 3 (4)锥体的体积公式: (S 为底面面积,h 为高); 4 3 2 S=4πR ,V= πR 3 (5)球的表面积和体积公式: (R

为球的半径).

[真题再现] 1.(2015· 北京卷)某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最 长棱的棱长为( )

A.1

B. 2

C. 3

D.2

答案:C

解析: 图如图所示,

由四棱锥的三视图可知,其直观

其中 PA⊥平面 ABCD,四边形 ABCD 为正方形,由此可知 PC 是最长的棱, 连接 AC, 则 PC= AC2+PA2= ? 2?2+12= 3.

2.(2015· 安徽卷)一个四面体的三视图如图所示,则该四面 体的表面积是 ( )

A.1+ 3

B.1+2 2

C.2+ 3

D.2 2

答案:C

解析:如图,该四面体有两个面为等腰直角三角形,另外两

个面为正三角形,

1 故该四面体的表面积 S=2× 2

1 3 × 2× 2+2× × 2× 2× =2+ 3. 2 2

3.(2015· 新课标全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极 为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下 周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙 角处堆放米(如图,米堆为—个圆锥的四分之一),米堆底部的弧 长为 8 尺,米堆的高为 5 尺.问米堆的体积和堆放的米各为多 少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3,估算 出堆放的米约有 ( )

A.14 斛 C.36 斛
答案:B

B.22 斛 D.66 斛

π 16 解析:设米堆的底面半径为 r 尺,则 r=8,所以 r= , 2 π
? 1 1 2 π ? 320 ?16?2 所以米堆的体积为 V= × π·r · 5= ×? π ? ×5≈ (立方 4 3 12 ? ? 9

320 尺).故堆放的米约为 ÷ 1.62≈22(斛).故选 B. 9

4.(2015· 天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位:m), 则该几何体的体积为________m3.

8π 答案: 3

解析:由三视图知,该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱 组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为 1 m,圆柱 1 的高为 2 m. 因此该几何体的体积为 V=2× π×12×1+π×12×2 3 8π 3 = (m ). 3

5.(2014· 山东卷)三棱锥 P-ABC 中,D,E 分别为 PB,PC 的中点,记三棱锥 D-ABE 的体积为 V1,P-ABC 的体积为 V2, V1 则 =________. V2

1 答案: 4

解析:分别过 E,C 向平面 PAB 作高 h1,h2,由 E 为 PC 的 h1 1 1 中点得 = ,由 D 为 PB 的中点得 S△ABD= S△ABP, h2 2 2 所以
?1 ? ?1 ? 1 ? ? ? h1?∶? S△ABP· h2? V1∶V2=?3S△ABD· ?=4. 3 ? ? ? ?

[感悟高考] 给出简单几何体(柱、锥、台、球)的三视图,求其表面积、 体积等命题是高考的热点. 预计 2016 年高考对本节内容的考查仍将以识别三视图所代 表的几何体,进而确定几何体中线、面位置关系为主.考查学生 读图、识图能力以及空间想象力,题型仍将延续选择题、填空题 的形式,分值约为 5 分.

热点考向突破

考向一 空间几何体的三视图与直观图关系的确认 [典例 1] 是( ) (1)某几何体的三视图如图所示,那么这个几何体

A.三棱锥

B.四棱锥

C.四棱台

D.三棱台

(2)(2015· 重庆卷)某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的 体积为 ( )

1 2 1 2 A. +π B. +π C. +2π D. +2π 3 3 3 3

[审题突破]

(1)看到该几何体的三视图,想到该几何体从正

面看为一个直角三角形,从左侧看为一个直角三角形,有一条侧 棱垂直底面,从上往下看知底面为一个直角梯形; (2)由该几何体的三视图, 想到该几何体是一个三棱锥与半个 圆柱的组合体.

(1)答案:B

解析:由所给三视图与直观图的关系,可以判定对应的几何 体为如图所示的四棱锥, 且 PA⊥平面 ABCD, AB⊥BC, BC∥AD.

