9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

2013年湖南高考数学文科试卷带详解



2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)


要求的.

学(文史类)

一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目

1.复数 z ? i(1 ? i) ( i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限

(

)

D.第四象限

【测量目标】复数代数形式的四则运算及复平面. 【考查方式】给出复数的乘法形式,间接地考查了复数的代数与几何之间的关系. 【参考答案】B 【试题解析】? z ? i(1 ? i) ? ?1 ? i ,? 复数 z 对应复平面上的点是 (?1,1) ,该点在第二象限. 2. “1<x<2”是“x<2”成立的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 【测量目标】命题的基本关系,充分、必要条件. 【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件. 【参考答案】A 【试题解析】设 A ? {x |1 ? x ? 2} , B ? {x | x ? 2} ,? A ? B ,即当 x0 ? A 时,有 x0 ? B ,反之不一定 成立.因此“ 1 ? x ? 2 ”是“ x ? 2 ”成立的充分不必要条件. 3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件.为了解它们的产品 质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其中从丙车间的产品中抽 取了 3 件,则 n= A.9 【测量目标】分层抽样. 【考查方式】根据分层抽样的特点,结合实际问题用比例法求解样本容量的多少. 【参考答案】D 【试题解析】? B.10 C.12 D.13 ( ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ( )

3 n = ,? n ? 13 60 120 ? 80 ? 60

4.已知 f ? x ? 是奇函数, g ? x ? 是偶函数,且 f (?1) ? g (1) ? 2 , f ?1? ? g ? ?1? ? 4 ,则 g(1)等于 ( A.4 B.3 C.2 D.1 )

【测量目标】函数的奇偶性、函数的求值. 【考查方式】给出两个奇、偶函数的关系式,结合奇、偶函数的性质求解 g(1). 【参考答案】B 【试题解析】根据奇、偶函数的性质,将 f (?1) 和 g (?1) 转化 ? f (1), g (1) 为列方程再求解. 是奇函数,? f (?1) ? ? f (1). 又 g ( x) 是偶函数, ? f (x ) (步骤 1) ? g (?1) ? g (1) ,

? f (?1) ? g (1) ? 2,? g (1) ? f (1) ? 2 .
又 f (1) ? g (?1) ? 4,? f (1) ? g (1) ? 4 . 由①②,得 g (1) ? 3 . (步骤 4)

①(步骤 2) ②(步骤 3)

5.在锐角三角形 ABC 中,角 A, B 所对的边长分别为 a , b .若 2a sin B ? 3b ,则角 A 等于( A.

)

π 3

B.

π 4

C.

π 6

D.

π 12

【测量目标】正弦定理. 【考查方式】给出三角形的边角之间的关系,根据正弦定理,求出其中一个角的大小. 【参考答案】A 【试题解析】在△ ABC 中, a ? 2R sin A, b ? 2R sin B ( R 为△ ABC 的圆半径),

? 2a sin B ? 3b,?2sin Asin B ? 3sin B
? sin A ?
π 3 ,又△ ABC 为锐角三角形,? A ? . 3 2
( D.3 )

6.函数 f ( x) ? ln x 的图象与函数 g ( x) ? x2 ? 4x ? 4 的图象的交点个数为 A.0 B.1 C.2

【测量目标】函数的图像与性质,数形结合思想. 【考查方式】给出对数函数和二次函数,考查了两个函数的图像与交点. 【参考答案】C 【试题解析】 g ( x) ? x ? 4 x ? 4 ? ( x ? 2) 在同一平面直角坐标系内画出函数
2 2

f ( x) ? ln x 与 g ( x) ? ( x ? 2)2 的图象(如图).由图可得两个函数的图象有 2 个交点.

