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河北省唐山市丰南区第一中学2012-2013学年高二下学期期中考试数学(文)试题 Word版含答案



2012-2013学年第二学期高二年级期中考试数学试卷(文)
考试时间120分钟,总分150分 一.选择题(共12个小题,每题5分,总分60分)
1. 已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i , i 为虚数单位,则 z ?( A. 2 ? i 2.设曲线 y ? A.2 B. 1 ? 2i C. ?1 ? 2i ) D. ?1 ? 2i

r />x ?1 在点(3,2)处的切线与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则 a ? ( x ?1 1 1 B. ?2 C. ? D. 2 2

)

3. 圆 C 的极坐标方程为: ? ? 2 2 sin(? ? A. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 C. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 4. 不等式 1 ? x ? 1 ? 3 的解集为( ) A. (0,2) 5.已知 A.2 B.4 B. ?? 2,0? ? (2,4)

?
4

). 圆 C 的直角坐标方程(

)

B. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 4 D. ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 2 C. ?? 4,0? D. ?? 4,?2? ? (0,2)

的最小值是
C.6 D.8

6.执行如图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 16,则图中判断框内①处应填 A.2 B.3 C.4 D.5

7.函数 f ( x) ? 1 ? x ? sin x , x ? (0, 2? ) ,则函数 f (x) A.在 (0,2? ) 内是增函数 B.在 (0,2? ) 内是减函数

C.在 (0, ? ) 内是增函数,在 (? ,2? ) 内是减函数 D.在 (0, ? ) 内是减函数,在 (? ,2? ) 内是增函数

8.已知 4a ? 5b ? 20(a ? 0, b ? 0) ,则

5 1 ? 的最小值为( a b



25 A 6

9 B 4

C1

D4

9.已知不等式 | x ? m |? 1 成立的充分不必要条件是 A. ( ?

1 1 ? x ? ,则实数 m 的取值范围是( ) 3 2
1 4 , ] 2 3
D. ? ??, ? ? ? ? , ?? ? 2 4

1 4 , ) 2 3

B. ?

C. [?

? ?

1? ?

?3 ?

? ?

10.设数列 1,(1 ? 2),?,(1 ? 2 ? ? ? 2n?1 ),? 的前 n 项和为 Sn ,则 Sn 等于( A 2
n



B 2 ?n
n

C 2

n ?1

?n

D2

n ?1

?n?2

11.设曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 3cos ? ( ? 为参数) ,直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , ? y ? ?1 ? 3sin ?
7 10 的点的个数有. 10
C.3 D.4

则曲线 C 上到直线 l 距离为 A.1 B.2

12, f (x) 是定义在上 (0,??) 的函数,且满足 xf ?( x) ? f ( x) ,对任意的正数 a, b 若 a ? b , 则必有

A. af ? a ? ? bf ?b?

B. af ? a ? ? bf ?b ?

C. af ?b ? ? bf ? a ?

D. af ?b ? ? bf ? a ?

二.填空题(共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分)
13.已知 i 为虚数单位,则复数
2

1 ? 3i 的虚部是 3?i



14.已知不等式 ax ? 5 x ? b ? 0 的解集 x ? 3 ? x ? 2 求不等式 bx ? 5 x ? a ? 0 的解集
2

?

?

3 15. 设函数 f ( x) ? ax ? 3x ? 1( x ? R) ,若对于任意 x ? ?? 1,1?, 都有 f ( x) ? 0 成立,则实数 a

的值为_________ 16. 对于各数互不相等的整数数组(i1, i2, i3?,in)(n 是不小于 3 的正整数),若对任意的 p,q ∈{1,2,3?,n},当 p<q 时有 ip>iq,则称 ip,iq 是该数组的一个“逆序”.一个数组中所有 “逆序”的个数称为该数组的“逆序数” ,则数组(2,4,3,1)的逆序数为 .

三.解答题(共 6 个小题,总分 70 分)

17.. (10 分) 已知函数 f (x ) ? ?x ? 3x
3

2

? 9x ? a .

(1)求 f (x ) 的单调递减区间; (2)若 f (x ) 在区间[-2,2]上的最大值是 20,求它在该区间上的最小值.

18. (12 分)已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1|, g ( x) ?| x | ?a (I)当 a=0 时,解不等式 f ( x) ? g ( x) ; (II)若存在 x∈R,使得,f(x)≤g(x)成立,求实数 a 的取值范围. 19. (12 分)下表是最近十届奥运会的年份、届别、主办国,以及主办国在上届获得的金牌 数、当届获得的金牌数的统计数据:

某体育爱好组织,利用上表研究所获金牌数与主办奥运会之间的关系, (1) 求出主办国在上届所获金牌数(设为 x)与在当届所获金牌数(设为 y)之间的

? ? ? ? 线性回归方程 y = bx ? a中b ? 1.4 ,
(2) 在 2008 年第 29 届北京奥运会上英国获得 19 块金牌, 则据此线性回归方程估计 在 2012 年第 30 届伦敦奥运会上英国将获得的金牌数为(所有金牌数精确到整 数) 20. (12 分)已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合, 且 长 度 单 位 相 同 .直 线 l 的 极 坐 标 方 程为 :

??

10

2 sin(? ? ) 4

?

