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等比数列复习教案



等比数列
【要点精讲】 1.等比数列定义 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比 .... .. 数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母 q 表示 (q ? 0) ,即: an ?1 : an ? q(q ? 0) 数列对于数列 (1)(2)(3)都是等比数列,它们的公比依次是 2,5, ? 列的公比和项都

不为零) 2.等比数列通项公式为: an ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0) 。 说明:(1)由等比数列的通项公式可以知道:当公比 d ? 1 时该数列既是等比数列也是等差数列;(2)等 比数列的通项公式知:若 {an } 为等比数列,则

1 。(注意:“从第二项起”、“常数” q 、等比数 2

am ? q m?n 。 an

3.等比中项 如果在 a与b 中间插入一个数 G ,使 a, G, b 成等比数列,那么 G 叫做 a与b 的等比中项(两个符号相同的非 零实数,都有两个等比中项) G =ab,G=± ab ; 4.等比数列前 n 项和公式 一 般 地 , 设 等 比 数 列 a1 , a2 , a3 ,?, an ,? 的 前 n 项 和 是 S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ?n ,当 q ?1 时, a
2

Sn ?

a1 (1 ? q n ) a ? an q 或 Sn ? 1 ;当 q=1 时, S n ? na1 (错位相减法)。 1? q 1? q 说明:(1) a1 , q, n, S n 和 a1 , an , q, S n 各已知三个可求第四个;(2)注意求和公式中是 q n ,通项公式中是
4.等比数列的判定方法 ①定义法:对于数列 ?an ? ,若
a n ?1 ? q ( q ? 0) ,则数列 an

q n?1 不要混淆;(3)应用求和公式时 q ? 1 ,必要时应讨论 q ? 1 的情况。

?an ?是等比数列;

2 ②等比中项:对于数列 ?an ? ,若 an an?2 ? an?1 ,则数列 ?an ? 是等比数列

5.等比数列的性质 ①等比数列任意两项间的关系:如果 an 是等比数列的第 n 项, a m 是等差数列的第 m 项,且 m ? n ,公比为

q ,则有 an ? am q n?m ;
②对于等比数列 ?an ? ,若 n ? m ? u ? v ,则 an ? am ? au ? av ,也就是: a1 ? a n ? a 2 ? a n?1 ? a3 ? a n?2 ? ?? 。 ③若数列 ?a n ?是等比数列, S n 是其前 n 项的和, k ? N * ,那么 S k , S 2k ? S k , S 3k ? S 2k 成等比数列 【典例解析】 题型 1:等比数列的概念 例 1.“公差为 0 的等差数列是等比数列”;“公比为
2

1 的等比数列一定是递减数列”;“a,b,c 三数成等 2


比数列的充要条件是 b =ac”“a,b,c 三数成等差数列的充要条件是 2b=a+c” 以上四个命题中, ; , 正确的有 ( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:四个命题中只有最后一个是真命题。 命题 1 中未考虑各项都为 0 的等差数列不是等比数列; 命题 2 中可知 an+1=an× 增数列;

1 1 ,an+1<an 未必成立,当首项 a1<0 时,an<0,则 an>an,即 an+1>an,此时该数列为递 2 2

1

命题 3 中,若 a=b=0,c∈R,此时有 b ? ac ,但数列 a,b,c 不是等比数列,所以应是必要而不充分条件,
2

若将条件改为 b= ac ,则成为不必要也不充分条件。 点评: 该题通过一些选择题的形式考察了有关等比数列的一些重要结论, 为此我们要注意一些有关等差数列、 等比数列的重要结论。 n 例 2.命题 1:若数列{an}的前 n 项和 Sn=a +b(a≠1),则数列{an}是等比数列; 2 命题 2:若数列{an}的前 n 项和 Sn=an +bn+c(a≠0),则数列{an}是等差数列; 命题 3:若数列{an}的前 n 项和 Sn=na-n,则数列{an}既是等差数列,又是等比数列;上述三个命题中,真 命题有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 解析: 由命题 1 得, 1=a+b, n≥2 时, n=Sn-Sn-1=(a-1)· a 当 a a
n-1

。 若{an}是等比数列, 则

a2 a ( a ? 1) =a, 即 =a, a?b a1

所以只有当 b=-1 且 a≠0 时,此数列才是等比数列。 由命题 2 得,a1=a+b+c,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2na+b-a,若{an}是等差数列,则 a2-a1=2a,即 2a-c=2a, 所以只有当 c=0 时,数列{an}才是等差数列。 由命题 3 得,a1=a-1,当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=a-1,显然{an}是一个常数列,即公差为 0 的等差数列,因 此只有当 a-1≠0;即 a≠1 时数列{an}才又是等比数列。 点评:等比数列中通项与求和公式间有很大的联系,上述三个命题均涉及到 Sn 与 an 的关系,它们是 an= ?