第 6 题图

7.已知正方体的棱长为 1 ,其俯视图是一个面积为 1 的正方形,侧视图是一个面积为 2 的矩形,则该正 方体的正视图的面积等于 A. ( B. 1 C. )

3 2

2 ?1 2

D. 2

【测量目标】空间几何体三视图的判断,柱、锥、台、及简单组合体的表面积、体积的求法. 【考查方式】给出正方体的三视图面积,间接地考查了对正方形三视图的认识,并求出正视图的面积. 【参考答案】D 【试题解析】由于该正方形的俯视图是面积为 1 的正方体,侧视图是一个面积为 2 ,宽为1 的矩形,所以 其面积为 2 .

a?b ? 0, 8. 已知 a , b 是单位向量, 若向量 c 满足 c ? a ? b ? 0 , 则 c 的最大值为
A. 2 ? 1 B. 2 C. 2 ? 1

( D. 2 ? 2

)

【测量目标】向量的运算律、向量的数量积及模. 【考查方式】给出模为零的向量,间接地考查了向量的运算律、数量积及模的综合应用,并求出其中一个 向量的模. 【参考答案】C 【试题解析】? a , b 是单位向量, ? a ? b ? 1 , (步骤 1) 又 a ? b ? 0 ,? a ? b , (步骤 2)? a ? b ?
2

(步骤 3) 2.

? c ? a ? b ? c 2 ? 2c ? (a ? b)+2α ? b ? a 2 ? b 2 ? 1 .
(步骤 4) ?c 2 ? 2 ? c(a ? b) ? 1 ? 0 ,? 2c ? (a ? b) ? c 2 ? 1. (步骤 5) ? c 2 ? 1 ? 2 c a ? b cos? ( ? 是 c 与 a ? b 的夹角). (步骤 6) ? c 2 ? 1 ? 2 2 c cos ? ? 2 2 c ,? c 2 ? 2 2 c ? 1 ? 0 .

? 2 ?1剟 c

(步骤 7) 2 ? 1 ,? c 的最大值为 2 ? 1 .

9.已知事件“在矩形 ABCD 的边 CD 上随机取一点 P ,使△ APB 的最大边是 AB ”发生的概率为

1 ,则 2
)

AD = AB
A.

(

1 2

B.

1 4

C.

3 2

D.

7 4

【测量目标】几何概型. 【考查方式】给出事件发生的概率并与代数相结合,求出几何概型的概率. 【参考答案】D 【试题解析】由于满足条件的点 P 发生的概率为 形的对称性当点 P 在靠近点 D 的 CD 边的

1 ,点 P 在边 CD 上运动,根据图 2

1 分点时,EB ? AB(当 P 点超过点 E 4

向点 D 运动时, PB ? AB ) .设 AB ? x ,过点 E 作 EF ? AB 交 AB 于点 F ,则

BF ?

3 7 x .在 Rt△FBE 中, EF 2 ? BE 2 ? FB 2 ? AB 2 ? FB 2 ? x 2 ,即 4 16

EF ?

7 AD 7 . x, ? ? 4 AB 4

第 9 题图

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 10.已知集合 U ? {2,3, 6,8}, A ? {2,3}, B ? {2, 6,8} ,则 (? U A) ? B = 【测量目标】集合的表示、集合的基本运算,数形结合思想. 【考查方式】考查了集合的表示法(描述法) 、集合的补集、交集运算. 【参考答案】 {6,8} 【试题解析】 因为 U ? {2,3,6,8}, A ?{2,3} , 所以 ? 所以 (? U A ? {6,8} , U A) ? B ? {6,8} ? {2,6,8} ? {6,8} . 11.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l1 : ? 行,则常数 a 的值为 . .

? x ? 2 s ? 1, ? x ? at , (s 为参数)和直线 l2 : ? (t 为参数)平 ?y ? s ? y ? 2t ? 1

【测量目标】参数方程、两直线的位置关系,转化思想的应用. 【考查方式】参数方程与直角坐标方程的互化,间接考查了直线方程与直线位置的关系. 【参考答案】 4 【试题解析】由 ?

? x ? 2s ? 1, 消去参数 s ,得 x ? 2 y ? 1 . ?y ? s

由?