, 点

P(2cos ? , 2sin ? ? 2) ,参数 ? ??0,2? ? .
(Ⅰ)求点 P 轨迹的直角坐标方程; (Ⅱ)求点 P 到直线 l 距离的最大值. 21(12 分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区 调查了 500 位老人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

(Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿提供帮助的老年人的比例;

(Ⅱ)能否有 99℅的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (Ⅲ)根据(Ⅱ)的结论,能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中,需要志 愿者提供帮助的老年人的比例?说明理由。 附 :

22. (12 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x (a ?R) . (Ⅰ)讨论函数 f (x) 在定义域内的极值点的个数; (Ⅱ)已知函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,且对 ?x ? (0,??) , f ( x) ? bx ? 2 恒成立, 求实数 b 的取值范围.

答案 DBCDA 13. -1

BABCD

BC 15. ?2, 4? 16. 4

1 1 14. (?? ,? ) ? ( ,?? ) 3 2

17.. (1) f ' (x ) ? ?3x 2 ? 6x ? 9 , 令f ' (x ) ? 0, 解得x ? ?1或x ? 3, 所以 f (x ) 的单调递减区间为 (??, ?1)及(3, ??) 。 (2)由(1)可知 f (x ) 在[-2,-1]上递减,在[-1,2]上递增, 又因为 f (?2) ? ...... ? 2 ? a, f (2) ? ...... ? 22 ? a ,故 f (2) ? f (?2) 所以 f (2) 和 f (?1) 分别是 f (x ) 在[-2,2]上的最大值和最小值..于是有 22+a=20, 解得 a=-2. 所以 f (x ) ? ?x 3 ? 3x 2 ? 9x ? 2 ,所以 f (?1) ? ...... ? ?7. 10 分 5分

即 f (x ) 在该区间上的最小值-7.

18. 解 ( Ⅰ 当 a ? 0 时 , 由 f ( x) ? g ( x) 得 2 x ? 1 ? x , 两 边 平 方 整 理 得 )
3x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 ,

1 1 ? ? 解得 x ? ?1 或 x ? ? ∴ 原不等式的解集为 ( ??, 1] ? [? , ? ) ………… (6 分) 3 3

(Ⅱ )由 f ( x ) ? g ( x ) 得 a ? 2 x ? 1 ? x ,令 h( x ) ? 2 x ? 1 ? x ,则
1 ? ? ? x ? 1, x ? ? 2 ? 1 ? h( x ) ? ? 3 x ? 1,? ? x ? 0 2 ? ? x ? 1, x ? 0 ? ?

……………………(8 分)

1 1 1 故 h( x) min ? h(? ) ? ? ,从而所求实数 a 的范围为 a ? ? 2 2 2

(12 分)

19.解 x ?
235 9 174 a? 45 y?

143 9

2分 4分
y? 7 174 x? 5 45

8分 所以英国金牌 30 块 12 分

(2) x ? 19 时 y ?

1371 ? 30 .47 45

? x ? 2cos ? , 20.解: (Ⅰ) ? 且参数 ? ??0,2? ? , ? y ? 2sin ? ? 2.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 . (Ⅱ)因为 ? ? 4分

? ,所以 ? 2 sin(? ? ) ? 10 , ? 4 2 sin(? ? ) 4
10

所以 ? sin ? ? ? cos ? ? 10 ,所以直线 l 的直角坐标方程为 x ? y ? 10 ? 0 . 8

分 由(Ⅰ) 点 P 的轨迹方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ,圆心为 (0, 2) ,半径为 2.

d?


1? 0 ? 1? 2 ? 10 12 ? 12

? 4 2 ,所以点 P 到直线 l 距离的最大值 4 2 ? 2 .

12

21.解: (I)调查的 500 位老年人中有 70 位封面 要志愿者提供帮助,因此该地 区老年人中, 70 ? 14%. 需要帮助的老年人的比例的估计值为 5分 500
500? (40 ? 270 ? 30 ? 160) 2 ? 9.967. (II) K ? 200? 300? 70 ? 430
2

由于 9.967 ? 6.635, 所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与 性别有关。10 分 (III)由(II)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本 数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异, 因此 在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并 采 用 分 层 抽 样 方 法 比 采 用 简 单 随 机 抽 样 方 法 更 好 。 12 分

22.解: (Ⅰ) f ?( x) ? a ? ?

1 x

ax ? 1 , x

1分

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 (0,??) 上恒成立,函数 f (x) 在 (0,??) 单调递减, ∴ f (x) 在 (0,??) 上没有极值点; 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 得 0 ? x ? 3分

1 1 , f ?( x) ? 0 得 x ? , a a 1 ? 1? ?1 ? ∴ f (x) 在 ? 0, ? 上递减,在 ? ,?? ? 上递增,即 f (x) 在 x ? 处有极小值. 5 a ? a? ?a ?

分 ∴当 a ? 0 时 f (x) 在 (0,??) 上没有极值点,当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 上有一个 极值点. (Ⅱ)∵函数 f (x) 在 x ? 1 处取得极值,∴ a ? 1 , ∴ f ( x) ? bx ? 2 ? 1 ? ? 令 g ( x) ? 1 ? ?
1 x 1 x ln x ?b, x

8分

ln x , 可 得 g (x) 在 0, e 2 上 递 减 , 在 e 2 ,?? 上 递 增 , x

?

?

?

?

10 分 ∴ g ( x) min ? g (e 2 ) ? 1 ?
1 e
2

,即 b ? 1 ?

1 . 12 分 e2



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