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2.3.2 等差数列前N项和公式(3)





? 例1:已知数列 an ?是等差数列, n 是其前n项的和 s
求证:s6 , ( s12 ? s6 ), ( s18 ? s12 )也成等差数列
解:设等差数列首项为 1 , 公差为d,则有 : a s 6 ? 6a1 ? 15d s12 ? 12a1 ? 66d s18 ? 18a1 ? 153d ? s12 ? s 6 ?

6a1 ? 51d s18 ? s12 ? 6a1 ? 87d ? ( s12 ? s 6 ) ? s 6 ? 36d ? ( s18 ? s12 ) ? ( s12 ? s 6 ) ? s 6 , s12 - S 6 , s18 ? S12 也成等差数列,公差为 d 36
s k , s2 k ? sk , s3k ? s2 k 也成等差数列。(k ? Z )
公差为原来公差的k 2倍

能不能把此结论推广到 一般情况:如果?an ?为等差数列,

? 中, 例2:在等差数列 a n ?
S12 ? 354, 在这12项中 S 偶:S 奇 ? 32: ,求公差d . 27
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例题

例题

? 例3.有两个等差数列a n ?, ?bn ? ,
其前n项和分别为S n , Tn, S n 7n ? 2 a5 若 ? ,求 . Tn n?3 b5
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本节课学习的主要内容有: 1、如何利用数列的前n项和 求通项公式 2、等差数列前n项和最值求解 3、等差数列简单性质.

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? 的前n项的和为:S n ? 练习 :已知数列 a n ? 1
解:根据Sn ? 4 n ? 3 n ? 3与Sn ?1 ? 4 (n ?1) ? 3 (n ?1) ? 3(n?1)
当n?1时,an ? Sn ? Sn ? 1 ? ( 1 n2 ? 2 n ? 3) ? [ 1 (n ?1) 2 ? 2 (n ?1) ? 3] 4 3 4 3
5 ? n ? 12 ? 6n?5 2 12
1 4 2 3

1 4

n ? 2 n ? 3,2求数列通项公式。 3 1 2 2 1 2
2

当n ? 1 时,a1 ? S1 ? ? ? 3 ?

59 12

不满足an ?

6 n ?5 12

59 ? 12 ? 所以数列?a n ? 的通项公式为:a n ? ? 6n ?5 ? 12 ?

(n ? 1) (n?1)

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该数列?an ? 的前n项和取最大的n值?此时最大值为?

2.已知an ? 1024? lg 21? n , 2 ? 0.3010 ,n ? N ? ,问: (lg )

? 的前n项和为Tn , 公差为d 解:假设数列 an ?
由已知可得, a1 ? 0且公差d ?0,所以Tn有最大值。
( ? a n ? 0 ?1024? 1 ? n) lg 2 ? 0 由? 得? 解得 1024 ?n ? 1024 ? 1 ?a lg 2 lg 2 ? n ?1 ? 0 ?1024? n lg 2? 0

即3401 99?n ? 3401 99 ? 1 . .

所以n ? 3402

故数列?an ? 的前n项和Tn取最大的n值为3402
此时a3402 ?114.077,T3402 ?
3402 (1024 ?114.077 ) 2

? 1935868 .977

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? 中,S n为前n项和,公差d ? 2 3.在等差数列 an ?
且S 4 ? 1 ,求:a17 ? a18 ? a19 ? a20的值

解:由已知可得数列S 4,S8 ? S 4, ,S 20 ? S16 ? 是等差数列,公差为4 2 d ? 32。
所以S 20 ? S16 ? S 4 ? (5 ? 1) ? 32 ? 129

因为a17 ? a18 ? ? ? a20 ? S 20 ? S16 , 则 a17 ? a18 ? ? ? a20的值为 。 129
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练习提高

? 1、已知数列 a n ?且a n ? 0,n ? N ?,前n项的和s n

1 满足s n ? (a n ? 4) 2 16 ( )求该数列的通项,并 1 判断该数列是否为等差 数列

1 (2)若有bn ? a n ? 30,求数列?bn ? 的前n项和Tn 2 的最值与此时的 值。 n

练习
2.已知数列?a n ? 的首项a1 ? 3,通项a n 求数列的通项公式 n。 a

与前n项和S n 之间满足2a n ? S n .S n ?1 (n ? 2)。

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