? x ? at , 消去参数 t ,得 2 x ? ay ? a . ? y ? 2t ? 1

2 1 ?l1∥l2 ,? ? ,? a ? 4. a 2
12.执行如图所示的程序框图,如果输入 a=1,b=2,则输出的 a 的值为 【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】程序框图的逻辑关系,并根据程序框图求出 a 的值. 第 12 题图 .

【参考答案】 9 【试题解析】当 a ? 1, b ? 2 时, a ? 8 不成立,执行 a ? a ? b 后 a 的值为 3 . 当 a ? 3, b ? 2 时, a ? 8 不成立,执行 a ? a ? b 后 a 的值为 5 .当 a ? 5, b ? 2 时, a ? 8 不成立,执行

a ? a ? b 后 a 的值为 7 .当 a ? 7, b ? 2 时, a ? 8 不成立,执行 a ? a ? b 后 a 的值为 9 .由于 9 ? 8 成
立,故输出的 a 值为 9 .

? x ? 2 y ? 8, ? 13.若变量 x, y 满足约束条件 ?0 剟 x 4, 则 x ? y 的最大值为______. ?0 剟 y 3 ?
【测量目标】线性规划知识求最值. 【考查方式】给出约束条件,应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域,求出线性规划目标函数 的最大值. 【参考答案】 6 【试题解析】根据不等式组出其平面区域,令 z ? x ? y ,结合直线

z ? x ? y 的特征求解.
如图,画出不等式组表示的平面区域,平行移动 z ? x ? y 经过点

A(4, 2) 时, z 取最大值 6 .
14.设 F1 , F2 是双曲线 C

第 13 题图

x2 y 2 ? ?1 a 2 b2

? a ? 0, b ? 0? 的两个焦点.若在 C 上存在一点 P .使 PF1 ? PF2 ,

? C 的离心率为___________. 且 ?PF 1F 2 ? 30 ,则

【测量目标】双曲线的定义及其相关性质. 【考查方式】给出双曲线上的点到两焦点之间直线的关系,根据双曲线的定义及性质求解其离心率. 【参考答案】 3 ? 1
? 【试题解析】如图,利用 PF1 ? PF2 及 ?PF 1F 2 ? 30 ,求出 a ,c 的关系式. ? 设点 P 在双曲线右支上.? PF1 ? PF2 , F 1F 2 ? 30 , 1F 2 ? 2c ,且 ?PF

? PF2 ? c , PF1 ? 3c .又点 P 在双曲线右支上,

? PF1 ? PF2 ? ( 3 ?1)c ? 2a .? e ?

c 2 ? ? 3 ?1 . a 3 ?1

第 14 题图

15.对于 E ? {a1, a2 , ?, a100} 的子集 X ? {ai1 , ai2 ,?, aik } ,定义 X 的“特征数列”为 x1 , x2 ,?, x100 ,其中

xi1 ? xi2 ? ? ? xik ? 1 .其余项均为 0,例如子集 {a2 , a3} 的“特征数列”为 0,1,0,0,…,0.
⑴子集 {a1 , a3 , a5} 的“特征数列”的前三项和等于___________; ⑵若 E 的子集 P 的“特征数列” p1 , p2 , ???, p100 满足 p1 ? 1 , pi ? pi ?1 ? 1, 1 剟i

99 ;

E 的子集 Q 的“特征数列” q1 , q2 , ???, q100 满足 q1 ? 1 , q j ? q j ?1 ? q j ?2 ? 1, 1 剟 j
则 P ? Q 的元素个数为_________.