(2)答案:A 解析:由三视图知,该几何体是一个三棱锥与半个圆柱的组 1 合体,V=V 三棱锥+ V 2 故选 A. 1 1 1 1 2 圆柱= × ×2×1×1+ ×π×1 ×2= +π. 3 2 2 3

规律方法 1.由直观图确认三视图的策略 根据空间几何体三视图的定义及画法规则和摆放规则确认. 2.由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面. (2)根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征, 调 整实线和虚线所对应的棱、面的位置. (3)确定几何体的直观图形状.

[变式训练] 1. 正三棱柱(底面为正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1 如图所 示,以四边形 ABB1A1 为水平面,四边形 BCC1B1 的前面为正前方 画出的三视图正确的是( )

答案:A

解析:矩形 BCC1B1 的前面为正前方,故正视图为矩形,左 侧为△ABC,所以侧视图为三角形,俯视图为两个有公共边的矩 形,公共边为 CC1 在平面 ABB1A1 内的投影,故选 A.

2.(2015· 新课标全国卷Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与 半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和 俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( )

A.1
答案:B

B.2

C.4

D.8

解析:由已知可知,该几何体的直观图如图所示,

其表面积为 2πr2+πr2+4r2+2πr2=5πr2+4r2.由 5πr2+4r2= 16+20π,得 r=2.故选 B.

考向二 空间几何体的表面积与体积 [典例 2] (1)(2014· 安徽卷)一个多面体的三视图如图所示, 则该多面体的表面积为 ( )

A. 21+ 3 B.18+ 3 C.21 D.18

(2)一个空间几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为 8 5 12π+ ,则正视图中 x 的值为( 3 )

A.5

B.3

C.4

D. 2

[审题突破]

(1)看到三视图,想到该几何体为一个正方体截

去两个全等小正三棱锥后所得的组合体; (2)看到三视图, 想到该几何体为上面是一个正四棱锥, 下面 是一个圆柱的组合体.

(1)答案:A 解析: 由三视图可知该几何体是一个正方体截去两个全等的 小正三棱锥后的图形,如图所示.

(2)答案:B 解析:由三视图知,几何体是一个组合体,上面是一个正四 棱锥,四棱锥的底面是一个对角线为 4 的正方形,侧棱长是 3, 根据勾股定理知正四棱锥的高是 32-22= 5, 下面是一个圆柱, 8 5 底面直径是 4,母线长是 x,因为几何体的体积为 12π+ ,所 3 1 8 5 2 以 π×4x+ ×(2 2) × 5=12π+ ,解得 x=3,故选 B. 3 3

规律方法 1.求解几何体的表面积及体积的技巧 (1)求几何体的表面积及体积问题, 可以多角度、 多方位地考 虑,熟记公式是关键所在.求三棱锥的体积,等体积转化是常用 的方法, 转化原则是其高易求, 底面放在已知几何体的某一面上. (2)求不规则几何体的体积, 常用分割或补形的思想, 将不规 则几何体转化为规则几何体以易于求解.

2.根据几何体的三视图求其表面积与体积的三个步骤 (1)根据给出的三视图判断该几何体的形状. (2)由三视图中的大小标示确定该几何体的相关度量. (3)套用相应的面积公式与体积公式计算求解.

[变式训练] 1.(2015· 北京卷)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥 的表面积是 ( )

A.2+ 5 C.2+2 5
答案:C

B.4+ 5 D.5

解析:由三视图可得该三棱锥的直观图如图所示,其中 PA =1,BC=2,取 BC 的中点 M.

