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2014-2015学年度高二上学期期中考试数学试题(文科)



2014-2015 学年度高二上学期期中考试数学试题(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符 合题目要求的) 1.已知直线 l 的方程为 y=x+1,则直线 l 的倾 斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.135° ) D.异面

2.直线 2 x ? y ?

7 与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 的位置关系是( A.平行 B.相交 C.重合

3.已知二面角 α -l-β 的大小为 60°,m,n 为异面直线,且 m⊥α ,n⊥β ,则 m,n 所成的角为 ( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 4.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为( )

5.若直线 ?x ? y ? a ? ? 过圆 x? ? y ? ? ?x ? ? y ? ? 的圆心,则实数 a 的值为( A. ? 1 B.1 C.3 D. ? 3



6.如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,
D1

异面直线 A1D 与 D1C 所成的角为 ( A. 30 B. 45 C. 60

) D. 90

A1

C1 B1

D A B

C

7.点 P 在直线 x+y-4=0 上,O 为原点,则|OP|的最小值 A.2 8.给岀四个命题: B.

是(

)

6

C. 2 2

D. 10

(1) 若一个角的两边分别平行于另一个角的 两边,则这两个角相等; (2) ? ,? 为两个不同平面,直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,且 a∥? ,b∥? , 则? ∥? ;
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(3) ? ,? 为两个不同平面,直线 m⊥? ,m⊥?

则? ∥? ;

(4) ? ,? 为两个不同平面,直线 m∥? ,m∥? , 则? ∥? . 其中正确的是( A. (1) ) B. (2) C. (3) D. (4) )

9.圆 x2+y2-4x+6y=0 和圆 x2+y2-6x=0 交于 A、B 两点,则 AB 的垂直平分线的方程是( A.x+y+3=0 C. 2x-y-5=0 B.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0

10. 点 A、B、C、D 在同一个球的球面上, 若四面体 ABCD 体积的最大值为 3 , AB ? BC ? AC ? 3 , 则这个球的表面积为( A.
289? 16

) C.
169 ? 16

B. 8?

D.

25? 16

二、填空题: (本大题共 7 小题,每小题 3 分,共 21 分。 ) 11.过点 P(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程是 12.若 P(x,y)在圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 3 上运动,则
y 的最大值为 x





13.直线 l 过点 M(-1,2),且与 x 轴,y 轴交于 A、B 两点,若 M 恰为 AB 的中点,则直线 l 的 方程为 .

7 14.过点 A(0, ),B(7,0)的直线 l1 与过(2,1),(3,k+1)的直线 l2 和两坐标轴围成的四边形内接于 3 一个圆, 则实数 k 的值为 .

15.已知正 ?ABC 的边长为1,那么 ?ABC 的直观图 ?A?B?C ? 的面积为



16.如图,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的 水,若放入一个半径为 r 的实心铁球,水面高度恰好升高 r ,
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R ? ____________ r



17.如图,在长方形 ABCD 中,AB= 3 ,BC=1,E 为线段 DC 上一动点,现将 ? AED 沿 AE 折起,使点 D 在面 ABC 上的射影 K 在直线 AE 上, 当 E 从 D 运动到 C, 则 K 所形成轨迹的长度为 .

三、解答题:(本大题共 5 小题,共 49 分。解答应写出文字说明,证明过程或者演算步骤) 18. (本小题满分 8 分)直线 l 过点 P(4,1), (1)若直线 l 过点 Q(-1,6),求直线 l 的方程; (2)若直线 l 在 y 轴上的截距是在 x 轴上的截距的 2 倍 ,求直线 l 的方程.

19. (本小题满分 9 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形, PB 的中点. 且 PD ? 2 AB
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PD ? 底面ABCD ,点 E 为

(1)求证:平面 AEC ? 平面PDB ; (2)求 AE 与平面 PDB 所成的角的大小.

20. (本小题满分 10 分)已知圆 C 经过点 A(2, ?1) ,和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ?2 x 上. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 l 经过原点,并且被圆 C 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程.

1 21. (本小题满分 10 分)如图,直角梯形 ABCD 中 , AB CD, AB ? CD , AB ? BC ,平面 ABCD ? 平 2

面 BCE , ?BCE 为等边三角形, M , F 分别是 BE, BC 的中点, 点N在线段CD上,DN ? (1)证明: EF ? AD ; (2)证明: MN 平面 ADE ; (3)若 AB ? 1, BC ? 2 ,求几何体 ABCDE 的体积.

1 DC . 4

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22. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 ,直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 (1) 求证:对 m ? R ,直线 l 与圆 C 总有两个不同的交点 A、B; (2) 求弦 A B 的中点 M 的轨迹方程,并说明其轨迹是什么曲线; (3) 若定点 P(1,1)满足 PB ? 2 AP ,求直线 l 的方程。

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参考答案

(2)设 AC∩BD=O,连接 OE, 由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PDB 于 O,∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角, ∴O,E 分别为 DB、PB 的中点,∴OE//PD, OE ?
1 PD , 2

又∵ PD ? 底面ABCD ,∴OE⊥底面 ABCD,OE⊥AO, 在 Rt△AOE 中, OE ?
1 2 PD ? AB ? AO , 2 2

∴ ?AOE ? 45? ,即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45? . ………9 分

20.解: (Ⅰ)设圆心的坐标为 C (a,?2a) ,

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2 2 则 (a ? 2) ? (?2a ? 1) ?

| a ? 2a ? 1 | 2

,化简得 a 2 ? 2a ? 1 ? 0 ,解得 a ? 1 .

? C (1,?2) ,半径 r ?| AC |? (1 ? 2) 2 ? (?2 ? 1) 2 ? 2 .

? 圆 C 的方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .………5 分

(Ⅱ)①当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的 方程为 x ? 0 ,此时直线 l 被圆 C 截得的弦长为 2, 满足条件。 ②当直线 l 的斜 率存在时,设直线 l 的方程为 y ? kx ,由题得
3 ? 直线 l 的方程为 y ? ? x . 4

|k ?2|

? 1 ,解得 k ? ? 3 , 4 1? k 2

综上所述:直线 l 的方程为 x ? 0 或

3 .………10 分 y?? x 4

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22.解: (Ⅰ)解法一:圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 的圆心为 C (0,1) ,半径为 5 。 ∴圆心 C 到直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 的距离 d ?

?m m ?1
2

?

m 2m

?

1 ? 5 2
………4 分

∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; 方法二:∵直线 l : mx ? y ? 1 ? m ? 0 过定点 P(1,1) , 而点 P(1,1) 在圆 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 5 内, ∴直线 l 与圆 C 相交,即直线 l 与圆 C 总有两个不同交点; (Ⅱ)法一:当 M 与 P 不重合时,连结 CM、CP,则 CM ? MP , ∴ CM ? MP ? CP
2 2 2

y
B C M A O

l

P(1,1)

x

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