98 ,

【测量目标】集合的子集、交集定义的理解以及数列中项、项数概念的理解及应用. 【考查方式】根据给定“特征数列”的新定义,明确其性质,结合集合及数列性质求解. 【参考答案】⑴ 2 ⑵ 17

【试题解析】子集中元素的个数为“特征数列”中项 1 的个数,并且 1 所在的项记为“特征数列”中的第 i 项. ⑴子集 ?a1 , a3 , a5 ? 的“特征数列”中共有 3 个 1 , 其余均为 0 , 该数列为 1,0,1,0,1,0,0,?,0. 故该数列前 3 项 的和为 2 . ⑵ E 的子集 P 的“特征数列” p1 , p2 ,?, p100 中,由于 p1 ? 1 , pi ? pi ?1 ? 1(1 剟i

99) ,因此集合 P 中必

含有元素 a1 .又当 i ? 1 时, p1 ? p2 ? 1,且 p1 ? 1 ,故 p2 ? 0 同理可求得 p3 ? 1 , p4 ? 0 , p5 ? 1 ,

p6 ? 0 ,….故 E 的子集 P 的“特征数列”为 1,0,1,0,1,0,1,0,?,1,0 ,即 P ? ?a1, a3 , a5 , a7 , ???, a99 ? . E 的
子集 Q 的“特征数列” q1 , q2 , ???, q100 中,由于 q1 ? 1 , q j ? q j ?1 ? q j ?2 ? 1 (1 剟 j

98) ,因此集合 Q 中必

含有元素 a1 . 当 j ? 1 时,q1 ? q2 ? q3 ? 1, 当 j ? 2 时,q2 ? q3 ? q4 ? 1 , 当 j ? 3 时,q3 ? q4 ? q5 ? 1, … 故 q1 ? 1 q2 ? q3 ? 0 , q4 ? 1 , q5 ? q6 ? 0 , q7 ? 1 ,….故,所以 E 的子集 Q 的“特征数列”为

1,0,0,1,0,0,1,0,0, ???,0,1 ,即 Q ? ?a1, a4 , a7 , a10 , ???, a100 ? .因为 100 ? 1 ? (n ?1) ? 3 ,故 n ? 34 ,所以
集合 Q 中有 34 个元素,其下标为奇数的有 17 个.因此, P ? Q ? ?a1, a7 , a13 , a19 , ???, a97 ? 共有 17 个元素. 三、解答题;本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? cos x ? cos( x ? ) .

π 3

2π ) 的值; 3 1 ⑵求使 f ( x) ? 成立的 x 的取值集合. 4
⑴求 f (
【测试目标】三角函数的定义及性质,三角函数的恒等变换. 【考查方式】利用三角函数的恒等变换将函数转化成正弦函数,根据三角函数图像的性质求出 x 的范围.

【试题解析】(1)

f ( x) ? cos x ? (cos x ? cos

1 3 1 1 π π ? cos 2 x ? ) ? ? sin x ? sin ) ? (sin 2 x ? 2 2 2 4 3 3

2π 1 3π 1 1 2π 1 1 π 1 ? ? ? ,所以 f ( ) ? ? . ? sin(2 x ? ) ? ? f ( ) ? sin 3 2 2 4 4 3 4 2 6 4
(2)由(1)知,

1 π 1 1 π 1 π 1 1 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? ? ? cos(2 x ? ) ? ? ,即 cos(2 x ? ) ? 0 2 3 4 4 3 2 6 4 4 π π 3π 5π 11π 于是 2kπ ? ? 2 x ? ? 2kπ ? ? x ? (kπ ? , kπ ? ), k ? ? . 2 3 2 12 12
故使 f ( x ) ?

1 ? 5π 11π ? 成立的 x 的取值集合为 ? x kx ? ? x ? kx ? , k ? ?? . 4 12 12 ? ?
?

17.(本小题满分 12 分)如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, ?BAC ? 90 ,

AB ? AC ? 2 , AA1 ? 3 , D 是 BC 的中点,点 E 在棱 BB1 上运动.
⑴证明: AD ? C1E ; ⑵当异面直线 AC , C1E 所成的角为 60 时,求三棱柱 C1 ? A1B1E 的体积.
?

【测量目标】空间点、线、面的之间的位置关系,线线、线面、面面垂直与平行 的性质与判定,异面直线所成角,三棱柱的体积.

