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1.1.2弧度制及弧度制与角度制的换算 (1)



复习提问
1.分别写出满足下列条件的角的集合 (1)终边在x轴负半轴上的角的集合 0 0 ? ? ? 180 ? k ? 360 , k ? Z ?

?

(2)终边在y轴上的角的集合

?
?

? ? ? 900 ? k ? 1800 , k ? Z

?



(3) 终边与坐标轴重合的角的集合

? ? ? k ? 900 , k ? Z

?

复习提问
2、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相 垂直的两条直线上”的一般表示式 y y y
?
O

x

?
O

x

?
O

x

k ? 360 ? ?
0

?k ? Z ?

k ?1800 ? ?

?k ? Z ?

k ? 900 ? ?

?k ? Z ?

你能写出终边在象限角平分线上的角的集合吗?

?? ? ? 45

0

? k ? 90 , k ? Z
0

?

复习提问
3.请写出终边在第一、第二、第三、第四 象限的角的区间
第一象限:(k ? 3600,k ? 3600 +900) 第二象限:(k ? 3600 +900,k ? 3600 +1800) 第三象限:(k ? 360 +180 ,k ? 360 +270 )
0 0 0 0

第四象限:(k ? 3600 +2700,k ? 3600 +3600) 或(k ? 3600 -900,k ? 3600)其中k ? Z

α 如果α是第一、二、三、四象限角, 是第几象限角? 20 0 0 第一象限:(k ? 360 ,k ? 360 +90 ) 0 0 0 (k ?180 ,k ?180 +45 )

y

第二象限:(k ? 3600 +900,k ? 3600 +1800) ? (k ?1800 +450,k ?1800 +900)
0 0 0 0

y?x

? (k ?180 +90 ,k ?180 +135 )
0 0

第三象限:(k ? 3600 +1800,k ? 3600 +2700) 2

o

第四象限:(k ? 360 +270 ,k ? 3600 +3600)
或(k ? 3600 -900,k ? 3600) (k ?1800 -450,k ?1800)

2

x

y ? ?x

复习深化

1、已知α,β角的终边相同,那么α -β的终边 B y轴的非负半轴上

在( A ) A x轴的非负半轴上 C x轴的非正半轴上

D y轴的非正半轴上

2、若α =k·180°+60°(k∈Z),则α 在(A ) A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限

复习深化
3 、已知角2α的终边在x轴的上方,那么α是 ( C ) A 第一象限角 C 第一、三象限角 B 第一、二象限角 D 第一、四象限角 C )

4、若α是第四象限角,则180? -α是( A 第一象限角 C 第三象限角 B 第二象限角 D 第四象限角

复习深化
4.用α表示β 0 0 (1)αβ终边关于x轴对称 ? =180 -? ? k ? 360 , k ? Z 0 (2)αβ终边关于y轴对称 ? =-? ? k ? 360 , k ? Z (3)αβ终边关于原点对称 ? =1800 +? ? k ? 3600 , k ? Z
y
? 150?
O

y

?? 30

x

?? 30
O

? -30?

x

复习导入
请回忆:在初中几何里,我们学习过角

的度量,1度的角是怎样定义的呢?
1 周角的 为1度的角 360

这种用1?角作单位来度量角的制度叫做 角度制 ,今天我们来学习另一种在数学和其

他学科中常用的度量角的制度——弧度制.

新课

1.1.2 弧度制和 弧度制与角度制的换算

目的要求
? 1.理解弧度制的意义.
? 2.熟练进行角度制与弧度制的

换算. ? 3.能应用弧长公式与扇形面积 公式解决有关问题

重点 . 难点
?重点 : 用弧度制表示角
?难点 : 弧度制的概念

思考下列问题 ? 1.
A

角的弧度制是如何引入的?

? 2. 1弧度是如何定义的?长度等于半径长的圆弧所对

?
O

r
B

的圆心角叫做1弧度的角.
(注:弧度的单位符号是rad,读作弧度)

r

这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制. 3.平角、周角的弧度数 2? ? 4.角的弧度制与角的大小有关, 与角所在圆的半径的大小是否有关?
A

2r
?
O

3r
?
B
O

2 r r ? ? _____( ad ). A

r ? ? _____( ad ). 3 r

B

思考下列问题

5.角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系?

l ? ? (l为弧长,r为半径) r
求圆心角时,结果是 圆心角的弧度数. 6.为什么要引入弧度制?好处是什么? 弧度制是十进制,而角度制是六十进制
约定: 正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0.