?a1 当n ? 1时 ,正确判断数列{an}是等差数列或等比数列,都必须用上述关系式,尤其注意首项与其 ?S n ? S n ?1 , 当n ? 2时
20 ,求 ?an ? 的通项式。 3

他各项的关系。上述三个命题都不是真命题,选择 A。 例 3.(全国Ⅰ卷文)已知 ?an ? 为等比数列, a3 ? 2, a2 ? a4 ?

a3 2 解: 设等比数列{an}的公比为 q, 则 q≠0, a2= = , a4=a3q=2q, q q 2 20 1 所以 + 2q= , 解得 q1= , q2= 3, q 3 3 1 1 n-1 18 2 2 3-n n-1 n-3 当 q= 时, a1=18.所以 an=18×( ) = n-1 = 2×3 . 当 q=3 时, a1= , 所以 an= ×3 =2×3 . 3 3 3 9 9 例 4(全国Ⅱ文) 设等比数列 {an}的公比 q<1,前 n 项和为 Sn.已知 a3=2,S4=5S2,求{an}的通项公式.

a1 (1 ? q n ) .解:由题设知 a1 ? 0,Sn ? , 1? q ? a1q 2 ? 2, a (1 ? q 2 ) ? . ② 则 ? a1 (1 ? q 4 ) ? 5 ? 1 1? q ? 1? q ? 4 2 2 2 由②得 1 ? q ? 5(1 ? q ) , (q ? 4)(q ?1) ? 0 , (q ? 2)(q ? 2)(q ? 1)(q ? 1) ? 0 , 因为 q ? 1 ,解得 q ? ?1 或 q ? ?2 . 当 q ? ?1 时,代入①得 a1 ? 2 ,通项公式 an ? 2 ? (?1)n?1 ; 1 1 n ?1 当 q ? ?2 时,代入①得 a1 ? ,通项公式 an ? ? (?2) . 2 2
题型 2:等比数列的判定 例 5.已知等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ,则其前 3 项的和 S3 的取值范围是(D )
2

(A) ? ??, ?1 (C) ?3, ?? ?

?

(B) ? ??,0? ? ?1, ??? (D) ? ??, ?1? ? ?3, ???

【解 1】:∵等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ∴当公比为 1 时, a1 ? a2 ? a3 ? 1 , S3 ? 3 ; 当公比为 ?1 时, a1 ? ?1, a2 ? 1, a3 ? ?1 , S3 ? ?1 从而淘汰(A)(B)(C) 故选 D; 【解 2】:∵等比数列 ? an ? 中 a2 ? 1 ∴ S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a2 ?1 ? q ?

? ?

1? 1 ? ? 1? q ? q? q

∴当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? q ?

1 1 ? 1? 2 q ? ? 3 ; q q
? 1? 1? ? ? 1 ? 2 ? q ? ? ? ? ? ?1 q? ? q?
故选 D;

当公比 q ? 0 时, S3 ? 1 ? ? ? q ?

? ?

∴ S3 ? ? ??, ?1? ? ?3, ???

【考点】:此题重点考察等比数列前 n 项和的意义,等比数列的通项公式,以及均值不等式的应用; 【突破】:特殊数列入手淘汰;重视等比数列的通项公式,前 n 项和,以及均值不等式的应用,特别是均值不等 式使用的条件; 点评:本题主要考查等比数列的概念和基本性质,推理和运算能力。

例 6.(2009 浙江文)设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Sn ? kn2 ? n , n ? N ,其中 k 是常数.
*

(I) (II)

求 a1 及 an ; (II)若对于任意的 m ? N , am , a2m , a4m 成等比数列,求 k 的值.
*

解(Ⅰ)当 n ? 1, a1 ? S1 ? k ? 1 ,

n ? 2, an ? S n ? S n?1 ? kn2 ? n ? [k (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? 2kn ? k ? 1( ? )
经验, n ? 1, ( ? )式成立,

? an ? 2kn ? k ? 1
2

(Ⅱ)? am , a2m , a4m 成等比数列,? a2m ? am .a4m , 即 (4km ? k ? 1) ? (2km ? k ? 1)(8km ? k ? 1) ,整理得: m k(k ? 1) ? 0 ,
2

对任意的 m ? N ? 成立,

? k ? 0或k ? 1

3

2 2an , an ?1 ? , n ? 1, 2,3, ?. 3 an ? 1 1 n (Ⅰ)证明:数列 { ? 1} 是等比数列; (Ⅱ)数列 { } 的前 n 项和 Sn . an an 2an a ?1 1 1 1 1 Ⅰ)? an ?1 ? ,? ? n ? ? ? , an ?1 2an 2 2 an an ? 1 2 1 1 1 1 1 ? 1 ? ( ? 1) ,又 a1 ? ,? ? 1 ? , ? 3 an ?1 2 an a1 2 1 1 1 ? 数列 { ? 1} 是以为 首项, 为公比的等比数列. 2 2 an 1 1 1 1 n n 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 ? 1 ? ? n?1 ? n ,即 ? n ? 1 ,? ? n ? n . an?1 2 2 2 an 2 an 2 1 2 3 n 设 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? ? n , ① 2 2 2 2 1 1 2 n ?1 n 则 Tn ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ,② 2 2 2 2 2
例 7、(2008 陕西文)已知数列 {an } 的首项 a1 ?