第 17 题图

【考查方式】根据线面垂直推导到线线垂直,求出三棱柱 E ? A1B1C1 的高 EB1 再求体积. 【试题解析】⑴? AB ? AC , D 是 BC 的中点,? AD ? BC .(步骤 1) 又在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, BB1 ? 平面 ABC , 而 AD ? 平面 BB1C1C ,? AD ? BB1 . (步骤 2) 由①②,得 AD ? 平面 BB1C1C , 由 E 点在棱 BB1 上运动,得 C1E ? 平面 BB1C1C ? C1 E ? AD . (步骤 3)
⑵? CA∥C1 A1 ,??AC 1 1E ? 60
?





(步骤 4) ?在 Rt△AC 1 1 E 中, A 1E ? 6 ,

(步骤 5) ?在 Rt△A1B1E 中, EB1 ? 2 . (步骤 6) ? ABC ? A1B1C1 是直棱柱,? EB1 是三棱柱 E ? A1B1C1 的高.

1 1 2 VC1 ? A1B1E ? VE ? A1B1C1 ? ? S△A1B1C ? EB1 ? ? 1? 2 ? . 3 3 3 2 所以三棱柱 C1 ? A . (步骤 7) 1B 1 E 的体积是 3

18. (本小题满分 12 分) 某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点) 处都种了一株相同品种的作物. 根据历年的种植经验, 一株该种作物的年收货量 Y (单位: kg)与它的“相近” 作物株数 X 之间的关系如下表所示:

X Y

1 51

2 48

3 45

4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. ⑴完成下表,并求所种作物的平均年收获量; Y 频数 51 48 4 45 42

⑵在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为 48 kg 的概率.
【测量目标】频数分布表及平均数、简单随机事件的概率. 【考查方式】考查识图能力及数据处理能力及分类讨论思想,结合图形解决概率与统计的相关知识,根据图形 找出 Y 对应的频数. 【试题解析】(1) 由图知,三角形中共有 15 个格点, 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个,坐标分别为(4,0),(0,4). 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是 2 个的格点有 4 个,坐标分别为(0,0), (1,3), (2,2),(3,1). 与周围格点的距离不超过1米的格点数都是 3 个的格点有 6 个, 坐标分别为(1, 0), (2, 0), (3, 0), (0, 1, ) , (0,2),(0,3). 与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个,坐标分别为(1,1), (1,2), (2,1). 如下表所示: Y 频数 51 2 48 4 45 6 42 3

平均年收获量 u ?

51? 2 ? 48 ? 4 ? 45 ? 6 ? 42 ? 3 ? 46 . 15

(2)在 15 株中,年收获量至少为 48kg 的作物共有 2 ? 4 ? 6 个. 所以, 15 株中任选一个,它的年收获量至少为 48kg 的概率 p ?

6 ? 0.4 . 15

19. (本小题满分 13 分) 设 S n 为数列 ?an ? 的前项和,已知 a1 ? 0 , 2a n ? a1 ? S1 ? S n , n ? N .
*

⑴求 a1 , a 2 ,并求数列 {an } 的通项公式; ⑵求数列 {nan } 的前 n 项和. 【测量目标】等比数列的公式、性质及数列的前 n 项和的公式、性质. 【考查方式】利用递推公式 an ? Sn ? Sn?1 (n …2) 消去 Sn 得到关于 an 的通项公式,并用错位相减法求

{nan } 的前 n 项和.
【试题解析】⑴

? S1 ? a1 ? 令 n ? 1 ,得 2a1 ? a1 ? a12 ? a1 ? 0, a1 ? 1. (步骤 1)
(步骤 2) ? 1 ? a2 ? a2 ? 2 .

令 n ? 2 ,得 2a2 ?1 ? S2 当 n …2 时,由 2an

(步骤 3) ?1 ? Sn , 2an?1 ? 1 ? Sn?1 两式相减,得 2an ? 2an?1 ? an ,即 an ? 2an?1 .