思考下列问题

7.角度制与弧度制如何换算?
360o ? 2? rad

180 ? ? rad
o

? 1 ? rad ? 0.01745rad . 180
o

? 180 ? 1 rad ? ? ? 0 0 ? 57o18. 57.3 o ' ' ? 1 rad? ? 57.3 ? 57 18 ? ?

o

量角器是常用的度量角的工具
3? 4

2? 3
135o

7? 12

? 2

5? 12

5? 6 11? 12

120o

1050

90o 750
600

? 3
450

? 4
30o 15o

?
6
? 12

150o

165o

π

180o

0o

0

请说出量角器上角度数所对应角的弧度数

写出一些特殊角对应的角度和弧度

角 度
弧 度

0 ? 30? 45? 60? 90? 120? 135? 150?180? 270? 360?

0

? 6

? 4

? ? 3 2

2? 3? 5? 3 4 6

?

3? 2? 2

双向沟通

角度制与弧度制的联系与区别:
(1)用角度制和弧度制来度 量零角 单位不同 , , 但量数相同 都是0); (
(2)用角度制和弧度制度量 任一非零角单位不 , 同, 量数也不同 ; (3)角度制与弧度制可以自 由互换, 但注意在同

一个代数式中不能同时 使用两种制度: 如 : 30 ?
0

?
4

是错误的 .

双向沟通 例1. (1) 把112?30′化成弧度(精确到0.001);

(2)把112?30′化成弧度(用π 表示)。 ? 解: (1)112?30′=112.5?, 1? ? ? 0.0175
180

所以112?30′≈112.5×0.0175≈1.969rad. (2) 112?30′=112.5× 注意:

?

180

=

5? . 8

一般地,“弧度”与“rad“通常略去不写, 而只写这个角所对应的弧度数.

双向沟通
8? 例2. 把 化成度 5

解:1rad= (

180

?

)?

8? 8? 180 ? ?( )? 5 5 ?
? 288?

思考下列问题 8. 角度制与弧度制都能在角的集合与实数的集合 之间建立一种一一对应的关系吗?
角的集合 实数集R

正角 零角 负角

正实数


负实数

这种对应关系使得数学中与角相关的运算变得简洁, 相 关公式也有了更简单的形式.

思考下列问题 9.初中学过用角度制计算弧长及扇形面积, 现在用角的弧度制如何计算弧长及扇形面积呢? (1)弧长公式

l ?| ? | ?r (弧度制) 简单

n? r l? (角度制) 180

弧长等于弧所对的圆心角(的弧度数) 的绝对值与半径的积
(2)扇形面积公式

1 S ? lR 2

S ? ?R
1 2

2

其中l是扇形弧长,R是圆的半径.

练一练 1. 在半径为R的圆中,240?的中心角所对的弧

长为
心角等于

,面积为2R2的扇形的中
弧度。

4 解:(1)240? ? ,根据l=αR,得 = 3
1 2 1 (2)根据S= lR= αR ,且S=2R2. 2 2

4 l ? ?R 3

所以 α=4.

练一练 2.与角-1825? 的终边相同,且绝对值最小的 角的度数是___,合___弧度。 解:-1825? =-5×360? -25? , 所以与角-1825? 的终边相同,且绝对值 最小的角是-25? .
5 合 ? 36 ?

练一练 3. 已知一半径为R的扇形,它的周长等于所 在圆的周长,那么扇形的中心角是多少弧度? 合多少度?扇形的面积是多少? 解:周长=2πR=2R+l,所以l=2(π-1)R. 所以扇形的中心角是2(π-1) rad. 合(
360(? ? 1)

?

)?
2

扇形面积是 (? ? 1)R

课堂小结
弧度制 角度制 角度

度量单位 弧度
单位规定 等于半径的长的 圆弧所对应的圆 心角叫1 rad 的 角

周角的

1 为1度的角 360

π =180°

换算关系

1rad= ? ?

180 ? ? ? 57.30? ? 57°18′, ? ? ?

?

1°=

?

180

rad=0.01745 rad

作业



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