连接 AM, MP, 则 AM=2, AM⊥BC, 故 AC=AB= BM2+AM2 = 1+4= 5,

由正视图和侧视图可知 PA⊥平面 ABC, 因 此 可 得 PC = PB = PA2+AB2 = 1+5 = 6 , PM = PA2+AM2= 1+4= 5, 1 所以三棱锥的表面积为 S △ ABC + S △ PAB + S △ PAC + S △ PBC = 2 1 1 1 ×2×2+ × 5×1+ × 5×1+ ×2× 5=2+2 5,故选 C. 2 2 2

π 2.(2015· 山东卷)在梯形 ABCD 中,∠ABC= ,AD∥BC, 2 BC=2AD=2AB=2.将梯形 ABCD 绕 AD 所在的直线旋转一周而 形成的曲面所围成的几何体的体积为 2π 4π 5π A. B. C. 3 3 3
答案:C

(

)

D.2π

解析:如图,此几何体是底面半径为 1,高为 2 的圆柱挖去 π 5π 一个底面半径为 1,高为 1 的圆锥,故所求体积 V=2π- = . 3 3

[典例 3] (1)在正三棱锥 S-ABC 中,M,N 分别是 SC,BC 的中点,且 MN⊥AM,若侧棱 SA=2 3,则正三棱锥 S-ABC 外 接球的表面积是 ( )

A.12π C.36π

B.32π D.48π

(2)(2015· 河南洛阳统考)如图是某几何体的三视图, 则该几何 体的外接球的表面积为 ( )

A.200π C.100π [审题突破]

B.150π D.50π (1)看到正三棱锥及 MN⊥AM,想到 AS⊥SB,

AS⊥SC,BS⊥SC,进而将三棱锥补成正方体求解; (2)看到三视图, 想到该几何体是由一个长方体截去 4 个角后 得到.

(1)答案:C 解析:(1)因为三棱锥 S-ABC 是正棱锥,所以 SB⊥AC(对棱 互相垂直), 所以 MN⊥AC,又因为 MN⊥AM,而 AM∩AC=A, 所以 MN⊥平面 SAC,即 SB⊥平面 SAC, 所以∠ASB=∠BSC=∠ASC=90° , 将此三棱锥补成正方体, 则它们有相同的外接球,

所以 2R=2 3· 3,所以 R=3, 所以 S=4πR2=4π·32=36π. (2)答案:D 解析:由三视图知,该几何体可以由一个长方体截去 4 个角 后得到,此长方体的长、宽、高分别为 5,4,3,所以外接球半径 R 满足 2R= 42+32+52=5 2,所以外接球的表面积为 S=4πR2
?5 2? ?2 =4π×? ? 2 ? =50π,故选 ? ?

D.

规律方法 多面体与球接、切问题的求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及多面 体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面,把空间问题转化为 平面问题,再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系,或 只画内切、外接的几何体的直观图,确定球心的位置,弄清球的 半径(直径)与该几何体已知量的关系,列方程(组)求解.

(2)若球面上四点 P,A,B,C 构成的三条线段 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=a,PB=b,PC=c,一般把有关元素“补 形”成为一个球内接长方体,则 4R2=a2+b2+c2 求解.

[变式训练] 1.(2015· 贵州七校联考)如图,一个几何体的三视图中正视 图和侧视图为边长为 2,锐角为 60° 的菱形,俯视图为正方形, 则此几何体的内切球表面积为 ( )

A.2π
答案:B

B.3π

C.4π

D.8π

解析:由三视图可知,该几何体为两个正四棱锥的组合体, 且四棱锥的斜高为底面正方形的边长,过正四棱锥的高,斜高作 3 平面,得轴截面,由内切知,球的半径 r=1×sin 60° = ,所以 2 S
? ? = 4π × 球 ? ?

3? ?2 =3π. 2? ?

2.(2015· 河北石家庄二中一模)三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平 面 ABC,AC⊥BC,AC=BC=1,PA= 3,则该三棱锥外接球的 表面积为( A.5π
答案:A

) B. 2π C.20π D.4π

解析:把三棱锥 P-ABC 看作由一个长、宽、高分别为 1,1, 3的长方体截得的一部分(如图).

易知该三棱锥的外接球就是对应长方体的外接球. 又长方体 5 的体对角线长为 1 +1 +? 3? = 5,故外接球半径为 ,表面 2
2 2 2

积为

? 4π×? ? ?

5? ?2 =5π. 2? ?



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