于是 {an } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列. (步骤 4) 因此, an

? 2n?1 , n ? N? ,

(步骤 5) ? 数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 2n?1 . ⑵由⑴知, nan 于是 Tn

? n ? 2n?1 .记数列 ?n ? 2 n ?1? 的前 n 项和为 Tn ,
① ② (步骤 6)

? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 22 ? ? ? n ? 2n ?1

? 2Tn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3? 23 ? ?? n ? 2n
①-②,得 ?Tn

? 1 ? 2 ? 22 ? ... ? 2n ?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1 ? n ? 2n

(步骤 7) ? Tn ? (n ? 1) ? 2n ? 1, n ? N? .

20. (本小题满分 13 分) 已知 F1 , F2 分别是椭圆 E : 一条直径的两个端点.

x2 ? y 2 ? 1的左、右焦点 F1 , F2 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 的对称点是圆 C 的 5

⑴求圆 C 的方程; ⑵设过点 F2 的直线 l 被椭圆 E 和圆 C 所截得的弦长分别为 a , b .当 ab 最大时,求直线 l 的方程.
【测量目标】点关于直线对称点的求法,圆的方程,直线与椭圆的位置关系,直线的方程以及利用函数求最值 问题. 【考查方式】考查了对称思想在求解实际问题中的应用,求出圆 C 的方程.由勾股定理求出弦长 b ,根据焦

半径的公式求出弦长 a ,构造函数判断单调性,求出 ab 最大值,求出 l 的方程.
【试题解析】⑴先求圆 C 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称的圆 D ,由题意知,圆 D 的直径为 F1 F2 ,所以圆 D 的圆 心是 D(0,0) ,半径 r ? c ? (步骤 1) a2 ? b2 ? 2 ,

圆心 D 与圆心 C 关于直线 x ? y ? 2 ? 0 对称 ? C (2, 2) . ( 0,0)

?圆的方程是 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 (步骤 2)
⑵由⑴知 F2 (2, 0) ,根据题可设直线 l 方程为: x ? my ? 2, m ? R . 这时直线 l 可被圆和椭圆截得 2 条弦,符 合题意. 圆 C : ( x ? 2)
2

? ( y ? 2) 2 ? 4 到直线 l 的距离 d =

|2m ? 2 ? 2| 1 ? m2

?

2m 1 ? m2

. (步骤 3)

? 在圆中,由勾股定理,得 b 2 ? 4(4 ?

4m 2 42 ) ? . (步骤 4) 1 ? m2 1 ? m2

直线与椭圆相较于点 E ( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 ) ,联立直线与椭圆方程,得

(m 2 ? 5 )y 2 ? 4my ? 1 ? 0 ? x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 4 ? m
由椭圆的焦半径公式得: a

?4m 20 ?4 ? 2 , 2 m ?5 m ?5

?2 5?

2 m2 ? 1 10 ? 2( x1 ? x2 ) ? 2 5? 2 ( x1 ? x2 ) ? m ?5 5 5

? ab ? 2 5 ?

m2 ? 1 4 m2 ? 1 . (步骤 5) ? ? 8 5 ? m2 ? 5 1 ? m2 m2 ? 5

令 f ( x) ?

x ?1 (步骤 6) , x …0 ? y ? f ( x) 在 [0,3] 上单调增,在 [3, ??) 单调减, x?5

令 f ( x) ? f (3)

?当 m2 ? 3 时,取 ab 最大值,这时直线方程为 x ? ? 3 y ? 2 ,
(步骤 7) 3y ? 2 .

所以当取 ab 最大值,直线方程为 x ? ?

21. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ?

1? x x e . 1 ? x2

⑴求 f ( x ) 的单调区间; ⑵证明:当时 f ( x1 ) ? f ( x2 )( x1 ? x2 ) 时, x1 ? x2 ? 0 .
【测量目标】导数的运算,导数研究函数的单调性,导数在不等式证明问题中的应用. 【考查方式】考查导数的运算、利用导数求函数单调区间的方法、构造函数判断函数大小的方法. 【试题解析】⑴ 函数的定义域 , (? ?, ??)
x 2 ? 1 ? x 2 ) ? (1 ? x) e x ? 2 x ? 1 ? x ?? x 1 ? x x (?1 ? 1 ? x) e ( x ?3 ? x ? 2 x (步骤 1) f ?( x) ? ? e ? e ? ? x e ? 2 ? 1 ? x2 ( 1 ? x 2 )2 ( 1 ? x 2 )2 ? 1? x ?