(1 ? n ) 1 1 1 2 ? n ? 1? 1 ? n , 由① ? ②得 Tn ? ? 2 ? ? ? 1 ? n ? 2 n n ?1 2 2 2 1 2 2 2n ?1 2n 2n ?1 1?

1

1

1 n n(n ? 1) ? n .又 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? . n ?1 2 2 2 2 ? n n(n ? 1) n 2 ? n ? 4 n ? 2 n ? ? n . ? 数列 { } 的前 n 项和 S n ? 2 ? n ? 2 2 an 2 2

2

? Tn ? 2 ?

题型 3:等比数列的通项公式及应用 例 8.一个等比数列有三项,如果把第二项加上 4,那么所得的三项就成为等差数列,如果再把这个等差数 列的第三项加上 32,那么所得的三项又成为等比数列,求原来的等比数列 2 解析:设所求的等比数列为 a,aq,aq ; 2 2 2 则 2(aq+4)=a+aq ,且(aq+4) =a(aq +32);

2 ,q=-5; 9 2 10 50 故所求的等比数列为 2,6,18 或 ,- , 。 9 9 9 点评:第一种解法利用等比数列的基本量 a1 , q ,先求公比,后求其它量,这是解等差数列、等比数列的常
解得 a=2,q=3 或 a= 用方法,其优点是思路简单、实用,缺点是有时计算较繁。 例 9.(2009 山东卷文)等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn , 已知对任意的 n ? N
?

,点 (n, Sn ) ,均在函数

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值; (11)当 b=2 时,记

bn ?
?

n ?1 (n ? N ? ) 4an

求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn
x

解 :因为 对任意 的 n ? N ,点 (n, Sn ) , 均 在函数 y ? b ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均 为常 数)的图 像上. 所以得
4

Sn ? b n ? r ,
当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? b ? r , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? bn ? r ? (bn?1 ? r ) ? bn ? bn?1 ? (b ?1)bn?1 , 又因为{ an }为等比数列, 所以 r ? ?1 , 公比为 b , (2)当 b=2 时, an ? (b ?1)bn?1 ? 2n?1 , 则 Tn ? 所以 an ? (b ?1)bn?1

bn ?

n ?1 n ?1 n ?1 ? ? n ?1 n ?1 4an 4 ? 2 2

2 3 4 n ?1 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2 1 2 3 4 n n ?1 Tn ? ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 n ?1 相减,得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ? (1 ? n ?1 ) 1 n ?1 1 23 n ?1 3 2 ? ? n ? 2 ? ? n ?1 ? n ? 2 1 4 2 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 3 n ? 3 所以 Tn ? ? n ? n ?1 ? ? n ?1 2 2 2 2 2
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知 Sn 求 an 的基本题型,并运用错位相减法求出 一等比数列与一等差数列对应项乘积所得新数列的前 n 项和 Tn . 例 10.(1)(2009 安徽卷文)已知数列{ (Ⅰ)求数列{ (Ⅱ)设 }与{ }的通项公式; < } 的前 n 项和 ,数列{ }的前 n 项和

,证明:当且仅当 n≥3 时,

(n ? 1) ?a1 【思路】由 a ? ? ? sn ? sn?1 ( n ? 2)

可求出 an 和bn ,这是数列中求通项的常用方法之一,在求出 an 和bn 后,进而

得到 c n ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法 【解析】(1)由于 a1 ? s1 ? 4 当 n ? 2 时, an ? sn ? sn?1 ? (2n ? 2n) ? [2(n ?1) ? 2(n ?1)] ? 4n ?am ? 4n(n ? N )
2 2 *

又当 x ? n 时 bn ? Tn ? Tn?1 ? (2 ? 6m ) ? (2 ? bm?1 ) ? 2bn ? bn?1

1 1 ? 数列 ?bn ? 项与等比数列,其首项为 1,公比为 ? bn ? ( ) n ?1 2 2
5

1 16(n ? 1)2 ? ( )( n ?1)?1 1 n ?1 Cn ?1 (n ? 1)2 2 2 2 (2)由(1)知 C1 ? a1 ? bn ? 16n ? ( ) ? ? ? 1 n ?1 2 Cn 2n 2 2 16n ? ( ) 2


Cn?1 (n ? 1)2 ? 1得 ? 1即 n2 ? 2n ? 1 ? 0 ? n ? 1 ? 2 即 n ? 3 Cn 2n
(n ? 1)2 C ? 1 成立,即 n ?1 ? 1 由于 Cn ? 0 恒成立. 2 2n Cn

又n ? 3时

因此,当且仅当 n ? 3 时, Cn ?1 ? Cn 点评:对于等比数列求和问题要先分清数列的通项公式,对应好首项和公比求出最终结果即可

6



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