? ? ? 22 ? 4 ? 2 ? 0 ,? 当 x ? (??,0) 时, f ?( x) ? 0, y ? f ( x) 单调递增,
当时 x ? (0, ??) , f ?( x) ? 0, y ? f ( x) 单调递减.

? ?) 上单调递减. (步骤 2) ? y ? f ( x) 在 (??, 0) 上单调递增,在 x ? (0,
⑵当 x ? 1 时,由于 当

1? x ? 0 , e x ? 0 ,故 f ( x) ? 0 ;同理,当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 . (步骤 3) 2 1? x

(步骤 4) f ( x1 ) ? f ( x2 )( x1 ? x2 ) 时,不妨设 x1 ? x2 ,由⑴知, x1 ? (??,0) , x2 ? (0,1) .

下面证明:

?x ? (0,1) , f ( x) ? f (? x) ,即证
令 g ( x ) ? (1 ? x ) e ?
x

1? x x 1? x ?x 1? x e ? e ? (1 ? x) e x ? x ? 0 . (步骤 5) 2 2 1? x 1? x e

1? x ?x 2x ,则 g ( x)? ? ? x e (e ? 1) . (步骤 6) ex
x

当 x ? (0,1) 时, g ( x)? ? 0 , g ( x) 单调递减,从而 g ( x) ? g (0) ? 0 ,即 (1 ? x) e ?

1? x ? 0. ex

??x ? (0,1) , f ( x) ? f (? x) . (步骤 7)
而 x2 ? (0,1) ,? f ( x2 ) ? (步骤 8) f (? x2 ) ,从而 f ( x1 ) ? f (? x2 ) .

由于 x1 , ? x2 ? (??,0) , f ( x ) 在 ( ??, 0) 上单调递增,

所以 x1 ? ? x2 ,即 x1 ? x2 ? 0 . (步骤 9)



更多相关文章:
2013年全国高考数学文科试卷湖南卷(解析版)
姓名 绝密★ 启用前 座位号 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)答案附后 数学(文史类)本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分,共 5 页,时量 120 ...
2013年湖南高考文科数学试题及答案word版
2014 年湖南高考文科数学试题及答案 数学(文史类)一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求...
2013年湖南省高考数学试卷(理科)及解析
2013 年湖南省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目...
2013年湖南省高考数学试卷(文科)答案与解析
2013年湖南省高考数学试卷(文科)答案与解析_高考_高中教育_教育专区。答案精准,...压轴题;平面向量及应用. 分析: 通过建立直角坐标系,利用向量的坐标运算和圆的方程...
2013年湖南省高考数学文科真题文字版有详解
2013年湖南省高考数学文科真题文字版有详解_数学_高中教育_教育专区。绝密★启用前 2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数 学(文史类) 本试卷包括选择题...
2013年湖南高考理科数学试卷(带详解)
2013年湖南高考理科数学试卷(带详解)_数学_高中教育_教育专区。2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类)本试卷包括选择题、填空题和解答题...
2013年湖南省高考数学试卷(理科)及解析
2013年湖南省高考数学试卷(理科)及解析_高考_高中教育_教育专区。2013 年湖南省高考数学试卷(理科)一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在...
2013湖南高考数学文科试题及解析
2013湖南高考数学文科试题及解析_高考_高中教育_教育专区。2013湖南高考数学文科试题及解析,完全word版,方便使用及编辑,教师学生共享完美试卷2013...
2013年高考文科数学湖南卷试题与答案word解析
2013年高考文科数学湖南卷试题与答案word解析版_高考_高中教育_教育专区。2013年高考文科数学湖南卷试题与答案word解析2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)...
2013湖南高考数学文科试题及解析
2013 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(文史类) 一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图